(291)--周周清第八周（4.28-5.04）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 4.28-5.04 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数 f(x) 满足 f(x)0 ，且 f (0)0， f(2)1， f (4)6，则 f(1) f(3)可能为____ (A).1 (B).2 (C).3 (D).5 n k k 2.（数一二三）求极限lim arctan ____ n 3 n k1 n2 x 3.（数一二三）将长度为k 的细棒置于区间[0,k]上，此时，细棒的线密度为(x)2 ， 3 则细棒的质心坐标x  ____. 4.（数一三）设随机变量 X 服从正态分布N(0,1)，Y 服从正态分布N(1,4)，对给定的 (01)，数u 满足P  Y u .若P  X  x  ，则x等于____ .   1 1 (A).u (B).u (C). (u 1) (D). (u 1)  1 2  2 1 2 2 2 2 5（. 数一二三）设函数 可微，且 确定隐函数 ，则 ∂ , + , + =0 = , − ∂ − ∂ ∂ =________. 6.（数一二三） 1 1 li→m∞ sin 4+ + sin 2+ =_______. 4 −1. 1. C . . 7.（数一二三）已知 ， 是 的伴随矩阵，若 ，则 _____. 1 1 1 1 0 1 −1 ⋆ ∗ = =1 = 2 3 4 3 5 1 9 或 3. 2. C 1. 1 3.周周清 4.28-5.04 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数 f (x) 满足 f(x) 0 ，且 f (0)=0 ， f (2) =1， f (4) =6，则 f (1)+ f (3)可能为____ (A).1 (B).2 (C).3 (D).5 [知识点]：函数的性质 [解析]：答案：(C).3 由于函数 f (x)满足 f(x) 0，故 f (x)为凹函数，从而由凹函数的定义可知，对任意  x + x  f (x )+ f (x ) 不同的两点x ,x ，都有 f 1 2  1 2 .于是，   1 2  2  2 1+3 f (1)+ f (3) 2f = 2f (2)= 2    2  另一方面，由凹函数的定义可得 0+2 f (0)+ f (2) 1 f (1)= f  =    2  2 2 2+4 f (2)+ f (4) 7 f (3)= f  =    2  2 2 1 7 故 f (1)+ f (3) + = 4. 2 2 因此，2 f(1)+ f(3) 4，只有(C).3符合条件. [易错点]：对于凹凸函数的性质掌握不牢，不会熟练运用。 n k k 2.（数一二三）求极限lim arctan = ____ n→ 3 n k=1 n2[知识点]：定积分定义求极限  1 ln2 [解析]：答案： − + 6 3 3 1 根据定积分定义，整理原极限，并提出“可爱因子” ， n 1 n k k 1 2 1 原极限= lim  arctan =  xarctan xdx =  arctan xd(x3/2) n→ n n n 0 3 0 k=1 = 2 x 3 2 arctan x |1 − 1 x 3 2  1  1 dx   3  0 0 1+ x 2 x  2  1 1 x  1 1 1  =  −  dx = −  1− dx   3 4 3 01+ x 6 3 0 1+ x =  − 1 + 1 ln(1+ x)|1 =  − 1 + ln2 6 3 3 0 6 3 3 [易错点]：对于定积分定义求极限的套路不熟练。 x 3.（数一二三）将长度为k 的细棒置于区间[0,k]上，此时，细棒的线密度为(x) = 2+ ， 3则细棒的质心坐标x = ____. [知识点]：一元函数积分的物理应用 2k(9+k) [解析]：答案： 3(12+k) 由于  k x   2+ x  dx =  x2 + x3   |k= k2   1+ k   0  3  9  0  9  k  2+ x  dx =  2x+ x2   |k= k   2+ k   0  3  6  0  6  k  k2 1+    9 2k(9+k) 故x = = .  k  3(12+k) k 2+    6 [易错点]：对形心公式掌握不牢，不会熟练运用。4.（数一三）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，Y 服从正态分布N(1,4)，对给定的 (01)，数u 满足PY u =.若P  X  x  =，则x等于____ .   1 1 (A).u (B).u (C). (u −1) (D). (u −1)  1− 2  2 1− 2 2 2 2 [知识点]：上分位点的概念 1 [解析]：答案：(D). (u −1) 2 1− 2 Y −1 由于 X ~ N(0,1),Y ~ N(1,4) ，故 与 X 同分布.进一步，由Y ~ N(1,4) 以及 2 Y −1 u −1  u −1 u −1 PY u =可得，P   =，于是PX   =，记v =  ，   2 2   2   2 则PX v =.  由标准正态分布的性质，可知PX  −x= PX  x，则 P| X | x= P−x X  x= PX  x−PX  −x =1−PX  x−PX  x 由连续性可知， =1−2PX  x 1− 于是，1−2PX  x=，PX  x= 2 1 因此，x =v = (u −1). 1− 2 1− 2 2 [易错点]：对正态分布的性质以及上分位点相关知识的掌握不牢固。𝑧 𝑧 5.（数一二三）设函数𝐹(𝑢,𝑣)可微，且𝐹(𝑥+ ,𝑦+ )=0确定隐函数𝑧 =𝑧(𝑥,𝑦)，则𝑧− 𝑦 𝑥 ∂𝑧 ∂𝑧 𝑥 −𝑦 =________. ∂𝑥 ∂𝑦 [知识点]：利用隐函数求导，通过将方程看成关于自变量 x、y 的恒等式求一阶全微分，进 而求解偏导数。 [答案]：𝑥𝑦. [解析]：将题设的方程看成关于自变量𝑥，𝑦的恒等式并求一阶全微分即得 1 𝑧 1 𝑧 0=𝐹′⋅(d𝑥+ d𝑧− d𝑦)+𝐹′⋅(d𝑦+ d𝑧− d𝑥) 1 𝑦 𝑦2 2 𝑥 𝑥2 𝑧 𝑧 1 1 =(𝐹′− 𝐹′)d𝑥+(𝐹′− 𝐹′)d𝑦+( 𝐹′+ 𝐹′)d𝑧 1 𝑥2 2 2 𝑦2 1 𝑦 1 𝑥 2 1 1 1 = (𝑥2𝐹′−𝑧𝐹′) d𝑥+ (𝑦2𝐹′−𝑧𝐹′) d𝑦+ (𝑧𝐹′+𝑦𝐹′) d𝑧 𝑥2 1 2 𝑦2 2 1 𝑥𝑦 1 2 由此可解出隐函数𝑧 =𝑧(𝑥,𝑦)的一阶全微分 𝑥𝑦 (𝑥2𝐹′−𝑧𝐹′) 𝑥𝑦 (𝑦2𝐹′−𝑧𝐹′) 1 2 2 1 d𝑧 =− d𝑥− d𝑦 𝑥2 (𝑥𝐹′+𝑦𝐹′) 𝑦2 (𝑥𝐹′+𝑦𝐹′) 1 2 1 2 𝑦(𝑧𝐹′−𝑥2𝐹′) 𝑥(𝑧𝐹′−𝑦2𝐹′) = 2 1 d𝑥+ 1 2 d𝑦. 𝑥(𝑥𝐹′+𝑦𝐹′) 𝑦(𝑥𝐹′+𝑦𝐹′) 1 2 1 2 故 ∂𝑧 ∂𝑧 𝑦(𝑧𝐹′−𝑥2𝐹′) 𝑥(𝑧𝐹′−𝑦2𝐹′) 2 1 1 2 𝑧−𝑥 −𝑦 =𝑧− − =𝑥𝑦. ∂𝑥 ∂𝑦 𝑥𝐹′+𝑦𝐹′ 𝑥𝐹′+𝑦𝐹′ 1 2 1 2 [易错点]：在对复合函数求全微分以及整理求解偏导数过程中，容易出现计算错误。𝜋 1 𝑛 𝜋 1 𝑛 6.（数一二三）lim {[sin( + )] +[sin( + )] } =_______. 𝑛→∞ 4 𝑛 2 𝑛 𝜋 (𝐴)−1. (𝐵)1. (C)𝑒 . (𝐷)𝑒4. [知识点]：利用三角函数取值范围判断数列极限。 [答案]：𝐵. [解析]： 先求lim [sin( 𝜋 + 1 )] 𝑛 . 当𝑛 >4时，𝜋 < 𝜋 + 1 < 𝜋，所以√2 < sin( 𝜋 + 1 )< 𝑛→∞ 4 𝑛 4 4 𝑛 3 2 4 𝑛 √3， 2 所以 𝜋 1 𝑛 lim [sin( + )] =0. 𝑛→∞ 4 𝑛 𝜋 1 𝑛 再求lim [sin( + )] . 𝑛→∞ 2 𝑛 1 1 lim [sin( 𝜋 + 1 )] 𝑛 = lim (cos 1 ) 𝑛 = lim [1+(cos 1 −1)]cos𝑛 1 −1 ⋅𝑛(cos 𝑛 −1) 𝑒𝑛 li → m ∞ 𝑛(cos 𝑛 1 −1) 𝑛→∞ 2 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 1 1 1 1−cos 𝑛 2𝑛2 而lim𝑛(cos −1)=−lim =−lim =0 , 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 1 𝑛→∞ 1 𝑛 𝑛 所以 𝜋 1 𝑛 lim [sin( + )] =1 , 𝑛→∞ 2 𝑛 即 𝜋 1 𝑛 𝜋 1 𝑛 lim {[sin( + )] +[sin( + )] }=1. 𝑛→∞ 4 𝑛 2 𝑛 [易错点]：易忽略根据三角函数值范围判断其极限为0，运用重要极限公式变形和等价无穷 小替换过程中容易出现计算错误。1 1 1 1 0 1 −1 𝑎 7.（数一二三）已知𝐴=[ ]，𝐴⋆ 是 𝐴 的伴随矩阵，若 𝑟(𝐴∗)=1，则 2 3 𝑎 4 3 5 1 9 𝑎 =_____. (𝐴)3. (𝐵)2. (C)1. (𝐷)1或3. [知识点]：伴随矩阵秩与原矩阵秩的关系。 [答案]：𝐷. [解析]： 𝐴是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式 𝑛, 𝑟(𝐴)=𝑛 𝑟(𝐴∗)={1, 𝑟(𝐴)=𝑛−1 0, 𝑟(𝐴)<𝑛−1 可见, 𝑟(𝐴⋆)=1⇔𝑟(𝐴)=3. 对矩阵A作初等变换，有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 −1 𝑎 0 1 −1 𝑎 0 1 −1 𝑎 [ ]→[ ]→[ ] 2 3 𝑎 4 0 1 𝑎−2 2 0 0 𝑎−1 2−𝑎 3 5 1 9 0 2 −2 6 0 0 0 6−2𝑎 1 1 1 1 1 −1 3 若 𝑎 =3，则 𝐴→[ ]，秩 𝑟(𝐴)=3. 2 −1 0 1 1 1 1 1 −1 2 若 𝑎 =2，则 𝐴→[ ]，秩 𝑟(𝐴)=4. 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 若 𝑎 =1，则 𝐴→[ ]→[ ]，秩 𝑟(𝐴)=3. 1 1 4 0 所以,𝑎 =1 或 𝑎=3 时均有 𝑟(𝐴∗)=1. 应该选𝐷. [易错点]：在利用伴随矩阵秩与原矩阵秩的关系时，易记错公式；对矩阵进行初等行变换 求秩过程中，计算错误或判断秩的大小时出错。