(290)--周周清第七周（4.21-4.27）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 4.21-4.27 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x2 1.（数一二三）已知函数 f(x) ，则 f (5)(0) ____. (1x)4 f(x) f(x) 2.（数一二三）设函数 f(x)二阶可导且满足lim 2，则曲线y arcsintdt在 x0 arcsinx 0 x 0对应点处的曲率为____. 3.（数一二三）求极限： 1 ( )2 l i→m0 4.（数一三）幂级数的收敛区间为____ 1 1 (A).( , ) (B).(1,1) (C).(e,e) (D).(,) e e 5.（数一二三） ∫∣ −∣ +1∣∣d = . 6.（数一二三）设 ，则 ' (1+ )− (1−2si n ) (1)=1 = → 0 +2si n = . 7.（数一二三） 99 100 0 1 0 1 2 3 0 0 1 1 0 0 4 5 6 0 1 0 = . 0 0 1 7 8 9 1 0 0周周清 4.21-4.27 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x2 1.（数一二三）已知函数 f(x) ，则 f (5)(0) ____. (1x)4 [知识点]：高阶导数的计算，莱布尼兹公式的应用 [解析]：答案：17640 记u(x)(1x)4，v(x) x2，则 f(x)u(x)v(x)，从而可以使用莱布尼兹公式来 计算 f(x)的高阶导数. 由于 n f(n)(0)(uv)(n)(0)Cku(nk)v(k)(0) n k0 而v(0)2，v(0)1，v(k)(0)0(k 2)，故 f (n)(0)2u(n)(0)n1u(n1)(0)① 下面计算u(x)(1x)4在x 0处的n阶导数. [(1x)4](4)(1)(1x)5 4(1x)5, [(1x)4]4(5)(1)(1x)6 54(1x)6, . (n3)! 由归纳推理可知，[(1x)4](n)  (1x)(n4). 3! (n3)! (n2)! 令x 0，可得[(1x)4](n)(0) ，[(1x)4](n1)(0) ， 3! 3! 代入①式可得， (n3)! (n2)! (n2)(n2)! f(n)(0)2 n1  3! 3! 2 77! 令n5可得， f (5)(0) 17640 2 [易错点]：对莱布尼兹公式的应用掌握不熟练。f(x) f(x) 2.（数一二三）设函数 f(x)二阶可导且满足lim 2，则曲线y  arcsintdt x0 arcsinx 0 在x 0对应点处的曲率为____. [知识点]：曲率计算，泰勒公式的应用 [解析]：答案：4 考虑 f(x)和arcsinx在x 0处的一阶泰勒公式. f(x) f(0) f(0)x(x),arcsinx x(x). f(x) f(0) f(0)x(x) 于是，2lim lim ，由此可得 f(0)0, f(0)2. x0 arcsinx x0 x(x) f(x) 令g(x) arcsintdt，则 0 [f(x)]2 g(x) f(x)arcsin f(x)，g(x) f(x)arcsin f(x) ① 1[f(x)]2 将x 0代入①式可得g(0)0,g(0)4. g(0) 因此，曲线y  g(x)在x 0处的曲率为 4. 3  1[g(0)]2 2 [易错点]：通过极限的信息得到关于 f 的信息，然后得到g 的信息，最后套公式即可。1 3. （数一二三）求极限：lim( 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 )(𝑠𝑖𝑛𝑥)2 𝑥→0 𝑥 [知识点]：极限计算 1 [解析]：答案：𝑒6 本题属于幂指函数类型的极限形式，我们需要将其转换成以e为底的函数，有 1 𝑙𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑙𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 𝑥 lim 𝑥 lim( ) = lim𝑒 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 =𝑒𝑥→0 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥 lim 𝑙𝑛 𝑥 lim 𝑥 −1 lim 𝑥 由于□→0时，ln□~□-1，故𝑒𝑥→0 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 =𝑒𝑥→0 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 =𝑒𝑥→0 (𝑠𝑖𝑛𝑥)2 又x→0时，arcsinx−x~ 1 x3 6 1 故原式=𝑒6 [易错点]：对幂指函数的处理方法不熟练，且对常见的等价无穷小不熟练。  1  n2 4.（数一三）幂级数 ln(1 ) xn的收敛区间为____    n  n1 1 1 (A).( , ) (B).(1,1) (C).(e,e) (D).(,) e e [知识点]：阿贝尔定理，收敛区间的计算 [解析]：答案：(D).(,) n2 n  1   1  记a  ln(1 ) ，则n a  ln(1 ) . n   n   n   n   1  1  n t n 1 lnln(1t) lim lnln(1t) limn a lim ln(1 ) limet et0 t n n n   n   t0 又因为当t 0时，ln(1t)0，lnln(1t)，所以 lnln(1t) lim  t0 t 故limn a 0，从而收敛半径为，因此可知收敛区间为(,). n n [易错点]：计算收敛区间的时候，除了可以相除，不要忘了还可以开根号来求。5.（数一二三）∫ ∣𝑥−∣𝑥+1∣∣d𝑥 = . [知识点]：分段函数的不定积分 𝑥+𝐶, 𝑥 ⩾−1; [解析]：答案：{ ，其中𝐶为任意常数. −𝑥2−𝑥−1+𝐶, 𝑥 <−1 先写出∣𝑥−∣𝑥+1∣∣的分段表达式： 1, 𝑥 ≥ −1, |𝑥 −|𝑥 +1|| = { −2𝑥−1, 𝑥 < −1. 因此， 𝑥+𝐶 , 𝑥 ≥−1, 1 ∫ ∣𝑥−∣𝑥+1∣∣d𝑥 ={ −𝑥2−𝑥+𝐶 , 𝑥 <−1. 2 由于原函数，即该不定积分可导且连续，因此分界点𝑥 =−1处函数值相等，从而 −1+𝐶 =−1−(−1)+𝐶 , 1 2 解得𝐶 =−1+𝐶 ，并记𝐶 为𝐶，于是最终结果为 2 1 1 𝑥+𝐶, 𝑥 ⩾−1; { −𝑥2−𝑥−1+𝐶, 𝑥 <−1 [易错点]：习题本身没有太大难度，但部分同学可能会纠结这种分段函数在分段点上是否可 导。我们求得不定积分后可以验证𝑥 =−1处导数存在。在后续的学习中，同学们或许会了解 导数极限定理，届时可以更直观地得出结论。6.（数一二三）设𝑓′(1)=1，则𝐼 =𝑙𝑖𝑚 𝑓(1+𝑥)−𝑓(1−2sin 𝑥) = . 𝑥→0 𝑥+2sin 𝑥 [知识点]：导数的定义 [解析]：答案：1. 利用导数定义，将原式化为求极限 𝑓(1+𝜑(𝑥))−𝑓(1) lim =𝑓′(1) 𝑥→0 𝜑(𝑥) 其中lim 𝜑(𝑥)=0. 𝑥→0 𝑓(1+𝑥)−𝑓(1) 𝑥 𝑓(1−2sin𝑥)−𝑓(1) −2sin𝑥 𝐼 = lim[ ⋅ − ⋅ ] 𝑥→0 𝑥 𝑥+2sin𝑥 −2sin𝑥 𝑥+2sin𝑥 𝑥 2sin𝑥 =𝑓′(1)𝑙𝑖𝑚 +𝑓′(1)𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑥+2sin𝑥 𝑥→0𝑥+2sin𝑥 1 2 =𝑓′(1)⋅ +𝑓′(1)⋅ 3 3 =𝑓′(1) =1. [易错点]：此题的技巧就是将待求解公式化为𝑓′(1)的倍数，是务必掌握的技巧。0 1 0 99 1 2 3 0 0 1 100 7.（数一二三）[1 0 0] [4 5 6][0 1 0] = . 0 0 1 7 8 9 1 0 0 [知识点]：矩阵的乘法 4 5 6 [解析]：答案：[1 2 3]. 7 8 9 0 1 0 0 0 1 𝐸 =[1 0 0]和𝐸 =[0 1 0]都是初等矩阵且是两行（列）互换的初等矩阵. 12 13 0 0 1 1 0 0 那么 𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ，𝐸2𝑛 =𝐸，𝐸2𝑛+1 =𝐸 ， 12 12 12 13 13 13 于是 4 5 6 𝐸99𝐴𝐸100 =𝐸 𝐴=[1 2 3]. 12 13 12 7 8 9 0 1 0 0 0 1 [易错点]：左行右列，左乘𝐸 =[1 0 0]即一二行互换，右乘[0 1 0]即一三列互换， 12 0 0 1 1 0 0 不要混淆。