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专题 16 二次函数
考情概览
考点1 二次函数综合
考点 1 二次函数综合
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
O和点 ．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；
②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a
的取值范围．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，
求 的取值范围.3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若对于 ， 有 ，求 的值；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上，设抛物线的对称轴为
(1)当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 的值；
(2)点 在抛物线上，若 求 的取值范围及 的取值范围．
5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线
上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．
1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若对于 ， ，都有 ，求m的取值范围．
2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ ， 为常
数， ）．
(1)当 ， 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点 ， 和 都在抛物线上，如果对于 ，
，都有 ，求 的取值范围．
3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2) 和 是抛物线上的两点，若对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)点 ， ， 在抛物线上．若对于 ，都有 ，
求t的取值范围．
5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 （ ）．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)已知 和 是抛物线上的两点．若对于 ， ，都有
，求a的取值范围．
6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；(2)若点 ，抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围；
(3) 是抛物线 上两点，若 ，直接写出 取值范
围．
7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
，设该抛物线的对称轴为 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)点 是该抛物线上两个点，当 时，对于 的每一个值，总存在 ，
使得 ， ，且 成立，求 的取值范围．
8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系 中，点 是抛物线
上的两个不同点．
(1)当 时，有 ，求 的值；
(2)当 时，都有 ，求 的取值范围．9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的对称轴；
(2)已知 ， 是抛物线上的两点．若对于 ，都有 ，求a的取值
范围．
10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
上有 两点．
(1)对于 ，有 ，求该抛物线的顶点坐标；
(2)对于任意实数 ，若 ，都有 ，求 的值．
11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 ， 在抛物线上．对于 ， ，都有 ，求a的
取值范围．12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线
上，设抛物线的对称轴为 ．
(1)当 ， 时，求 的值；
(2)当 时，若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求该抛物线与 轴交点坐标；
(2)已知 ， 为该抛物线上的两点，若对于 ， ，都有
，求 的取值范围．
14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系 中， 是抛物线
上的两点．
(1)若对于 ，有 ，求抛物线的对称轴；
(2)若对于 ，都有 ，求 的取值范围．15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点 ， 在抛物线上．若 ，求a的取值范围
16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （a，b为常
数且 ）．
(1)若 ， ，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， 和 是抛物线上的两点．对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)求抛物线的对称轴；(2)当 时，对于任意的正数 ，若 是抛物线上的两点，则
_____ （填“ ”“ ”“ ”）；
(3)已知直线： 上两点 ，其中点 的横坐标为1，点 的纵坐标为 ，若
抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
．
(1)求抛物线的对称轴；
(2) 是抛物线上的两点，若对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系 中， 是抛物线
上的两点．
(1)当 时，求 的值；
(2)若对于 ，都有 ，求 的取值范围．20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系 中，已知 ， 是抛物
线 上两点，且抛物线经过 ．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知 ， ，
， 是抛物线 上的四个点，且任意两点都不重合．
(1)直接写出抛物线 与 轴的交点坐标（可用含 的代数式表示）；
(2)将抛物线在点 ， 之间的部分（含 ， ）所有点的纵坐标的最小值记为 ，并将抛
物线在 ， 之间的部分（含 ， ）所有点的纵坐标的最小值记为 ，若 ，求 的
取值范围．
22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两个点，且 总成立，求 的取值范
围．23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， ， 是抛物线上的三个点．若对于 ， ，
，都有 ，求 的取值范围．
24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上．
(1)当 时，求抛物线与 轴交点的坐标；
(2)若对于任意的 ，总有 ，求 的取值范围．
25．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上，且它的对称轴为直线 ．
(1)当 时，求 的值；(2)如果点 ， 在抛物线上，当 时，比较 和 的大小，并说明
理由．
26．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴
为直线 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)点 ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并
说明理由．
27．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
(2)若点 ，抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围；
(3) 是抛物线 上两点，若 ，直接写出 取值范
围．
