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专题 17 圆的基本性质
考情概览
考点1 圆的基本性质
考点 1 圆的基本性质
1．（2025·北京·中考真题）如图， 是地球的示意图，其中 表示赤道， ， 分
别表示北回归线和南回归线， ．夏至日正午时，太阳光线 所在
直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角 （即平行于 的光线 与 的切线
所成的锐角）的大小为 °．
【答案】43
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解
题的关键．设 与 交于点K，先由三角形内角和定理求出 ，再根据平行
线的性质求解即可．
【详解】解：如图，设 与 交于点K，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2024·北京·中考真题）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，
则
【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点
是解题的关键．
先由垂径定理得到 ，由 得到 ，故 ．
【详解】解：∵直径 平分弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023·北京·中考真题）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D，
是 的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为
．【答案】
【分析】根据 ，得出 ， ，根据等腰直角三角形的性质
得出 ，即 ，根据 ， ，得出
为等腰直角三角形，即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出 ．
4．（2021·北京·中考真题）如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则
．
【答案】130°
【分析】由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
1．（2025·北京通州·一模）如图， ， 都是 的切线，切点分别为 ，若
，那么 的度数是 ．
【答案】
【分析】此题考查了切线的性质，四边形的内角，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
由 ， 都是 的切线，可知 ， ，再由四边形的内角和即可解答．
【详解】解：∵ ， 都是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2025·北京大兴·一模）将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边
与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角
器的直径 的长为 ，则点O到 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识
点，掌握这些基础知识点是解题关键．
连接 ，过点O作 于点H，根据题意得出 ，再由等边三角形
的判定和性质得出 为等边三角形， ，结合三线合一及勾股定理求
解即可．
【详解】解：如图：连接 ，过点O作 于点H，
∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵直径 的长为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点O到 的距离为 ，
故答案为： ．
3．（2025·北京东城·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 都
在格点上，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，则扇形 的面积为
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算
公式是解题的关键．
连接 ，根据勾股定理求出 ， ，
，得到 ， ， ，推出 是直角三角
形， ，得到 ，求出 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意得 ， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形， ，，
，
故答案为： ．
4．（2025·北京顺义·一模）如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 交于点 ，
若 为 中点， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
连接 ，得到 ， ， ，求出
，得到 ，求出
．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的直径， 为 中点，
， ， ，，
，
，
．
故答案为： ．
5．（2025·北京朝阳·一模）如图， 是 的直径，点C，D在 上， ，若
，则 °．
【答案】65
【分析】本题考查了圆和三角形．熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形性质，是解答该
题的关键．
利用直径所对的圆周角是直角可得 ，由等腰三角形的性质推知 ．
【详解】解： ∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故答案为：65．
6．（2025·北京平谷·一模）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 ，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】连接 ，由圆周角定理求出 的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的
关系得到 的度数，从而求出 的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定
理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵弦 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（2025·北京海淀·一模）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）．若
，则 的大小为 ．【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．熟练掌握垂径定理
是解题的关键．
根据圆周角定理得出 ，根据垂径定理求出 ，根据在同圆中，等弧所
对的圆心角相等即可求解．
【详解】解：连接 ，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵直径 平分弦 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2025·北京·一模）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）．若 ，
则 ．【答案】 /35度
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周
角定理．
利用垂径定理得出 ，求得 ，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ 的直径 平分弦 ，
，
，
，
故答案为： ．
9．（2025·北京朝阳·二模）如图， 内接于 ， ，点 在 上， 平
分 ．若 ，则 ．
【答案】55
【分析】本题考查了等边对等角，垂径定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识，正确
作出辅助线是关键．
如图所示，设 交于点 ，连接 ，则四边形 是圆的内接四边形，根据等边
对等角，圆内接四边形得到 ，根据垂径定理得到 即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交于点 ，连接 ，则四边形 是圆的内接四边
形，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2025·北京大兴·二模）如图，四边形 中， ，若 ，则用
等式表示 和 的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理．由题意得点 在以 为圆心， 为半径的
上，利用圆周角定理得到 ， ，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴点 在以 为圆心， 为半径的 上，如图，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（2025·北京大兴·二模）如图， 是 的直径，弦 于点 ，若
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理．连接 ，根据题意再结合垂径定理得到
， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
12．（2025·北京石景山·二模）如图， 为 的弦， ， ，半径
于点 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段．
根据垂径定理，先利用勾股定理求出 ，再求出 的长．
【详解】解：∵ 为 的弦， ，半径 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 2．
13．（2025·北京顺义·二模）如图， 是 的直径，点 在 上．若
，则 ．【答案】 /65度
【分析】本题主要考查圆周角定理，连接 ，由圆周角定理得 ，由
夹角的定义得 ，再由圆周角定理可得 ．
【详解】解：连接 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（2025·北京海淀·二模）如图， 为 的直径，点 在 上，点 为 的中点，
连接 ．若 ，则 ．
【答案】50
【分析】根据 是圆 的直径，可得到直角三角形 （直径所对的圆周角是直角），
由点 是弧 的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的 的度数求
出 的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）
以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线 ，结合已知
角度，逐步求出 的度数
【详解】解：连接∵ 是 的直径，
∴ ．
在 中，∵ ， ，
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
．
故答案为：50．
15．（2025·北京丰台·二模）如图， ， 是 的切线， ， 是切点．若
，则 °．
【答案】25
【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，
先根据切线的性质及切线长定理得 ，再证明 ，根据
全等三角形的性质得 ，然后结合已知条件答案可得．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：25．
16．（2025·北京门头沟·二模）如图， 是 直径， 于 ，连接 、 和
，如果 ，那么 度．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握以上知识是关键．
根据题意得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据直角三角形
两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ 是 直径， 于 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 所对的圆周角为 ，所对的圆心角为 ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
17．（2025·北京密云·一模）如图， 为 直径， 为 的一条弦， 于 ，
连接 ． ，则 的大小为 ．【答案】70
【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理以及等腰三角形的性
质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接 ，首先根据圆周角定理可得
，结合 知 ，即有 ，然后根据
等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如下图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为：70．
18．（2025·北京昌平·二模）如图，以 为直径的 上有两点C，D．若 ，
则 的度数为 ．【答案】70
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半，是解题的关键．
先根据邻补角互补求出 ，再由圆周角定理得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：70．
