(406)--专题七方程根的存在性及个数笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题7 方程根的存在性及个数 （P97-103） 主讲 武忠祥 教授（一）根的存在性 方法1 零点定理 若函数 在区间 上连续，且 则方程 f ( x) [a,b] f (a) f (b)  0, f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根. 【注】若函数 f (x) 在区间 (a,b) 内连续，且 lim f (x)  ,  xa lim f (x)  , 0, 则方程 f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根.  xb 方法2 罗尔定理 若函数 F(x) 在区间 [a,b] 上满足罗尔定理三个条件，且 F  (x)  f (x), x (a,b), 则方程 f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根.（二）根的个数 方法1 单调性 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 上单调（严格单调），则方程 f (x)  0 在 上最多一个实根. [a,b] 方法2 罗尔定理推论 若在区间 I 上 f (n) (x)  0, 则方程 f (x)  0 在 I 上最多 n 个实根.【例1】设 f (x)  ln (x  1)(x  2)(x  n) ，则方程 f  (x)  0 根的个数为 _________ . [(x  1)(x  2)(x  n)]  【解】 f  (x)  (x  1)(x  2)(x  n) g(x)  (x  1)(x  2)(x  n) g(1)  g(2)   g(n)  0【例2】设 f (x)  x 3 (1  x) 3 , 则方程 f  (x)  0 在 (0,1) 上( ) (A)有1个根 (B)有2个根 (C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程 4ax 3  3bx 2  2cx  a  b  c 在 (0,1) 内至少有一个实根，则（ ） （A）a  0 （B）b  0 （C）c  0 （D）a,b,c 为任意实数.1 1 【例4】(1996年1,2)在区间 (,) 内,方程 x  | x |2  cos x  0 4 （A）无实根 （B）有且仅有一个实根 （C）有且仅有两个实根 （D）有无穷多个实根 1 1 【解】令 f (x)  x  | x |2  cos x, 偶函数， 4 1 1 x [0,), f (x)  x4  x2  cos x, f (0)  1  0 f (1)  2  cos1  0 3 1 1  1  f  (x)  x 4  x 2  sin x  0 x  (0,1), 4 2 1 1 f (x)  x4  x2  cos x  2  cos x  0 x  (1,),x 【例5】方程  e t 2 d t  x 3  x（ ） 0 （A）有且仅有一个实根 （B）有且仅有两个实根 （C）有且仅有三个实根 （D）有无穷多个实根 x 【解】令 f (x)   e t 2 d t  x 3  x ,则 f (x) 是 (,) 上的奇函数， 0 f (0)  0, f  (x)  e x 2  3 x 2  1 f  (0)  2  0, lim f  (x)   x f  (x)  2xe x 2  6x  0 x  (0,) 则存在唯一的 x (0,), 使 f  (x )  0 ，且 0 0 当 x (0, x ) 时， f  ( x )  0 0 当 x (x ,) 时， f  ( x )  0 f (x )  0 lim f (x)   0 0 x【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解1】 令 f (x)  e x  x 2  2x  2 ,则 1 f (0)  1  0 f (1)   1  0, f (2)  e 2  2  0 e 则 f (x) 分别在 (1,0),(0,2) 内至少各有一个零点， f  (x)  e x  2x  2 f  (x)  e x  2  0【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解2】原方程变形得 1  e x ( x 2  2x  2) 令 f (x)  e x (x 2  2x  2)  1 f  (x)  e x x(4  x)  0 x  0, x  4 1 2 (,0) f  (x)  0 (0,4) f  (x)  0 (4,) f  (x)  0 f ()   f (0)  1 f (4)  6e 4  1 f ()  1【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解3】几何法 原方程变形得 e x  (x  1) 2  3【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( ) 1 1 (A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根； e e 1 (C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两实根 e 【解1】将原方程变形得 ax  ln x  0 令 f (x)  ax  ln x (x  0), 则 1 f  (x)  a  x 1）若 a  0 时, f  (x)  0, 则 f (x) 单调减,又 lim f (x)  , lim f (x)  , x0  x 则方程 有唯一实根. ln x  ax 1 2）若 a  0 时,则当 0  x  时， f  (x)  0, f (x) 单调减,当 a 1 1 x  时， f  (x)  0, f (x) 单调增.又 lim f (x)  , f ( )  1  ln a, lim f (x)  , a x0  a x【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( ) 1 1 (A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根； e e 1 (C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两个实根 e ln x 【解2】将原方程变形得  a （分离参数） x ln x 令 f (x)  (x  0), x 1  ln x f  (x)  则 2 x 令 f  (x)  0, 得 x  e. 当 0  x  e 时， f  (x)  0, f (x) 单调增； 当 e  x 时， f  (x)  0, f (x) 单调减； 1 ln x f (e)  , lim  , lim f (x)  0. e x0  x x【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( ) 1 1 (A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根； e e 1 (C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两个实根 e 【解3】几何法【例8】设 f (x) 在 [a,) 上二阶可导，且 f (a)  0, f  (a)  0. 当 x  a 时， f  (x)  0. 证明方程 f (x)  0 在 (a,) 有且仅有 一个实根. 【证】由 f  ( x)  0 及 f  (a)  0 知方程 f (x)  0 在 (a,) 上最多一个实根. 由泰勒公式知当 x  (a,) 时 f  () f (x)  f (a)  f  (a)(x  a)  (x  a) 2 2!  f (a)  f  (a)( x  a)  . (x  )【例9】(2012年2)（I）证明方程 x n  x n1    x  1 （ n 为大于1 1 的整数）在区间 ( ,1) 内有且仅有一个实根； 2 （II）记（I）中的实根为 ,证明 存在,并求此极限. x lim x n n n 【证】（I）令 f (x)  x n  x n1    x  1(n  1) 1 1 (1  ) 1 n 1 2 2 1 则 在 上连续,且 f ( )   1 f (x) [ ,1]    0 2 1 n 2 1  2 2 1 方程 在 内至少有一个实根.当 f (1)  n  1  0 f (x)  0 ( ,1) 2 1 x  ( ,1) 时， f  ( x )  n x n  1  (n  1)x n2    2x  1  0, 2 1 （II）由 x  ( ,1) 知数列 {x } 有界,又 n n 2 x n  x n1    x  1, x n1  x n  x n1    x  1. n n n n1 n1 n1 n1【例10】设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上具有2阶导数，且 f (x) 证明： f (1)  0, lim  0.  x x0 （Ⅰ）方程 f (x)  0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根; （Ⅱ）方程 f (x) f  (x)  ( f  (x)) 2  0 在区间 (0,1) 内至少存在 两个不同的实根. f (x) f (x) 【证】（Ⅰ）由 知， lim  0 f (0)  0,  0, x  (0,)  x x x0 f (x)  0, f (1)  0, 存在 c  (0,1), f (c)  0 （Ⅱ）令 F(x)  f (x) f  (x) 存在  (0,c), f  ()  0 存在 F(0)  F()  F(c)  0   (0,),  (,c), F  ( )  F  ( )  0 1 2 1 2f (x) f (x) 【例11】设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导, lim  lim  1, 试证:  x  x  1 x0 x1 （I）方程 在 内至少有一个实根； f (x)  0 (0,1) （II）对任意实数  ,方程 f  (x)  f (x)  0 在 (0,1) 内至少有两个实根； （III）方程 f  (x)  2 f  (x)  3 f (x)  0 在 (0,1) 内至少有一个实根. f (x) f (x) 可知 且存在 【证】（I）由 lim  lim  1  0 f (0)  f (1)  0,  x  x  1 x0 x1 ,(0     1) ，使得 f ()  0, f ()  0, 存在  (,), 使得 f ()  0, （II）令 F(x)  e x f (x), 则 F(0)  F()  F(1)  0, 存在   (0,),  (,1), 1 2 使得 F  ( )  F  ( )  0, 即 f  ( )  f ( )  0, f  ( )  f ( )  0 1 2 1 1 2 2 （III）在（II）中令  3, 则 f  ( )  3 f ( )  0, f  ( )  3 f ( )  0 1 1 2 2 令 G(x)  e x [ f  (x)  3 f (x)], 则 G( )  G( )  0, 存在  ( , ) ,使得 1 2 1 2 G  ()  0, 即 e  [ f  ()  2 f  ()  3 f ()]  0祝同学们 考研路上一路顺利！