(406)--专题七方程根的存在性及个数笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题7 方程根的存在性及个数
（P97-103）
主讲 武忠祥 教授（一）根的存在性
方法1 零点定理
若函数 在区间 上连续，且 则方程
f ( x) [a,b] f (a) f (b)  0,
f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根.
【注】若函数 f (x) 在区间 (a,b) 内连续，且 lim f (x)  ,

xa
lim f (x)  , 0, 则方程 f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根.

xb
方法2 罗尔定理
若函数
F(x)
在区间 [a,b] 上满足罗尔定理三个条件，且
F  (x)  f (x), x (a,b),
则方程 f (x)  0 在 (a,b) 上至少有一个实根.（二）根的个数
方法1 单调性
若函数 f (x) 在区间 [a,b] 上单调（严格单调），则方程 f (x)  0
在 上最多一个实根.
[a,b]
方法2 罗尔定理推论
若在区间 I 上 f (n) (x)  0, 则方程 f (x)  0 在 I 上最多 n 个实根.【例1】设 f (x)  ln (x  1)(x  2)(x  n) ，则方程 f  (x)  0
根的个数为
_________ .
[(x  1)(x  2)(x  n)] 
【解】 f  (x) 
(x  1)(x  2)(x  n)
g(x)  (x  1)(x  2)(x  n)
g(1)  g(2)   g(n)  0【例2】设 f (x)  x 3 (1  x) 3 , 则方程 f  (x)  0 在 (0,1) 上( )
(A)有1个根 (B)有2个根
(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程 4ax 3  3bx 2  2cx  a  b  c 在 (0,1)
内至少有一个实根，则（ ）
（A）a  0 （B）b  0
（C）c  0 （D）a,b,c 为任意实数.1
1
【例4】(1996年1,2)在区间 (,) 内,方程 x  | x |2  cos x  0
4
（A）无实根 （B）有且仅有一个实根
（C）有且仅有两个实根 （D）有无穷多个实根
1
1
【解】令 f (x)  x  | x |2  cos x, 偶函数，
4
1 1
x [0,), f (x)  x4  x2  cos x,
f (0)  1  0 f (1)  2  cos1  0
3 1
1  1 
f  (x)  x 4  x 2  sin x  0 x  (0,1),
4 2
1 1
f (x)  x4  x2  cos x  2  cos x  0 x  (1,),x
【例5】方程  e t 2 d t  x 3  x（ ）
0
（A）有且仅有一个实根 （B）有且仅有两个实根
（C）有且仅有三个实根 （D）有无穷多个实根
x
【解】令 f (x)   e t 2 d t  x 3  x ,则 f (x) 是 (,) 上的奇函数，
0
f (0)  0, f  (x)  e x 2  3 x 2  1
f  (0)  2  0, lim f  (x)  
x
f  (x)  2xe x 2  6x  0 x  (0,)
则存在唯一的 x (0,), 使 f  (x )  0 ，且
0 0
当 x (0, x ) 时， f  ( x )  0
0
当 x (x ,) 时， f  ( x )  0 f (x )  0 lim f (x)  
0 0
x【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解1】 令 f (x)  e x  x 2  2x  2 ,则
1
f (0)  1  0 f (1)   1  0, f (2)  e 2  2  0
e
则 f (x) 分别在 (1,0),(0,2) 内至少各有一个零点，
f  (x)  e x  2x  2
f  (x)  e x  2  0【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解2】原方程变形得 1  e x ( x 2  2x  2)
令 f (x)  e x (x 2  2x  2)  1
f  (x)  e x x(4  x)  0 x  0, x  4
1 2
(,0) f  (x)  0
(0,4) f  (x)  0
(4,) f  (x)  0
f ()   f (0)  1 f (4)  6e 4  1 f ()  1【例6】方程 e x  x 2  2(x  1) 的实根个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解3】几何法
原方程变形得
e x  (x  1) 2  3【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( )
1 1
(A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根；
e e
1
(C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两实根
e
【解1】将原方程变形得 ax  ln x  0
令 f (x)  ax  ln x (x  0), 则
1
f  (x)  a 
x
1）若 a  0 时, f  (x)  0, 则 f (x) 单调减,又
lim f (x)  , lim f (x)  ,
x0  x
则方程 有唯一实根.
ln x  ax
1
2）若 a  0 时,则当 0  x  时， f  (x)  0, f (x) 单调减,当
a
1
1
x  时， f  (x)  0, f (x) 单调增.又 lim f (x)  , f ( )  1  ln a, lim f (x)  ,
a x0  a x【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( )
1 1
(A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根；
e e
1
(C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两个实根
e
ln x
【解2】将原方程变形得  a （分离参数）
x
ln x
令 f (x)  (x  0),
x
1  ln x
f  (x)  则
2
x
令 f  (x)  0, 得 x  e.
当 0  x  e 时， f  (x)  0, f (x) 单调增；
当 e  x 时， f  (x)  0, f (x) 单调减；
1 ln x
f (e)  , lim  , lim f (x)  0.
e
x0
 x x【例7】设有方程 ln x  ax ,则下列结论不正确的是( )
1 1
(A) 当 a  时原方程无实根； (B) 当 a  时原方程有唯一实根；
e e
1
(C) 当 0  a  时原方程有两个实根； ( D ) 当 a  0 时原方程有两个实根
e
【解3】几何法【例8】设 f (x) 在 [a,) 上二阶可导，且 f (a)  0, f  (a)  0.
当 x  a 时， f  (x)  0. 证明方程 f (x)  0 在 (a,) 有且仅有
一个实根.
【证】由 f  ( x)  0 及 f  (a)  0 知方程 f (x)  0 在 (a,)
上最多一个实根.
由泰勒公式知当 x  (a,) 时
f  ()
f (x)  f (a)  f  (a)(x  a)  (x  a) 2
2!
 f (a)  f  (a)( x  a)  . (x  )【例9】(2012年2)（I）证明方程 x n  x n1    x  1 （ n 为大于1
1
的整数）在区间 ( ,1) 内有且仅有一个实根；
2
（II）记（I）中的实根为 ,证明 存在,并求此极限.
x lim x
n n
n
【证】（I）令 f (x)  x n  x n1    x  1(n  1)
1 1
(1  )
1 n
1 2 2 1
则 在 上连续,且 f ( )   1
f (x) [ ,1]    0
2 1
n
2 1  2
2
1
方程 在 内至少有一个实根.当
f (1)  n  1  0 f (x)  0 ( ,1)
2
1
x  ( ,1) 时， f  ( x )  n x n  1  (n  1)x n2    2x  1  0,
2
1
（II）由 x  ( ,1) 知数列 {x } 有界,又
n n
2
x n  x n1    x  1, x n1  x n  x n1    x  1.
n n n n1 n1 n1 n1【例10】设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上具有2阶导数，且
f (x)
证明：
f (1)  0, lim  0.
 x
x0
（Ⅰ）方程 f (x)  0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根;
（Ⅱ）方程 f (x) f  (x)  ( f  (x)) 2  0 在区间 (0,1) 内至少存在
两个不同的实根.
f (x) f (x)
【证】（Ⅰ）由 知，
lim  0 f (0)  0,  0, x  (0,)
 x x
x0
f (x)  0, f (1)  0,
存在 c  (0,1), f (c)  0
（Ⅱ）令 F(x)  f (x) f  (x) 存在  (0,c), f  ()  0
存在
F(0)  F()  F(c)  0   (0,),  (,c), F  ( )  F  ( )  0
1 2 1 2f (x) f (x)
【例11】设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导, lim  lim  1, 试证:
 x  x  1
x0 x1
（I）方程 在 内至少有一个实根；
f (x)  0 (0,1)
（II）对任意实数  ,方程 f  (x)  f (x)  0 在 (0,1) 内至少有两个实根；
（III）方程 f  (x)  2 f  (x)  3 f (x)  0 在 (0,1) 内至少有一个实根.
f (x) f (x)
可知 且存在
【证】（I）由 lim  lim  1  0 f (0)  f (1)  0,
 x  x  1
x0 x1
,(0     1) ，使得 f ()  0, f ()  0, 存在  (,), 使得 f ()  0,
（II）令 F(x)  e x f (x), 则 F(0)  F()  F(1)  0, 存在   (0,),  (,1),
1 2
使得 F  ( )  F  ( )  0, 即 f  ( )  f ( )  0, f  ( )  f ( )  0
1 2 1 1 2 2
（III）在（II）中令  3, 则 f  ( )  3 f ( )  0, f  ( )  3 f ( )  0
1 1 2 2
令 G(x)  e x [ f  (x)  3 f (x)], 则 G( )  G( )  0, 存在  ( , ) ,使得
1 2 1 2
G  ()  0, 即 e  [ f  ()  2 f  ()  3 f ()]  0祝同学们
考研路上一路顺利！