文档内容
专题 21 统计与概率
考情概览
考点1 概率
考点2 样本估计总体
考点3 数据分析
考点 1 概率
1．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这
些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·中考真题）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第
二次反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京·中考真题）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬
币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无
其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次
摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．考点 2 样本估计总体
5．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数
（ ）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的 数据（单位： ），
并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是 ．
6．（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了
它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量 （单位：g）满足 时，评定该工件为一等品.根据以上
数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
7．（2023·北京·中考真题）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从
中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
8．（2022·北京·中考真题）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑
冰鞋的鞋号，数据如下：
3
鞋号 35 36 37 38 40 41 42 43
9
1
销售量/双 2 4 5 5 6 3 2 1
2
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．9．（2021·北京·中考真题）有甲､乙两组数据，如表所示：
1
甲 11 12 13 15
4
1 1
乙 12 13 14
2 4
甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 （填“＞”，“＜”或
“＝”）．
考点 3 数据分析
10．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比
赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分
析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平
均 12.5 12.5 p 12.5
数
中
位 m 12.5 12.8 12.45
数
方
0.056 n 0.034 0.056
差
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均
数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均
数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
11．（2024·北京·中考真题）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两
个阶段.
(1)初赛由 名教师评委和 名学生评委给每位选手打分（百分制） 对评委给某位选手的
打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组
）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
委
学生评
委
根据以上信息，回答下列问题：
① 的值为___________， 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为 ，则
___________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打
分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠
前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，
表中 （ 为整数）的值为____________.
12．（2023·北京·中考真题）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单
位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．
据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，
172，他们的身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定
的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的
三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别
为______和______．
13．（2022·北京·中考真题）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演
唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，
下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学
演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填
“甲”或“乙”）；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，
最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最
优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．
14．（2021·北京·中考真题）为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两
座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万
元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
）：．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，
11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．比较 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结
果）．
考点 1 概率
1．（2025·北京海淀·一模）不透明袋子中装有 个红球和 个黄球，这些小球除颜色外无
其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出 个红球和1个黄球的概率是（ ）A． B． C． D．
2．（2025·北京西城·一模）在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它
们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京大兴·一模）围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个
不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋
子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·北京通州·一模）北京城市副中心绿心公园步行道上有“二十四节气”，每个节
气都有独特的设计和标识，在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，
其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，
从中随机摸出一张卡，恰好是“立春”的可能性大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化
底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，
把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两
次抽取的卡片正面相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·北京石景山·一模）不透明的袋子中有两枚白色棋子，一枚黑色棋子，三枚棋子
除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，则第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·北京房山·一模）不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其
他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是
红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京石景山·一模）不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3
个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那
么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·北京石景山·二模）不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无
其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同
颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·北京朝阳·二模）不透明的袋子中装有 个红球、 个绿球，这 个球除颜色外
无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·北京顺义·二模）北京是一座历史悠久的城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙
两人相约来到北京旅游，两人分别从 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两
人同时选择景点 的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·北京昌平·二模）不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色
外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．13．（2025·北京西城·二模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会
通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中
天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景
点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是 ．
考点 2 样本估计总体
1．（2025·北京·一模）某中学随机抽查了 名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，
结果如表所示：
时间（小
时）
人数
根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过 小时．如果该校共有学生
人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有 人．
2．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑
战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容
道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、
优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示：
项目奖 九连 七巧 五子 二十四 魔 华容 数
项 环 板 棋 点 方 道 独
参与奖 2 7 5 7 4 7 4
优秀奖 5 10 9 9 7 8 7
卓越奖 9 12 13 15 12 10 9
小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得
卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获
得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为
，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为
3．（2025·北京西城·一模）某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产
线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两
条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下：
A：89 91 92 93 95
B：88 91 92 93 96
则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是 ．
4．（2025·北京海淀·一模）某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智
能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：
秒），数据整理如下：
响应时间t（秒）
音箱数量（台） 15 25 10 10
根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为 台．
5．（2025·北京东城·一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康
测试结果登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，
估计该校学生体质健康测试结果为“优秀”的总人数为 ．
6．（2025·北京大兴·一模）2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，旨在动员全
社会做生态文明的积极传播者和模范践行者，投身美丽中国建设．为了解所在小区居民各
类生活垃圾的投放情况，小丽同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放
量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布
情况的扇形统计图如图所示，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共
千克．7．（2025·北京顺义·一模）某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500
本图书的种类，数据如表：
自然科
图书种类 文学 人文社科 工程技术 艺术
学
借阅数量/本 55 101 168 153 23
根据以上数据，估计该图书馆购进图书种类需求最多的图书的数量为 本．
8．（2025·北京石景山·一模）某地区有400个公园．为了解公园用地面积的基本情况，从
中随机抽取50个公园并获得它们的用地面积x（单位：公顷），数据整理如下：
用地面积
公园个数 4 10 16 12 8
根据以上数据，估计这400个公园中用地面积不超过12公顷的公园有 个．
9．（2025·北京朝阳·一模）体育委员从全年级 名学生中随机抽取了 名同学，统计
了他们 秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次
数
频
数
根据以上数据，估计该年级的 名学生中 秒跳绳次数在 范围的学生有
人．
10．（2025·北京·一模）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的800名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成表，请你估计
这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ．
节水量/ 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
11．（2025·北京通州·一模）《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学
生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这
1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了
他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下：
家务劳动时长
学生人数 10 30 23 20 15 2
根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为 名．
12．（2025·北京平谷·一模）下表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位： ）
的数据：
身 14 15 15 15 15 15 15 15
高 6 1 3 4 6 7 8 9
人
1 2 2 2 3 4 8 4
数
身 16 16 16 16 16 16 16 17
高 0 1 2 3 4 5 7 0
人
4 2 4 3 3 3 4 1
数
根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在 （含 ） 以上的人数为
．
13．（2025·北京丰台·一模）为了解某校九年级 名学生每周在校的综合体育活动时间
（单位：小时），从中随机抽取了 名学生进行调查，数据整理如下：
时间 /小时
学生人数 2 6 26 6根据以上数据，估计该校九年级400名学生每周在校的综合体育活动时间不低于10小时的
人数是 ．
14．（2025·北京房山·一模）某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情
况统计如表：
月用电量x（千瓦时）
户数（户） 7 13 10 15 5
根据以上数据，估计该小区用电量在 （千瓦时）的家庭有 户．
15．（2025·北京·一模）某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10
名女教师计算了它们的体重指数，得到的数据如下：
24.8 23.0 23.5 23.9 25.2
18.9 22.1 19.7 22.4 17.3
当体重指数参考值x 满足 时，评定为标准体重．根据以上数据，估计
这300名女教师中标准体重的人数是 ．
16．（2025·北京西城·二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列
抽样调查方式中最合适的是（ ）
A．随机抽取某个班的全体学生
B．每个年级各推荐20名学生
C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生
D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生
17．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后
的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下：
甲组：10，11，12，13，14，15
乙组：12，13，14，16，15，
若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的 的值可以为 ．（写出一个即可）
18．（2025·北京房山·二模）某校为了解全校 名学生的课外阅读情况，从中随机抽取
了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下：
每周课外阅读时间 /小时
人数
若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需
要表彰约 人．
19．（2025·北京大兴·二模）从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，
参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班
的优秀人数 乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）．
中位
班级 平均数 众数
数
甲班 86 84 85
乙班 84 86 85
20．（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知
识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整
理如下：
成绩
人数 10 15 25 30 20
根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人．
21．（2025·北京丰台·二模）某商场计划进某款运动服200件，了解了某段时间内销售的
40件该款运动服的尺码，数据如下：
尺码
销售量/件 5 15 9 10 1
根据以上数据，估计该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为 件．22．（2025·北京昌平·二模）某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，
20，19，13，17（单位： ，此时七人负重数据的方差为 ．出发时又为每位成员补充
了 饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为 ，则 （填“>”，“=”或
“<”）．
考点 3 数据分析
1．（2025·北京·一模）某校“ 节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的
打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：
85，86，88，90，90，91，92，94
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ）
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
90
委
学生评
93
委根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分的众数 ， 的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为 ，
则 （填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其
打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排
序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 90 92 90 89 91
乙 90． 91 89 90 91
丙 92 89 91 91
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中
（ 为整数）的值为 ．
2．（2025·北京石景山·一模）某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名
学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据．
a．甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据：
甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5
乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3
b．甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数：
得分平均 篮板平均 助攻平均
数 数 数
甲 21.5 5.0 1.2乙 18.9 5.0 3.0
根据以上信息，回答下列问题：
(1)10场比赛中，甲学生篮板的众数是______，乙学生篮板的中位数是______；
(2)10场比赛中，篮板更稳定的是______学生（填“甲”或“乙”）；
(3)记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个．若 的值越大，则认为该
名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好（填
“甲”或“乙”）．
3．（2025·北京·一模）为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办
“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，
每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按 比例计算出每人
的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含
最大值）
② 其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成 抢答成 演讲成 总评成
绩 绩 绩 绩
小
93 90 92 91.6
文小
90 85 96
武
根据以上信息，回答下列问题：
(1)将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
(2)45名选手初赛成绩的中位数为 分；
(3)总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
(4)上表中a = 分；
(5)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人
中，谁能进入决赛，并说明理由．
4．（2025·北京朝阳·一模）一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．
某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行
了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：
）：b．二队成绩如下：
68 69 70 70 71 73 77 78 80 81
82 82 82 82 83 83 83 86 91 94
c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均 众 中位
数 数 数
一
79.6 77 P
队
二
79.25 m q
队
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m的值为___________，p___________q（填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________；
A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大
C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小
(3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学
又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手
排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试 测试 测试 测试 测试
1 2 3 4 5
甲 90 94 90 94 91
乙 91 92 92 92 93丙 93 90 92 93 k
若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________．
5．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中
45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试．
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试
0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
的正确率
(1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确
率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，
以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保
留小数点后三位）；
②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被
正确识别．
6．（2025·北京东城·一模）2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代
中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某
校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息：
a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组： ，
， ， ， ）：
b．20名学生校外体育活动时长在 这一组的
是：
55 56 56 56 56 56 58 59
c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
56.2 m n
(1)根据以上信息，回答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②m的值为________，n的值为________．
(2)甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）：
学 第一 第二 第三 第四 第五
生 天 天 天 天 天
甲 64 58 60 60 59
乙 60 63 60 60 57
丙 62 60 58 59 p
对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平
均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这
三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________．7．（2025·北京顺义·一模）某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶
段．
(1)初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手
的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．专业评委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
b．群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组
）：
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91 m n
群众评委 p 91
根据以上信息，回答下列问题：
①写出表中m，n的值；
②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该
选手_______（能/不能）直接进入复赛；
③比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级．当有一半及以上的评委打分超过
95评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级；当没有达
到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级．那么该选手的受欢迎等级为
_______（一级/二级/三级）；(2)复赛由5名专家评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为
评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委
给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委
对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是________（打分为整数）．
8．（2025·北京石景山·一模）沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时
的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容
器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即
为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位： ）与时间t
（单位： ）之间的关系，部分数据如下：
30 60 90 120 150
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完 沙子所用的时间t（单
位： ）与孔径d（单位： ）之间的关系，部分数据如下：
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：(1)在探究一中， 时漏下沙子的质量约为______ （结果保留小数点后一位）；
(2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为______ ；
(3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完 沙子所用时间为 的沙漏，其孔径约为______
（结果保留小数点后一位）．
9．（2025·北京房山·一模）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健
美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比
赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表：
单项比赛 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数
计分规则 即为该项得分．
团体决赛 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若
计分规则 最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前．
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，
部分信息如下：
a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图：b．丙班五个单项得分表：
项
一 二 三 四 五
目
得 8 9 9 9
m
分 8 4 0 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲班五个单项得分的中位数为：________；
(2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二
个单项的得分 ________；
(3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）；
(4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整
数）．
10．（2025·北京平谷·一模）七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的
测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息：
a．这20名男生体能测试成绩如下：
b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组： ，
：
c．
这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均 众 中位数 数 数
请根据所给信息，解答下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的
了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成
绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三
次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均
数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下：
成绩 成绩 成绩 本次测试
1 2 3 成绩
甲 93 94 95
乙 96 94 95
丙 93 94 94
则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分
相同，则落选的那位选手为___________．
11．（2025·北京大兴·一模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立
体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理
年”活动．活动时间为2024—2026年．
体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．计算方法为BMI＝体重÷身高 （体重
单位：千克身高单位：米）．我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如图．
某工厂为了解员工的体重指数（BMI）情况，进行了抽样调查，过程如下：
a．收集数据
从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的BMI值后，按从小到大排序如下：
男职工 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8
21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4
23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6
女职工 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1
20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8
22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8
b．整理数据
BMI（m）
人数
组别
男职工 3 21 4 2
女职工 5 k 4 3
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
组别
数 数 数
男职
22.34 22.2 n
工
女职
21.51 p 21.5
工
根据以上信息，回答下列问题：
(1) _________， _________， _________；
(2)估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_________；
(3)请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议_________．
12．（2025·北京西城·一模）某地区计划通过面试从报名参加文化推广的人员中选出“文
化志愿者”．现收集了所有30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数
据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．30个数据的频数分布直方图如下（数据分5组： ， ， ，
， ）；
b．30个数据在 这一组的是：
65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布直方图中m的值是______，这30个数据的中位数是______；
(2)本次面试平均成绩约为______（同一组数据用该组的组中值作代表，结果四舍五入取整
数）：
(3)将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿
者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．
13．（2025·北京通州·一模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会
通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．某校
组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年
级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个
年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次
知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ， ， ，
：
b．八年级成绩在 这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：平均
中位数
数
七年
77 81.5
级
八年
79.5
级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予
等级 ，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级 的学生更多（填“七”或“八”）；
(3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是
_____；
(4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分．
14．（2025·北京海淀·一模）某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿
豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的
培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高
度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：b．生长素浓度为10和15时，
各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
生长
素浓 各重复组绿豆幼苗高度
度
10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7
15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2
c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
生长
素浓 0 5 10 15 20
度
方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全统计图，并标明数据；
(2)从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______
时对绿豆幼苗生长的促进作用更大；
(3)若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一
个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）；
①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数
(4)请判断： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）．15．（2025·北京丰台·一模）某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品
参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评
分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描
述和分析，下面给出了部分信息．
a.10件作品的得分情况：
序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分
1 70 82 76
2 80 84
3 61 76 68.5
4 78 84 81
5 71 85 78
6 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为 ：
72.3
81.3
C．10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
76.8 82
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 的值为___________， 的值为___________；
(2)设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ，记所有满足 的作品的初始得分的平均数为 ，则 ___________ （填“>”“=”或“<”）；
(3)分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为 ，则 ___________ （填
“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为 ，评委乙的评
分为 ，且以 的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其
标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是
___________．
16．（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中
随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理
描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，
80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是：
85 85 83 85 84 81 80
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课 平均
中位数 众数
程 数
A 80 m 85
B 79.9 84 86根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名
更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）；
(3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断：
①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；
②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名；
其中所有正确推断的序号是__________；
(4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有
__________人．
17．（2025·北京房山·二模）4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进
行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生
的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．初二年级20名学生的分数数据如下：
．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组 ，第2
组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ）：．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均 众
方差
数 数
初一年
级
初二年
级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中 的值为______；
(2)抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组；
(3)可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
(4)初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩
至少达到____分才能参加区级比赛．
18．（2025·北京大兴·二模）为了解 三款轮胎的最远行驶里程，分别从这三款轮
胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行
整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a． 两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下：
b． 款轮胎的最远行驶里程：
c． 三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下：
轮
胎
平
均 100 100
数
中
位 99 100
数
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2) 三款轮胎最远行使里程的平均数越大轮胎质量越好；若最远行使里程的平均数
相同，则方差越小轮胎的质量越好． 三款轮胎中质量最好的是___________；若
该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位： ）的轮
胎约有___________个．
19．（2025·北京西城·二模）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实
用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
(1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．
从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 8080 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ）
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
中位
软件 平均数 众数
数
甲 78 80
乙 78 72
根据以上信息，解答下列问题：
① 的值为______， 的值位于乙款软件评分的第______组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分 满足 的约为______个；
(2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1
和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4
甲 94 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为______；
②若甲款软件的评分更高，则表中 （ 为整数）的最小值为______．
20．（2025·北京顺义·二模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度
的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进
行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图：b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等
及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
甲
乙 64 64
(1)写出表中 的值；
(2) ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(3)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为 ， ，
则 ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(4)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分
钟，实际为70分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长
的统计量不发生变化的是______（写出所有符合题意的序号）．
①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差
21．（2025·北京海淀·二模）某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，
号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机
抽取 名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的
部分信息．
a．七、八两个年级各 名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小 大于
1 2 3
时 3
志愿服务得分/分
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于 分的
学生可获得“北京小使者”奖章．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在两个年级分别抽取的 名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别
为 ，则 ___________ ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为 ， ，
则 ___________ （填“>”“<”或“=”）；
(2)某年级所抽取的 名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组
，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组
，第6组 ）：
①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组；
(3)该校七年级有 名学生，八年级有 名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计
两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________．
22．（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁
店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：
单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：；
b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下：
12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27
甲
29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62
18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38
乙
38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48
c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下：
平均 众 中位
数 数 数
甲 35.2 56
乙 35.2 38
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前
400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金；
(3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，
每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25
单开始，每送一单外卖提成10元．
①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“
”“ ”或“ ”）；
②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择
方案___________．23．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度．
(1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分
制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评分：
79 84 85 85 88 88 88 89 90 93
b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组 ，第2组 ，
第3组 ，第4组 ）：c．师生评分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师 86.9 88 m
学生 81.38 n 87
根据以上信息，回答下列问题：
① 的值为______， 的值位于学生评分数据分组的第______组；
②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余
49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，
一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）；
(2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分
制），评分如下：
家长 家长 家长 家长
1 2 3 4
活动丰富 90 93 94 91
学生参与 91 91 93
记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为 ， 对“学生参与”满意
度评分的平均数、方差分别为 ， ，若 ， ，则 （ 为整数）的最大值为
______．
24．（2025·北京昌平·二模）某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选
拔，其中一项是“五个位置定点投篮”．以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整
理、描述和分析：
a．甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图：b．甲、乙、丙三位同学投篮数据的中
位数和总进球数如下：
甲 乙 丙
中位
6 5
数
总进 3
29 30
球数 0
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，表中 的值为_____________；
(2)从甲、乙两位同学的进球数条形图中可得，_____________发挥的稳定性较好（填
“甲”或“乙”）；
(3)若五个位置投篮命中一次对应的得分如下表所示：
位置 位置 位置 位置 位置
位置
一 二 三 四 五
命中分
1 2 2 2 3
值
则从甲、丙同学中选拔总分高的同学进入班队，应选_____________（填“甲”或“丙”）．
