(407)--专题八不定积分与定积分的计算笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题8 不定积分与定积分的计算 （P104-113） 主讲 武忠祥 教授（一）不定积分 （二）定积分一，不定积分 (一) 三种主要的积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若  f (u)d u  F (u)  C, 且 (x) 可导，则  f ((x)) (x)d x   f ((x))d(x) F((x))  C 2）第二类换元法 设函数 x (t) 可导,且  (t)  0, 又设  f ((t)) (t)dt  F(t)  C 则  f ( x)dx   f ((t) (t)dt F( 1 (x))  C i) a 2  x 2 , x  a sin t(a cost) ii) a 2  x 2 , x  a tant iii) x 2  a 2 , x  a sect3）分部积分法 设 有连续一阶导数，则 u(x),v(x)  udv  uv   vdu （1）“适用两类不同函数相乘” 【注】 （2）  vdu 比  udv 好积  p (x)e x d x,  p (x)sinxd x,  p (x)cosxdx, n n n  e x sinxdx;  e x cosxdx  P (x)ln xdx;  P (x)arctan xdx.  P (x)arcsin xdx n n n（二）三类常见函数积分 1) 有理函数积分  R(x)d x （1）一般法（部分分式法）； （2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分  R(sin x,cos x)d x x （1）一般方法(万能代换） 令 tan  t 2 2t 1 t 2 2  R(sin x,cos x)d x   R( , ) dt 1 t 2 1 t 2 1 t 2 （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） i)若 R( sin x,cos x)  R(sin x,co s x ) , 则 令 u  cos x; ii)若 R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  sin x; iii)若 R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  tan x.ax  b 3)简单无理函数积分  R(x,n )d x cx  d ax  b 令 n  t cx  d【例1】设  f  ( x)dx  x(e x  1)  C ,则 f (x) （ ） 2 x （A） x 2 (e x  1)  C （B） (e x  1)  C 2 x e （C） (x  1)  x  C （D）e x (x  1)  x  C 2 x 【解】 f  ( x)  (e x  1)  e x 2 t f  (t)  (e t  1)  e t 2 1 f (t)  e t  t  (te t  e t )  C 2 x e f (x)  (x  1)  x  C 2ln tan x 【例2】  dx  _________ . sin 2x ln tan x ln tan x 【解】  dx   dx sin 2x 2sin x cos x ln tan x   d tan x 2tan x 1   ln tan xd ln tan x 2 1  (lntan x) 2  C 4【例3】(2018年3）  e x arcsin 1  e 2x dx  _________ . 【解】  e x arcsin 1  e 2x dx   arcsin 1  e 2x de x e x d 1  e 2x  e x arcsin 1  e 2x   1  ( 1  e 2x ) 2  e x arcsin 1  e 2x   d 1  e 2x  e x arcsin 1  e 2x  1  e 2x  C【例4】（2018年1,2）求不定积分  e 2x arctan e x  1dx 1 【解】  e 2x arctan e x  1dx   arctan e x  1de 2x 2 2x 1 1 e  e 2x arctan e x  1   dx 2 4 e x  1 2x x e e  dx   de x e x  1 e x  1 1   e x  1de x   de x e x  1 2  (e x  1) e x  1  2 e x  1  C 3 1 1  e 2x arctan e x  1dx  e 2x arctan e x  1  (e x  2) e x  1  C 2 6arctan x xe 【例5】(2003年2） dx (1  x 2 ) 3/2 【解1】 设 x  tan t, 则 arctan x t x e e tan t  d x    sec 2 t d t   e t sin t d t (1  x 2 ) 3/2 (1  tan 2 t) 3/2 又  e t sin t d t   sin t d e t  e t sin t   e t cos tdt  e t sin t   cos tde t  e t sin t  e t cos t   e t sin t d t, 1 故  e t sin tdt  e t (sin t  cos t)  C. 2 arctan x x e 1  x 1  因此  d x  e arctan x     C (1  x 2 ) 3/2 2  1  x 2 1  x 2  (x  1)e arctan x   C. 2 1  x 2arctan x x e x 【解2】  d x   de arctan x (1  x 2 ) 3/2 1  x 2 arctan x arctan x x e e    d x 1  x 2 (1  x 2 ) 3/2 arctan x x e 1    de arctan x 1  x 2 1  x 2 arctan x arctan x arctan x x e e x e     d x, 1  x 2 1  x 2 (1  x 2 ) 3/2 移项整理，得 x e arctan x (x  1)e arctan x  d x   C. (1  x 2 ) 3/2 2 1  x 2x 3  3 【例6】  dx x 2 (1  x) x 3  3 A B C 【解1】令  1    x 2 (1  x) x x 2 x  1 由 Ax(x  1)  B(x  1)  Cx 2  3  x 2 A  C  1  得  A  B  0  B  3  解得 A  3, B  3,C  2. x 3  3  3 3 2   dx   1    dx x 2 (1  x)  x x 2 x  1 3  x  3ln x   2ln x  1  C xx 3  3 【例6】  dx x 2 (1  x) 3 x 1 【解2】原式   dx  3  dx x 2 (1  x) x 2 (1  x) x (1  x 2 )  x 2   dx  3  dx 1  x x 2 (1  x) 1 1  x 1   (1  )dx  3  [  ]dx 1  x x 2 1  xx 【例7】  dx x 3  x 2  x  1 【解1】由于 x 3  x 2  x  1  (x  1)( x 2  1) ,设 x A Bx  C   x 3  x 2  x  1 x  1 x 2  1 则 x  A(x 2  1)  (Bx  C)( x  1) 1 1 1 由此解得 A  , B   ,C  . 2 2 2 x 1 dx 1 x  1  dx     dx x 3  x 2  x  1 2 x  1 2 x 2  1 1 1 1  ln x  1  ln(x 2  1)  arctan x  C 2 4 2x 【例7】  dx x 3  x 2  x  1 x 【解2】原式   dx (x  1)(x 2  1) 1 (x 2  1)  (x  1) 2   dx 2 (x  1)(x 2  1) 1 dx 1 x  1     dx 2 x  1 2 x 2  1dx 【例8】 sin x cos 2x dx 【解】原式   R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x), sin x(cos 2 x  sin 2 x)  d cos x   (1  cos 2 x)(2cos 2 x  1) 2(1  u 2 )  (2u 2  1)   du (1  u 2 )(2u 2  1) du du  2    2u 2  1 u 2  1 1 2u  1 1 u  1   ln  ln  C 2 2u  1 2 u  1 1 2 cos x  1 1 cos x  1   ln  ln  C 2 2 cos x  1 2 cos x  1二，定积分 计算定积分常用方法 1) 牛顿-莱布尼兹公式 b  f (x)d x  F (b)  F(a) a 2) 换元积分法 b   f (x)d x   f (t))td t. a  3) 分部积分法 b b b  ud v  uv   v d u. a a a4）利用奇偶性和周期性 为奇函数时， 0, f (x)  a （ 1 ） f (x)d x   a  为偶函数时 2 f (x)d x, f (x) . a   0 aT T （ ） 2  f (x)d x   f (x)d x. a 0 5）利用公式 n  1 n  3 1  , n偶    n n  2 2 2 (1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x   n  1 n  3 2 0 0   , n奇  n n  2 3  π  (2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x 0 2 0 x 【例1】  2 [cos 2 x   e t 2 dt]sin 2 xdx  ___________ .   0 2 x 【解】 e t 2 偶函数，则  e t 2 dt 为奇函数. 0 π 原式  2  2 cos 2 x sin 2 xdx 0 π π  2  2 (1  sin 2 x)sin 2 xdx  . 0 82 【例2】（2012年1）  x 2x  x 2 dx  ____________ . 0 2 【解1】 原式   x 1  (x  1) 2 dx 0 π x  1  sin t  2 (1  sin t)cos 2 tdt π  2    2  2 cos 2 tdt  0 2 2 【解2】原式   x 1  (x  1 ) 2 dx 0 2   [(x  1)  1] 1  (x  1) 2 dx 0  2   2x  x 2 dx  0 2 【例3】  x cos 2 x  cos 4 xdx  __________ . 0 π π 【解】原式   cos 2 x  cos 4 xdx 2 0     cos x sin xdx 2 0       2 cos x sin xdx   cos x sin xdx    2  0  2   22 dx 【例4】计算定积分  . 0 1  cos 2 x  2 dx dx 【解】   4  2 0 1  cos 2 x 0 1  cos 2 x 2 dx 2 d tan x     0 1  cos 2 x 0 2  tan 2 x d tan x  4  2 0 2  tan 2 x 2 1 tan x  arctan  2 2 4 tan x 0 2  arctan 2 2 0  0  2 经典的错误 标准的0分  【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ . 0 0     【解1】  f (x)cos xdx   x cos xdx   cos xdx  f (x)cos xdx 0 0 0 0    xd sin x  2 0 f (x)  x  2    f (x)sin 4 xdx   (x  2)sin 4 xdx 0 0    (  2) 2  2 sin 4 xdx 2 0  3  (  2) 2 8  【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ . 0 0   【解2】  f (x)cos xdx   f (x)d sin x 0 0    f (x)sin x   f  (x)sin xdx 0 0    sin xdx 0  2  【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ . 0 0  【解3】令   f (x)cos xdx  a 0  x  a  x   (x  a)cos xdx 0   x   xd sin x 0   x   sin xdx  x  2 0f (x) ln(1  t) 1 x 【例6】（2013年1）计算  dx, 其中 f (x)   dt. 0 x 1 t f (x) 1 1 【解】  dx  2  f (x)d x 0 x 0 ln(1  x) 1 1  2 x f (x)  2  dx 0 0 x 1  4  ln(1  x)d x 0 x 1 1   4ln(1  x) x  4  dx 0 0 1  x  4ln 2  8  2x 2 【例7】计算定积分  dx. 0 e x  e 2x 【解】令 x  2  t, 则 dx  dt, x 2  t 2 2  dx   dt. 0 e x  e 2x 0 e 2t  e t 1 x 2  x 2 2  [  dx   dx] 2 0 e x  e 2x 0 e x  e 2x 2 dx 2 de x     0 e x  e 2x 0 e 2x  e 2 2 x 1 e 1 1  arctan  [arctan e  arctan ] e e e e 0ln(1  x) 1 【例8】计算定积分  dx 0 1  x 2  ln(1  x) xtant 1 【解】  dx   4 ln(1  tan t)dt 0 1  x 2 0  t u  4 1  tan u   4 ln[1  ]du 0 1  tan u  2   4 ln du 0 1  tan u    ln 2   4 ln(1  tan u)du 4 0   ln 2 81 【例9】 设 f  (x)  arctan( x  1) 2 , f (0)  0, 求  f (x)dx 0 1 1 【解】  f (x)dx  f (x)d(x  1) 0 0 1  (x  1) f (x) 1   (x  1)arctan( x  1) 2 dx 0 0 1   (1  x)arctan( x  1) 2 dx 0 1 1   arctan ud u （令 (x  1) 2  u ） 2 0 1 1 u  1 1 1  uarctan u   du   ln 2 2 0 2 0 1  u 2 8 4【例10】设 为非负连续函数,且 x f (x) f (x)  f (x  t)dt  cos 4 x 0  求 f (x) 在 上的平均值. [0, ] 2 x x 【解】 令 x  t  u, 则  f (x  t)dt   f (u)du 0 0 x f (x)  f (u)du  cos 4 x 0 π π x  2[ f (x)  f (u)du]dx   2 cos 4 xdx 0 0 0  1 3 1 π x 2 (  f (u)du) 2    0 2 0 4 2 2 π 1 3π  2 f (x)dx   0 2 2  2 f ( x)dx  3 0 则 f (x) 在 [0, ] 上的平均值为  2  2 2【例11】设 f (x) 在 [0,) 连续且单调, f (x  2)  f (x)  4(x  2), f (0)  1, 28 3 9  f 1 (x)dx  , 则  f (x)dx  _________ . 1 3 1 x2 【解】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x  2)  f (x)  4(x  2) x F(x)  2(x  2) 2  C f (2)  f (0)  8 f (2)  9, 2 9 2 9  f (x)dx   f 1 (x)dx   f (x)dx   f 1 ( y)dy  2 9  18 0 1 0 1 28 26 , 2 26 2  f (x)dx  18   F(0)   8  C C  0 3 3 3 3 , 2 2 56 3 F(x)  2(x  2) 2   f (x)dx  F(1)  18   3 1 3 3祝同学们 考研路上一路顺利！