(407)--专题八不定积分与定积分的计算笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题8 不定积分与定积分的计算
（P104-113）
主讲 武忠祥 教授（一）不定积分
（二）定积分一，不定积分
(一) 三种主要的积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若  f (u)d u  F (u)  C, 且 (x) 可导，则
 f ((x)) (x)d x   f ((x))d(x) F((x))  C
2）第二类换元法
设函数 x (t) 可导,且  (t)  0, 又设
 f ((t)) (t)dt  F(t)  C
则  f ( x)dx   f ((t) (t)dt F( 1 (x))  C
i) a 2  x 2 , x  a sin t(a cost) ii) a 2  x 2 , x  a tant iii) x 2  a 2 , x  a sect3）分部积分法
设 有连续一阶导数，则
u(x),v(x)
 udv  uv   vdu
（1）“适用两类不同函数相乘”
【注】
（2）  vdu 比  udv 好积
 p (x)e x d x,  p (x)sinxd x,  p (x)cosxdx,
n n n
 e x sinxdx;  e x cosxdx
 P (x)ln xdx;  P (x)arctan xdx.  P (x)arcsin xdx
n n n（二）三类常见函数积分
1) 有理函数积分  R(x)d x
（1）一般法（部分分式法）；
（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；
2) 三角有理式积分  R(sin x,cos x)d x
x
（1）一般方法(万能代换） 令 tan  t
2
2t 1 t 2 2
 R(sin x,cos x)d x   R( , ) dt
1 t 2 1 t 2 1 t 2
（2）特殊方法 （三角变形，换元，分部）
i)若 R( sin x,cos x)  R(sin x,co s x ) , 则 令 u  cos x;
ii)若 R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  sin x;
iii)若
R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  tan x.ax  b
3)简单无理函数积分

R(x,n )d x
cx  d
ax  b
令
n  t
cx  d【例1】设  f  ( x)dx  x(e x  1)  C ,则 f (x) （ ）
2
x
（A） x 2 (e x  1)  C （B） (e x  1)  C
2
x
e
（C） (x  1)  x  C （D）e x (x  1)  x  C
2
x
【解】
f  ( x)  (e x  1)  e x
2
t
f  (t)  (e t  1)  e t
2
1
f (t)  e t  t  (te t  e t )  C
2
x
e
f (x)  (x  1)  x  C
2ln tan x
【例2】  dx  _________ .
sin 2x
ln tan x ln tan x
【解】
 dx   dx
sin 2x 2sin x cos x
ln tan x
  d tan x
2tan x
1
  ln tan xd ln tan x
2
1
 (lntan x) 2  C
4【例3】(2018年3）  e x arcsin 1  e 2x dx  _________ .
【解】
 e x arcsin 1  e 2x dx   arcsin 1  e 2x de x
e x d 1  e 2x
 e x arcsin 1  e 2x  
1  ( 1  e 2x ) 2
 e x arcsin 1  e 2x   d 1  e 2x
 e x arcsin 1  e 2x  1  e 2x  C【例4】（2018年1,2）求不定积分  e 2x arctan e x  1dx
1
【解】
 e 2x arctan e x  1dx   arctan e x  1de 2x
2
2x
1 1 e
 e 2x arctan e x  1   dx
2 4 e x  1
2x x
e e
 dx   de x
e x  1 e x  1
1
  e x  1de x   de x
e x  1
2
 (e x  1) e x  1  2 e x  1  C
3
1 1
 e 2x arctan e x  1dx  e 2x arctan e x  1  (e x  2) e x  1  C
2 6arctan x
xe
【例5】(2003年2）
dx
(1  x 2 ) 3/2
【解1】 设 x  tan t, 则
arctan x t
x e e tan t
 d x    sec 2 t d t   e t sin t d t
(1  x 2 ) 3/2 (1  tan 2 t) 3/2
又  e t sin t d t   sin t d e t  e t sin t   e t cos tdt
 e t sin t   cos tde t
 e t sin t  e t cos t   e t sin t d t,
1
故
 e t sin tdt  e t (sin t  cos t)  C.
2
arctan x
x e 1  x 1 
因此
 d x  e arctan x     C
(1  x 2 ) 3/2 2  1  x 2 1  x 2 
(x  1)e arctan x
  C.
2 1  x 2arctan x
x e x
【解2】  d x   de arctan x
(1  x 2 ) 3/2 1  x 2
arctan x arctan x
x e e
   d x
1  x 2 (1  x 2 ) 3/2
arctan x
x e 1
   de arctan x
1  x 2 1  x 2
arctan x arctan x arctan x
x e e x e
    d x,
1  x 2 1  x 2 (1  x 2 ) 3/2
移项整理，得
x e arctan x (x  1)e arctan x
 d x   C.
(1  x 2 ) 3/2 2 1  x 2x 3  3
【例6】  dx
x 2 (1  x)
x 3  3 A B C
【解1】令  1   
x 2 (1  x) x x 2 x  1
由
Ax(x  1)  B(x  1)  Cx 2  3  x 2
A  C  1

得
 A  B  0

B  3

解得 A  3, B  3,C  2.
x 3  3  3 3 2 
 dx   1    dx
x 2 (1  x)  x x 2 x  1
3
 x  3ln x   2ln x  1  C
xx 3  3
【例6】  dx
x 2 (1  x)
3
x 1
【解2】原式   dx  3  dx
x 2 (1  x) x 2 (1  x)
x (1  x 2 )  x 2
  dx  3  dx
1  x x 2 (1  x)
1 1  x 1
  (1  )dx  3  [  ]dx
1  x x 2 1  xx
【例7】  dx
x 3  x 2  x  1
【解1】由于 x 3  x 2  x  1  (x  1)( x 2  1) ,设
x A Bx  C
 
x 3  x 2  x  1 x  1 x 2  1
则 x  A(x 2  1)  (Bx  C)( x  1)
1 1 1
由此解得 A  , B   ,C  .
2 2 2
x 1 dx 1 x  1
 dx     dx
x 3  x 2  x  1 2 x  1 2 x 2  1
1 1 1
 ln x  1  ln(x 2  1)  arctan x  C
2 4 2x
【例7】  dx
x 3  x 2  x  1
x
【解2】原式   dx
(x  1)(x 2  1)
1 (x 2  1)  (x  1) 2
  dx
2 (x  1)(x 2  1)
1 dx 1 x  1
    dx
2 x  1 2 x 2  1dx
【例8】
sin x cos 2x
dx
【解】原式  
R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x),
sin x(cos 2 x  sin 2 x)
 d cos x
 
(1  cos 2 x)(2cos 2 x  1)
2(1  u 2 )  (2u 2  1)
  du
(1  u 2 )(2u 2  1)
du du
 2   
2u 2  1 u 2  1
1 2u  1 1 u  1
  ln  ln  C
2 2u  1 2 u  1
1 2 cos x  1 1 cos x  1
  ln  ln  C
2 2 cos x  1 2 cos x  1二，定积分
计算定积分常用方法
1) 牛顿-莱布尼兹公式
b
 f (x)d x  F (b)  F(a)
a
2) 换元积分法
b 
 f (x)d x   f (t))td t.
a 
3) 分部积分法
b
b b
 ud v  uv   v d u.
a a
a4）利用奇偶性和周期性
为奇函数时，
0, f (x)

a
（ 1 ） f (x)d x   a
 为偶函数时
2 f (x)d x, f (x) .
a 

0
aT T
（ ）
2  f (x)d x   f (x)d x.
a 0
5）利用公式
n  1 n  3 1
 , n偶
  
n n  2 2 2
(1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x  
n  1 n  3 2
0 0
  , n奇
 n n  2 3

π 
(2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x
0 2 0
x
【例1】  2 [cos 2 x   e t 2 dt]sin 2 xdx  ___________ .

 0
2
x
【解】 e t 2 偶函数，则  e t 2 dt 为奇函数.
0
π
原式  2  2 cos 2 x sin 2 xdx
0
π
π
 2  2 (1  sin 2 x)sin 2 xdx  .
0 82
【例2】（2012年1）  x 2x  x 2 dx  ____________ .
0
2
【解1】 原式   x 1  (x  1) 2 dx
0
π
x  1  sin t
 2 (1  sin t)cos 2 tdt
π

2


 2  2 cos 2 tdt 
0 2
2
【解2】原式   x 1  (x  1 ) 2 dx
0
2
  [(x  1)  1] 1  (x  1) 2 dx
0

2
  2x  x 2 dx 
0 2
【例3】  x cos 2 x  cos 4 xdx  __________ .
0
π
π
【解】原式   cos 2 x  cos 4 xdx
2 0


  cos x sin xdx
2 0
  

  2 cos x sin xdx   cos x sin xdx
 

2  0 
2


22 dx
【例4】计算定积分  .
0 1  cos 2 x

2 dx dx
【解】   4  2
0 1  cos 2 x 0 1  cos 2 x
2 dx 2 d tan x
  
 0 1  cos 2 x 0 2  tan 2 x
d tan x
 4  2
0 2  tan 2 x 2
1 tan x
 arctan
 2 2
4 tan x 0
2
 arctan
2 2
0
 0
 2
经典的错误 标准的0分 
【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ .
0 0
   
【解1】  f (x)cos xdx   x cos xdx   cos xdx  f (x)cos xdx
0 0 0 0

  xd sin x  2
0
f (x)  x  2
 
 f (x)sin 4 xdx   (x  2)sin 4 xdx
0 0


 (  2) 2  2 sin 4 xdx
2 0
 3
 (  2)
2 8 
【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ .
0 0
 
【解2】  f (x)cos xdx   f (x)d sin x
0 0


 f (x)sin x   f  (x)sin xdx
0
0

  sin xdx
0
 2 
【例5】已知 f (x)  x   f (x)cos xdx ,则  f (x)sin 4 xdx  _________ .
0 0

【解3】令
  f (x)cos xdx  a
0

x  a  x   (x  a)cos xdx
0

 x   xd sin x
0

 x   sin xdx  x  2
0f (x) ln(1  t)
1 x
【例6】（2013年1）计算
 dx, 其中 f (x)   dt.
0 x 1 t
f (x)
1 1
【解】  dx  2  f (x)d x
0 x 0
ln(1  x)
1 1
 2 x f (x)  2  dx
0 0 x
1
 4  ln(1  x)d x
0
x
1 1
  4ln(1  x) x  4  dx
0 0 1  x
 4ln 2  8  2x
2
【例7】计算定积分  dx.
0 e x  e 2x
【解】令 x  2  t, 则 dx  dt,
x 2  t
2 2
 dx   dt.
0 e x  e 2x 0 e 2t  e t
1 x 2  x
2 2
 [  dx   dx]
2 0 e x  e 2x 0 e x  e 2x
2 dx 2 de x
   
0 e x  e 2x 0 e 2x  e 2
2
x
1 e 1 1
 arctan  [arctan e  arctan ]
e e e e
0ln(1  x)
1
【例8】计算定积分  dx
0 1  x 2

ln(1  x) xtant
1
【解】
 dx   4 ln(1  tan t)dt
0 1  x 2 0

t u

4 1  tan u
  4 ln[1  ]du
0 1  tan u

2
  4 ln du
0 1  tan u


 ln 2   4 ln(1  tan u)du
4 0

 ln 2
81
【例9】 设 f  (x)  arctan( x  1) 2 , f (0)  0, 求  f (x)dx
0
1 1
【解】  f (x)dx  f (x)d(x  1)
0 0
1
 (x  1) f (x) 1   (x  1)arctan( x  1) 2 dx
0
0
1
  (1  x)arctan( x  1) 2 dx
0
1
1
  arctan ud u （令 (x  1) 2  u ）
2 0
1 1 u  1
1
1
 uarctan u   du   ln 2
2 0 2 0 1  u 2 8 4【例10】设 为非负连续函数,且 x
f (x) f (x)  f (x  t)dt  cos 4 x
0

求 f (x) 在 上的平均值.
[0, ]
2
x x
【解】 令 x  t  u, 则  f (x  t)dt   f (u)du
0 0
x
f (x)  f (u)du  cos 4 x
0
π π
x
 2[ f (x)  f (u)du]dx   2 cos 4 xdx
0 0 0

1 3 1 π
x
2
(  f (u)du) 2   
0
2 0 4 2 2
π
1 3π
 2 f (x)dx 

0 2 2
 2 f ( x)dx
 3
0
则 f (x) 在 [0, ] 上的平均值为 
2  2
2【例11】设 f (x) 在 [0,) 连续且单调, f (x  2)  f (x)  4(x  2), f (0)  1,
28 3
9
 f 1 (x)dx  , 则  f (x)dx  _________ .
1 3 1
x2
【解】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x  2)  f (x)  4(x  2)
x
F(x)  2(x  2) 2  C
f (2)  f (0)  8 f (2)  9,
2 9 2 9
 f (x)dx   f 1 (x)dx   f (x)dx   f 1 ( y)dy  2 9  18
0 1 0 1
28 26
, 2 26 2
 f (x)dx  18  
F(0)   8  C C 
0 3 3
3 3
,
2 2 56
3
F(x)  2(x  2) 2   f (x)dx  F(1)  18  
3 1 3 3祝同学们
考研路上一路顺利！