(408)--专题九平面域的面积与旋转体的体积笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题9 平面域的面积与旋转体的体积
（P114-119）
主讲 武忠祥 教授（一）平面域的面积
设有平面域 ，则该平面域 的面积为
D D
S   1d
D
1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x) ( f (x)  g(x)),
D
x  a, x  b (a  b) 所围成，则
b f (x)
S   1d   dx  1dy
a g(x)
D
b
  [ f (x)  g(x)]dx
a2）若平面域 D 由曲线曲 r  r(),  ,   ( )
所围成，则其面积为
 r()
S   1d   d rdr
 0
D
1 
  r 2 ()d.
2 （二）旋转体的体积
平面域 绕直线 （该直线不穿过区域
D L : ax  by  c  0
旋转所得旋转体体积记为
D) V .
dV  2 r(x, y)d
V  2 r(x, y)d ax  by  c
r( x, y)  .
D a 2  b 2
V  2 y d  2
b
dx 
f (x)
ydy
x
a 0
D
b
  f 2 (x)d x
a
V  2 x d  2
b
dx 
f (x)
xdy
y
a 0
D
b
 2 xf (x)d x
a【例1】设 D 是由曲线 xy  1  0 与直线 y  x  0 及 y  2 围
成的有界区域，则 D 的面积为
_______.
1
2 
【解】 S   1d   dy  y dx
1  y
D
1
2
  ( y  )dy
1 y
2
1 3
 ( y 2  ln y)   ln 2
2 2
1x
【例2】设 f (x)   t t d t, 则曲线 y  f (x) 与 x 轴所围成封
1
___________.
闭图形的面积为
【解】 由于 为奇函数, 则 x 为偶函数.
t t f (x)   t t d t
1
而
f  (x)  x x  0,(x  0),
f (1)  0,
1
x
f (x)   (t 2 )dt   (x 3  1) (x  0)
1 3
1 1
0
S  2 (x 3  1)dx 
1
3 2【例3】(1996年3)设 在区间 上连续，且
f (x), g(x) [a,b]
g(x)  f (x)  m（ m 为常数），则曲线 y  g(x), y  f (x), x  a
及 x  b 所围平面图形绕直线 y  m 旋转而成的旋转体体积为（ ）
b
（A）
[2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x
a
b
（B）  [2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x
a
b
（C）  [m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x
a
b
（D） [m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x
a
【解】
V  2 r(x, y)d  2 (m  y)d
D D
b f (x) b
 2 dx  (m  y)dy   [2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x
a g(x) a【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
A
(Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积.
A
(Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积
2
【解】(Ⅰ)方法一 V  4 x 2x  x 2 dx
y
0
2
 4 [(x  1)  1] 1  (x  1) 2 dx
0
2
 4 1  (x  1) 2 d x (奇偶性平移)
0

(定积分几何意义)
 4
2
 22【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
A
(Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积.
A
(Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积
方法二
V  2 r(x, y)d  2 xd
y
D D
 2 [(x  1)  1]d
D
 2 d (奇偶性平移)
D
 22【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
A
(Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积.
A
(Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积
（Ⅱ） V  2 r(x, y)d  2 (3  x)d
x3
D D
 2 [2  (x  1)]d
D
 2 2d (奇偶性平移)
D
 42【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
A
(Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积.
A
(Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积
（Ⅲ） V  2 r(x, y)d  2 (2  y)d
y2
D D
 2 2d
(奇偶性)
D
 42【例5】过点 作曲线 的切线，切点为 ，又 与
(0,1) L : y  ln x A L
x 轴交于 B 点，区域 由 与直线 围成. 求区域 的
D L AB D
面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
1
【解】设切点 的坐标为 (x , y ) ,则切线方程为 y  y  (x  x )
A
1 1 1 1
x
1
将 点 ( 0 , 1) 代入，得 x  e 2 , y  2.
1 1
2 1
e
S   ln xdx  (e 2  1) 2
1 2
2
2 e
e
 x ln x   dx  e 2  1  2
1
1
2 
e
V   ln 2 xdx   4 (e 2  1)
1 3
4 2
2
e
(x ln 2 x  2 x ln x  2x)  (e 2  1)  (e 2  1).
1 3 3【例6】求曲线 y  3 | x 2  1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线
y  3 旋转所得的旋转体体积.

【解1】 A B 的方程为 y  x 2  2 (0  x  1);

的方程为 y  4  x 2 (1  x  2);
BC
dV  {3 2  [3  (x 2  2)] 2 }d x  [8  2x 2  x 4 ]d x,
1
dV  {3 2  [3  (4  x 2 )] 2 }d x  [8  2x 2  x 4 ]d x.
2
1 2
V  2(V  V )  2 (8  2x 2  x 4 )d x  2 (8  2x 2  x 4 )d x
1 2
0 1
2 448
 2 (8  2x 2  x 4 )d x  .
0 15【例6】求曲线 y  3 | x 2  1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线
y  3 旋转所得的旋转体体积.
【解2】 V  2 (3  y)d
D
2 3 x 21
 2 dx  (3  y)dy
2 0
2
  [(x 2  1) 2  9]dx
2
448
 
151
【例7】设曲线 y  与直线 y  x 及 y  2 所围区域为 D,
x
1）求区域 分别绕 轴和 y 轴旋转所得旋转的体积；
D x
2）求区域 D 分别绕 x  2 和 y  2 旋转所得旋转的体积；
【解】 V  2 yd
x
D
2 y 8
 2 dy  ydx 
1
1 3
y
2 y 11
V  2 xd  2 dy  xdx  
y 1
1 6
D y
2 y 25
V  2 (2  x)d  2 dy  (2  x)dx  (  4ln 2)
x2 1
1 6
D y
2 y 5
V  2 (2  y)d  2 dy  (2  y)dx  4(  ln 2)
y2 1
1 6
D y【例8】曲线 y  x 2 与直线 y  mx(m  0) 在第一象限内所围成的
图形绕该直线旋转所形成的旋转体的体积 V  ________ .
y  mx mx  y
【解】 r(x, y)  
1  m 2 1  m 2
mx  y
V  2 d
1  m 2
D
mx  y
m mx
 2 dx  dy
0 x 2 1  m 2

m
  (x 2  mx) 2 dx
1  m 2 0
m 5

30 1  m 2【例9】设平面域 D 由曲线 r  (1  cos) 所围成,试求
1）区域 的面积；
D
2）区域 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.
D
 1cos
【解】
S   1 d  2  d rdr
0 0
D
3

  ( 1  cos) 2 d 
2
0
 1cos
V  2  yd  2 d r 2 sindr
x
0 0
D
y0
2

8
  (1  cos) 3 sind 
3 0 3x  f (t), 
【例10】已知曲线 ，其中函数 具有连
L :  (0  t  ) f (t)
 y  cos t 2

续导数,且 f (0)  0, f  (t)  0(0  t  ). 若曲线 L 的切线与 x
2
轴的交点到切点的距离恒为1.
1)求函数 的表达式;
f (t)
2)求以曲线 及 轴和 y 轴为边界的区域的面积及绕
L x x
轴旋转所得旋转体体积.
y   sin t
【解】1) 切线斜率 切线方程为
k  t  ,
 
x f (t)
t
sin t
y  c o s t   ( x  f ( t) ) .

f (t)
cos t
令 y  0, 得 x  f  (t)  f (t).
0
sin t
2
2
 cos t  sin t 1
f  (t)  cos 2 t  1. f  (t)    cos t.
 
 sin t  cos t cos tx  f (t), 
【例10】已知曲线 ，其中函数 具有连
L :  (0  t  ) f (t)
 y  cos t 2

续导数,且 f (0)  0, f  (t)  0(0  t  ). 若曲线 L 的切线与 x
2
轴的交点到切点的距离恒为1.
1)求函数 的表达式;
f (t)
2)求以曲线 及 轴和 y 轴为边界的区域的面积及绕
L x x
轴旋转所得旋转体体积.
【解】由于 f (0)  0, 所以 f (t)  ln(sec t  tan t)  sin t.
2）因为
f (0)  0, lim f (t)  

t
2
 
 1
S   ydx   2 cos t  f  (t)dt   2 sin 2 tdt  .
0 0 0 4
 


V  y 2 dx   2 cos 2 t  f  (t)dt   2 sin 2 t cos tdt 
x
0 0 0 3【例11】设曲线 y  sin x (0  x  n,n  1,2) 和 x 轴所围成的
区域为A,区域A绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 S .
n
(Ⅰ) 求
S ;
n
S S S
（Ⅱ）求极限 lim[ 1  2    n ].
n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3
n
【解】(Ⅰ) S  2 x sin xdx (令 x  n t )
n
0
n n
 2 (n t)sin tdt  2n2  sin tdt  S
n
0 0
n 
S  n2  sin tdt  n 22  sin tdt
n
0 0
 2n 22【例11】设曲线 y  sin x (0  x  n,n  1,2) 和 x 轴所围成的
区域为A,区域A绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 S .
n
(Ⅰ) 求
S ;
n
S S S
（Ⅱ）求极限 lim[ 1  2    n ].
n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3
S S S
【解】(Ⅱ) lim[ 1  2    n ]
n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3
2 2 2
1 2 n
 22 lim[     ]
n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3
1 2 n
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
n n n
 22 lim [     ]
n n 1 2 n
1  ( ) 3 1  ( ) 3 1  ( ) 3
n n n
2
1 x 22
 22  dx
 ln 2
0 1  x 3
3祝同学们
考研路上一路顺利！