(408)--专题九平面域的面积与旋转体的体积笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题9 平面域的面积与旋转体的体积 （P114-119） 主讲 武忠祥 教授（一）平面域的面积 设有平面域 ，则该平面域 的面积为 D D S   1d D 1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x) ( f (x)  g(x)), D x  a, x  b (a  b) 所围成，则 b f (x) S   1d   dx  1dy a g(x) D b   [ f (x)  g(x)]dx a2）若平面域 D 由曲线曲 r  r(),  ,   ( ) 所围成，则其面积为  r() S   1d   d rdr  0 D 1    r 2 ()d. 2 （二）旋转体的体积 平面域 绕直线 （该直线不穿过区域 D L : ax  by  c  0 旋转所得旋转体体积记为 D) V . dV  2 r(x, y)d V  2 r(x, y)d ax  by  c r( x, y)  . D a 2  b 2 V  2 y d  2 b dx  f (x) ydy x a 0 D b   f 2 (x)d x a V  2 x d  2 b dx  f (x) xdy y a 0 D b  2 xf (x)d x a【例1】设 D 是由曲线 xy  1  0 与直线 y  x  0 及 y  2 围 成的有界区域，则 D 的面积为 _______. 1 2  【解】 S   1d   dy  y dx 1  y D 1 2   ( y  )dy 1 y 2 1 3  ( y 2  ln y)   ln 2 2 2 1x 【例2】设 f (x)   t t d t, 则曲线 y  f (x) 与 x 轴所围成封 1 ___________. 闭图形的面积为 【解】 由于 为奇函数, 则 x 为偶函数. t t f (x)   t t d t 1 而 f  (x)  x x  0,(x  0), f (1)  0, 1 x f (x)   (t 2 )dt   (x 3  1) (x  0) 1 3 1 1 0 S  2 (x 3  1)dx  1 3 2【例3】(1996年3)设 在区间 上连续，且 f (x), g(x) [a,b] g(x)  f (x)  m（ m 为常数），则曲线 y  g(x), y  f (x), x  a 及 x  b 所围平面图形绕直线 y  m 旋转而成的旋转体体积为（ ） b （A） [2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x a b （B）  [2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x a b （C）  [m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x a b （D） [m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x a 【解】 V  2 r(x, y)d  2 (m  y)d D D b f (x) b  2 dx  (m  y)dy   [2m  f (x)  g(x)][ f (x)  g(x)]d x a g(x) a【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求 (Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积; A (Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积. A (Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积 2 【解】(Ⅰ)方法一 V  4 x 2x  x 2 dx y 0 2  4 [(x  1)  1] 1  (x  1) 2 dx 0 2  4 1  (x  1) 2 d x (奇偶性平移) 0  (定积分几何意义)  4 2  22【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求 (Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积; A (Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积. A (Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积 方法二 V  2 r(x, y)d  2 xd y D D  2 [(x  1)  1]d D  2 d (奇偶性平移) D  22【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求 (Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积; A (Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积. A (Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积 （Ⅱ） V  2 r(x, y)d  2 (3  x)d x3 D D  2 [2  (x  1)]d D  2 2d (奇偶性平移) D  42【例4】 设平面图形 A 由 x 2  y 2  2x 所确定,试求 (Ⅰ)图形 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积; A (Ⅱ)图形 绕 x  3 旋转一周所得旋转体的体积. A (Ⅲ)图形 A 绕 y  2 旋转一周所得旋转体的体积 （Ⅲ） V  2 r(x, y)d  2 (2  y)d y2 D D  2 2d (奇偶性) D  42【例5】过点 作曲线 的切线，切点为 ，又 与 (0,1) L : y  ln x A L x 轴交于 B 点，区域 由 与直线 围成. 求区域 的 D L AB D 面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 1 【解】设切点 的坐标为 (x , y ) ,则切线方程为 y  y  (x  x ) A 1 1 1 1 x 1 将 点 ( 0 , 1) 代入，得 x  e 2 , y  2. 1 1 2 1 e S   ln xdx  (e 2  1) 2 1 2 2 2 e e  x ln x   dx  e 2  1  2 1 1 2  e V   ln 2 xdx   4 (e 2  1) 1 3 4 2 2 e (x ln 2 x  2 x ln x  2x)  (e 2  1)  (e 2  1). 1 3 3【例6】求曲线 y  3 | x 2  1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y  3 旋转所得的旋转体体积.  【解1】 A B 的方程为 y  x 2  2 (0  x  1);  的方程为 y  4  x 2 (1  x  2); BC dV  {3 2  [3  (x 2  2)] 2 }d x  [8  2x 2  x 4 ]d x, 1 dV  {3 2  [3  (4  x 2 )] 2 }d x  [8  2x 2  x 4 ]d x. 2 1 2 V  2(V  V )  2 (8  2x 2  x 4 )d x  2 (8  2x 2  x 4 )d x 1 2 0 1 2 448  2 (8  2x 2  x 4 )d x  . 0 15【例6】求曲线 y  3 | x 2  1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y  3 旋转所得的旋转体体积. 【解2】 V  2 (3  y)d D 2 3 x 21  2 dx  (3  y)dy 2 0 2   [(x 2  1) 2  9]dx 2 448   151 【例7】设曲线 y  与直线 y  x 及 y  2 所围区域为 D, x 1）求区域 分别绕 轴和 y 轴旋转所得旋转的体积； D x 2）求区域 D 分别绕 x  2 和 y  2 旋转所得旋转的体积； 【解】 V  2 yd x D 2 y 8  2 dy  ydx  1 1 3 y 2 y 11 V  2 xd  2 dy  xdx   y 1 1 6 D y 2 y 25 V  2 (2  x)d  2 dy  (2  x)dx  (  4ln 2) x2 1 1 6 D y 2 y 5 V  2 (2  y)d  2 dy  (2  y)dx  4(  ln 2) y2 1 1 6 D y【例8】曲线 y  x 2 与直线 y  mx(m  0) 在第一象限内所围成的 图形绕该直线旋转所形成的旋转体的体积 V  ________ . y  mx mx  y 【解】 r(x, y)   1  m 2 1  m 2 mx  y V  2 d 1  m 2 D mx  y m mx  2 dx  dy 0 x 2 1  m 2  m   (x 2  mx) 2 dx 1  m 2 0 m 5  30 1  m 2【例9】设平面域 D 由曲线 r  (1  cos) 所围成,试求 1）区域 的面积； D 2）区域 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积. D  1cos 【解】 S   1 d  2  d rdr 0 0 D 3    ( 1  cos) 2 d  2 0  1cos V  2  yd  2 d r 2 sindr x 0 0 D y0 2  8   (1  cos) 3 sind  3 0 3x  f (t),  【例10】已知曲线 ，其中函数 具有连 L :  (0  t  ) f (t)  y  cos t 2  续导数,且 f (0)  0, f  (t)  0(0  t  ). 若曲线 L 的切线与 x 2 轴的交点到切点的距离恒为1. 1)求函数 的表达式; f (t) 2)求以曲线 及 轴和 y 轴为边界的区域的面积及绕 L x x 轴旋转所得旋转体体积. y   sin t 【解】1) 切线斜率 切线方程为 k  t  ,   x f (t) t sin t y  c o s t   ( x  f ( t) ) .  f (t) cos t 令 y  0, 得 x  f  (t)  f (t). 0 sin t 2 2  cos t  sin t 1 f  (t)  cos 2 t  1. f  (t)    cos t.    sin t  cos t cos tx  f (t),  【例10】已知曲线 ，其中函数 具有连 L :  (0  t  ) f (t)  y  cos t 2  续导数,且 f (0)  0, f  (t)  0(0  t  ). 若曲线 L 的切线与 x 2 轴的交点到切点的距离恒为1. 1)求函数 的表达式; f (t) 2)求以曲线 及 轴和 y 轴为边界的区域的面积及绕 L x x 轴旋转所得旋转体体积. 【解】由于 f (0)  0, 所以 f (t)  ln(sec t  tan t)  sin t. 2）因为 f (0)  0, lim f (t)    t 2    1 S   ydx   2 cos t  f  (t)dt   2 sin 2 tdt  . 0 0 0 4     V  y 2 dx   2 cos 2 t  f  (t)dt   2 sin 2 t cos tdt  x 0 0 0 3【例11】设曲线 y  sin x (0  x  n,n  1,2) 和 x 轴所围成的 区域为A,区域A绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 S . n (Ⅰ) 求 S ; n S S S （Ⅱ）求极限 lim[ 1  2    n ]. n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3 n 【解】(Ⅰ) S  2 x sin xdx (令 x  n t ) n 0 n n  2 (n t)sin tdt  2n2  sin tdt  S n 0 0 n  S  n2  sin tdt  n 22  sin tdt n 0 0  2n 22【例11】设曲线 y  sin x (0  x  n,n  1,2) 和 x 轴所围成的 区域为A,区域A绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 S . n (Ⅰ) 求 S ; n S S S （Ⅱ）求极限 lim[ 1  2    n ]. n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3 S S S 【解】(Ⅱ) lim[ 1  2    n ] n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3 2 2 2 1 2 n  22 lim[     ] n n 3  1 3 n 3  2 3 n 3  n 3 1 2 n 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 n n n  22 lim [     ] n n 1 2 n 1  ( ) 3 1  ( ) 3 1  ( ) 3 n n n 2 1 x 22  22  dx  ln 2 0 1  x 3 3祝同学们 考研路上一路顺利！