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培优拔高小灶课高数
x (x−t)f(t)dt
【例1】 设函数 f(x)连续，且 f (0)≠ 0，求极限lim 0 .
x→0 x x f(x−t)dt
0
【例2】【2016-23-10分】求极限lim ( cos2x+2xsinx ) x 1 4
x→0 xx
【例3】【2020-2-10改】 lim x −e −1
x→+∞
(1+x)x
1 e
e(1+x)x −(1+ x)x
.
【例4】计算极限lim
x→0 x2【例5】【2010-123-10分】（Ⅰ）比较 1 |lnt|[ln(1+t)]n dt 与 1 tn|lnt|dt(n=1,2,)
0 0
的大小，并说明理由；
（Ⅱ）记u = 1 lnt [ln(1+t)]ndt (n=1,2,)，求极限 limu .
n
0
n→∞ n
1 1 1
【例6】 计算极限lim + ++
n→∞ 4n2 −1 4n2 −32 4n2 −(2n−1)2
【例 7】【2018-123-11 分】设数列{x }满足：x >0,x ex n+1 =ex n −1(n =1,2,)。证
n 1 n
明{x }收敛，并求 lim x 。
n n→∞ n
1
【例8】 【2013-2-11分】设函数
f(x)=lnx+
，
x
（1）求 f(x)的最小值；
1
（2）设数列{x }满足lnx + <1，证明 limx 存在，并求此极限.
n n x n→∞ n
n+1【例9】【2020-2-10分】已知函数 f (x)连续且lim f(x) =1，g(x)= 1 f(xt)dt，求
x→0 x 0
g ′ (x)并证明g ′ (x)在x = 0处连续.
x,x≤0
【例10】【2016-1-4分】已知函数 f(x)= 1 1 1 ，n =1,2,，则（ ）
, < x≤
n n+1 n
( ) ( )
（A）x=0是 f x 的第一类间断点 （B）x=0是 f x 的第二类间断点
( ) ( )
（C） f x 在x=0处连续但不可导 （D） f x 在x=0处可导【例11】【2020-1-4分】设函数
f(x)在区间(−1,1)内有定义，且 lim f(x)=0
，则（ ）
x→0
f(x)
（A）当 lim =0 时， f(x)在x=0处可导
x→0 x
f(x)
（B）当lim =0时， f(x)在x=0处可导
x→0 x2
f(x)
（C）当 f(x)在x=0处可导时， lim =0
x→0 x
f(x)
（D）当 f(x)在x=0处可导时，lim =0
x→0 x2
【例12】【2001-1-3分】设 f(0)=0，则 f (x)在点x=0可导的充要条件为（ ）.
1 1
（A）lim f(1−cosh)存在 （B）lim f(1−eh)存在
h→0 h2 h→0 h
1 1
（C）lim f (h−sinh)存在 （D）lim [f (2h)− f (h)]存在
h→0 h2 h→0 h【例13】【2016-1-4分】设函数 f ( x )=arctanx− x ，且 f ′′′( 0 )=1，则a = ______。
1+ax2
【例 14】【2013-3-4 分】设曲线 y = f(x)与 y = x2 −x在点(1，0)处有公共切线，则
n
limnf = ________.
n→∞ n+2【例15】【2018-23-4分】设函数 f(x)在[0,1]上二阶可导，且 1 f(x)dx=0，则（ ）
0
（A）当 f ′ (x)<0时， f 1 <0 （B）当 f ′′ (x)<0时， f 1 <0
2 2
（C）当 f ′ (x)>0时， f 1 <0 （D）当 f ′′ (x)>0时， f 1 <0
2 2
【例16】【2016-23-10分】f(x)− f(a)
【例17】【1987-12-3分】设lim =−1，则在点x = a 处（ ）.
x→a (x−a)2
（A） f(x)导数存在， f ′ (a)≠0 （B） f(x)取得极大值
（C） f(x)取得极小值 （D） f(x)的导数不存在
【例18】【2019-2-4分】已知函数 f(x)= x
xsint2
dt ，则 1 f(x)dx = _______.
1 t 0【例19】【2019-13-10分】设a = 1 xn 1−x2dx(n=0,1,2,).
n
0
n−1
（1）证明：数列{a }单调减少，且a = a (n=2,3,)；
n n n+2 n−2
a
（2）求lim n .
n→∞ a
n−1
【例20】【2013-23-10分】设平面区域D由直线x=3y,y=3x及x+ y =8围成.计算
x2dxdy
.
D【例21】 1 dx 1−x
x+y
dy= 。
0 1−x2 x2+y2
【例 22】 【2011-12-11 分】已知函数 f(x,y) 具有二阶连续偏导数，且
f(1,y)= f(x,1)=0， f(x,y)dxdy=a ，其中D ={(x,y)|0≤ x≤1,0≤ y≤1}，计
D
I =xyf ′′ (x,y)dxdy
算二重积分 xy 。
D【例23】【2023-123-12分】
【例24】【2010-2-4分】∂f
【例25】 【 2014-2-11 分 】 已 知 函 数 f(x,y) 满 足
=2(y+1)
， 且
∂y
f(y,y)=(y+1)2 −(2−y)ln y，求曲线 f(x,y)=0所围图形绕直线 y=−1旋转所成旋
转体的体积．
【例26】 【2020-1-4 分】若函数 f(x)满足 f ′′ (x)+af ′ (x)+ f(x)=0(a>0)，且
f(0)=m， f ′ (0)=n，则 +∞ f (x)dx = .
0【例27】 【2020-2-4分】设 y = y(x)满足 y ′′+2y ′+y=0，且y(0)=0，y ′ (0)=1.
+∞
则 y(x)dx = .
0
【例 28】 【2014-12-10 分】设函数 f (u)具有2 阶连续导数，z = f (ex cos y)满足
∂2z
+
∂2z
=(4z+excosy)e2x．若 f(0)=0, f ′ (0)=0，求 f (u)的表达式．
∂x2 ∂y2【例 29】【2018-2-10分】已知常数k ≥ ln 2−1，证明：(x−1)(x−ln2 x+2klnx−1)≥0。
[ ]
【例30】【2014-23-11分】设函数 f(x),g(x)在区间 a,b 上连续，且 f(x)单调增加，
0≤g(x)≤1，证明：
（1）0≤ x g(t)dt ≤ x−a, x∈ [ a,b ] ；
a
（2） a+
a
b g(t)dt f(x)dx≤ b f(x)g(x)dx．
a a
