文档内容
第三章
一元函数微分学的
概念与计算第一节
导数与微分的概念第二部分、题型解析
题型一：可导性的判别(★★★★)
一、导数的定义
1． x 点导数定义 F El
0
y f (x + x) − f (x ) f (x) − f (x )
f (x ) = lim = lim 0 0 = lim 0 ．
0
x x x − x
x→0 x→0 x→x
0
0
f ( x )存在 f (x ) = f (x ).
0 − 0 + 0f (x + x) − f (x)
2.导函数定义 f (x) = lim 称为 f (x)的导函数，简称
x
x→0
导数.
3.某点处是否可导的有关结论：
结论 1 设 f (x)在 x 处可导，则| f (x) |在
0
x
0
处不可导的充分条件是
f ( x ) = 0且 f ( x ) 0.
fNx
0 0
#W
·
Yo X Vo
=
结论 2 f (x) =| x − x |仅在 x 处不可导.
0 0
N
No结论 3 设 g(x)连续，则 f (x) = g(x) | x − x |在 x 处可导的充要条件是
0 0
g( x ) = 0.
0
fix-fN 91xx0-0
Un
fixol M
=
=
*No
X-Vo * No
M f(xd
fiNl M- TATE) -q(xd = 91x0)
9No) ..
= = -
#No
=
gixo) 0
=
9IX) (x 00
find --
Un 91Xo
=
=
Exot X-- Yo
Se IfINITE
FRE it fix E Xo ] Xo Tz] E
:
,
Bil 91 /fix *] E 9(X) CELES)
Xo 0
=
.解题思路:判断 f (x)在 x 处是否可导，是常考题型，其思路是
0
思路 1——用导数的定义判别. 这是最根本的方法， f (x)在 x
0
处可导
应满足如下 3 点：(1)有动有静；(2)动静(x)一致；(3)左右导数皆存
在且相等.
思路 2——用导数的几何意义判别：如果 x
0
处不连续或曲线形成尖点
或切线是铅直切线，则 x 处不可导；如果
0
x
0
处存在非铅直切线，则 x
0
处可导.
思路 3——利用某点处是否可导的有关结论判别.x + 1 − 1
【例3.1.1】 设 f ( x) = , 则下列说法中正确的是（ ）
D
x + 1 + 1
(A) f (x)在 x = 3处不连续 (B) f (x)在 x = 3处连续但不可导
2 1
(C) f (x)在 x = 3处可导且 f (3) = (D) f (x)在 x = 3处可导且 f (3) =
9 18
fix T =3 F EX l
(A)
,
,
11
x+1 -
fix-fR
fil Ru = - 5
1
= +
X 3
-
X 3
-
Um 3 - 3 - ( + ) 2 Jim X+1 - 2
=
- Gx
x +3 3( 1)(x 3) 3 X - 3
+
-
I E I I
32
= 9 X = -
18
x+ 2&x2↑
【例3.1.2】 设 f (x)可导，F(x) = f (x)(1 + sin x )，则 f (0) = 0是F(x)
在 x = 0处可导的( A )．
(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件
flo)
F(0)
# 35 - = =
:
fix Cmx-fos
FI-F10)
Me
Am
F'0)
=
=
*O X - 0 *
fix fix Ismx-fo fix-fro) fix
+ (smx
. a My
An
=
- +
do
X x70X 0 *
-
fix
10I
fio)
M
.
= +
* Xfit
(4 for a
F(0) fio) fio) - f
M .
=
= +
=
X
f(N
X fir) f(0)
Fisol fiol + he . +
= =
st
*
fox-frol Ap fro
F1(0) Final
0
F(x) X= Es = < = +
flo flo
↳> 2
=
= 0 =o
FIX) fix (1 (Smx)) fix fix I SmX
35 =: = + = + .
fIN (Smx 07 * fiol
X = = 0
.【例3.1.3】 函数 f (x) = (x 2 − x − 2) x 3 − x 的不可导点的个数是( C )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
f(x (x-2)(x + ) X(X + 1)(X - 1)
=
(x) (x 11 (x-11
= (x-2) (x + 1) · . + .
* E = 0 1 1 , 1 91x = (x-2) ( X+1)
. ,
910) T
+0 0
q() = 0 + 7
911 0 1 Py3n
【例3.1.4】 设函数 f ( x) = lim n 1 + x ，则 f (x)在(−,+)内( )
n→
(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点.
(C)恰有两个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
fix M" (lIx
R
max
+ =
=
&,
. X3)
IX1 Xy
fin
35- :
=
I I
-
P I kx4
w X= - , -
=
-x
X = 1
-
I + x4 ,
1
f'(-1) Fil
-
f+
(1) Fili)↑
3n
【例3.1.4】 设函数 f ( x) = lim n 1 + x ，则 f (x)在(−,+)内( C )
n→
(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点.
(C)恰有两个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
33 f(x) Mi (lIx
M
= = max
= + =
I
x
f(x)
⑨ ⑧
I I &
-
I x2 + 2x + 3, x 0
【例3.1.5】 求a,b的值，使函数 f (x) =
在(−,+)内
ax + b, x 0
可导.
# :
fix
( - c , + c) ] = X = 0 &
#]
0
① X
=
fol-MCaxtb fo
f(0) the +XT3 3 b -
= =
=
b 3
: =
fix-flo
Exists
② flo U M
= = 2
=
X - 0 X
i G = 2
fix-fos
flo
Mr axt-B-
M
=
=
X O
- X题型二：凑导数的定义求极限(★★★)
0
解题思路——，如果已知某点导数，求一 型的极限，可考虑凑导数
0
的定义来计算.f ( x) − 3
【例3.1.6】 设 f (x)连续，且lim = 2，则
x − 1
x→1
2 2
f (1 + h) − f (1 − h)
lim =________.
h
h→0
fIN-3
E(x =
M 0
-> 2
=
,
X- 1
f(x)
M [fix)
: 37 3
- = 0 => =
*I
f f-fific
M M
:
=
X - 1fC][f-f
flihi-fth)MIfc
m +
h
fllth)-frh
fith)-fu f-fh
6 On 6 Im +
=
=
h
W
flith-fill
fanf
6 (a
=
h
6 x2 f'()
12x2 24
= = =
.题型三、用导数定义求导数(★★)
解题思路——求导数一般用求导公式来进行计算，但遇到如下三种情
况，往往用导数定义来求导数：
1.抽象函数求导函数 f (x)；
2.分段点处的导数；
3.用求导公式求导太复杂.【例3.1.7】 设对非零 x , y 有 f (xy) = f (x) + f ( y)，且 f (1) = a，求
f (x)(x 0).
fixCH-f
UnfNoM-fMM
# fix
: =
-X
8XT0 8X
f
M
=
OX
f(x) = f(x + f(y) (2 X = y = ) = f() = 2 f(l) = f( =0
f-fl
fix M fi
:
=
=
=
*
OX X X
*2
2(x + 1)
【例3.1.8】 设 f (x) = (x 2024 − 1)arctan ,则 f (1) = .
3 2
x + 2x + 1
D T
2(X 1)
fix-fl +
2024-17
fill My CX arcton -> [
35- Me .
: = = x + 2x +1
X- 1 x)
X 1
-
12S11
2023
2024 X
= .
*I
X-1
-
2024 5067
= =
2(* 1)
+ (i) fix (2024
/291) -11 9/X)
35 arctar - =
= .
== * 2x*
+ + 1
fill X2023 ** 11
: = 2024 . · 9 + (X - . g) = 2024 · 91
x
50 Sh
2024 =
=题型四：导数的几何应用(★★★)
解题思路——由于 f ( x )表示曲线 y = f (x)在点M(x , f (x ))处的切线
0 0 0
的斜率．
所以 x 处的切线方程： y − f (x ) = f (x )(x − x ).
0 0 0 0
1
x 处的法线方程： y − f (x ) = − (x − x ).
0 0 f (x ) 0
0
f(x)
y
=
"【例3.1.9】 已知曲线 f (x) = xn 在点(1,1)处的切线与 x 轴交点为( ,0)，
n
则lim f ( ) =_______. ↑
n
n→ Y
f() * (x=
TNER3k
(1 1) = = n = mo(l)
.
[DEB * 4 -1 n(x 1) >
Cl 1) = = -
.
(n 0)
,
t
&
y = X En 1
=0 = = -
Mem
11-
Unfsr) =
et
:
=
=【例3.1.10】 若曲线 y = ax 2 与 y = ln x相切，则 a = .
iS TDE (NoMo)
40)
(20
.
D
Xo
% ①
: o = a
I
% InXo ②
=
0
↳
2GXo I
I
③ avo
E
D %
= InXo=
= Xo er
= = 0 =
1
2
: a = =
ze题型四：微分的定义与计算(★★)
微分的定义
1．定义 如果y = f (x + x) − f (x ) = Ax + o(x), 其中
0 0
A
↑
fix
dy T oX
.
是不依赖
-
-
于x的常数 那么称 y = f (x)在点 x 是可微的 而线性主部 Ax叫做
0
y = f (x)的微分 记作dy.
2．函数可微的条件 函数 f (x)在点 x 可微的充分必要条件是函数 f (x)
0
在点 x 可导 且 A = f (x )，即dy = f (x )x = f (x )dx.
0 0 0 03．微分的几何意义 dy是点 x 变化x后，
0
x
0
切线上纵坐标的相应增
量．
a
·
x
4. 可微、可导与连续的关系 可微可导连续极限存在.解题思路——微分考查一般比较基础，理解的定义、计算、几何应用
即可. 需要注意微分与导数是等价的，因此若判断函数 f (x)在某点 x
0
处是否可微，只需判断 x 处是否可导；若计算 x 处的微分，即计算
0 0
f ( x )dx.
0【例3.1.11】 设函数 f (u)可导， y = f (x 2 )当自变量 x 在 x = −1处取得增
量x = −0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为 0 . 1 ，则 f (1)=( ).
D
num
(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5
MY(x
.
E = %
, =
[f(x1)ox
f(z
i My = - 2x -x
=
- X = -
fil
(21 (01)
= 1
- · = o-
fill
5
... = 0.【例3.1.12】 y = f (x)在 x 处可微, y = f (x + h) − f (x ),dy为
0 0 0
x
0
处的
微分，则当h → 0时,下列说法“①dy是 h
↑
Y 的等价无穷小；② f ( x ) 0
~ 0
X
时, y与dy是等价无穷小；③y − dy是h的同阶无穷小；④y − dy是h
w
的高阶无穷小”中正确的是( D ).
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④
fixd h
by dy o(h) My
+
= = .
Dfil he
fix diy
Im
m
①
=
-
② y)
+ 10sXyd(xy)
- = 0
**
cosxy(yax Xdy)
=> e (dx + dy) - + = 0
a
= x = x(t) dy dy / dt y(t)
参数方程求导(数三不考)设参数方程 ，则 = = .
y = y(t) dx dx / dt x(t)
dy dy y(t)
d d / dt d / dt
d 2 y dx dx x(t) y(t)x(t) − y(t)x(t)
= = = = ．
dx2 dx dx / dt x(t) x(t) 3
反函数求导 设 y = f (x)的反函数为 x = f
−1
( y)，两者皆可导，且
dx 1 1
f (x) 0，则 x = f −1 ( y)的导数，则 = = ；
dy dy y
dx
1 y
d[ ] / dx −
d 2 x d 1 y ( y)2 y
二阶导： = [ ] = = = − .
dy2 dy y dy / dx y ( y)3利用对数工具求导 以下两种情况，应借助于对数工具计算导数
v(x)
情况一：设 y = u(x) (u(x) 0), 则
u(x)
y = [ev(x)lnu(x)] = ev(x)lnu(x)[v( x)ln u( x) + v( x) ].
u(x)
情况二：如果 y = f (x)( y 0)是多项乘除、开方、乘方运算的函数，
则求 y ：1. 函数两边取对数ln | y |= ln | f (x) |.
2. 两边同时对 x 求导，将 y 看成中间变量.2
d y
【例3.2.2】 设 y = sin[ f (x 2 )],其中 f 具有二阶导数,求 .
2
dx
d
fix
cos[fixs) 2x
= · .
[fixs)'
(ostfix])'
= fixi 2x + costf(x) 2x + costfixit fixt 2
. · .
[fixi][X)"
Shifii] [fixi]. fix- * [fix) fixi 2
- + 103 4 + cos · .
=【例3.2.3】 已知函数 y = y(x)由方程e y + 6xy + x 2 − 1 = 0确定，则
y''(0) = .
73 E 5X* Y (14)
< =
35- :
,
! y Gy (x y D , 75X , % 41) Y' Y'M
e + + . +2x = 0 = =
=> .
(yi ! y" by y"
6y'
e + e + + + 6x - + 2 = 02
=> .
T =Y'
EX = 0 At =Y = 0 D = 0
Gio
: = -2
.【例3.2.3】 已知函数 y = y(x)由方程e y + 6xy + x 2 − 1 = 0确定，则
y''(0) = .
eY x
/2 F(xy) (xy + 1
15 == = + +
-E =G
Pl y a Y = 4)
= =
el
6x
+
(64' + 2) . (4 + (x) - (64 + 2x)(4 . y + 6)
y
=-
(e" 60k
+
7 :
[Ex
X =0 .
70
. = 0 =>
Y
) = -2
. x = 2et + t + 1
【例3.2.4】 设函数 y = y(x)由参数方程 确定，则
y = 4(t − 1)et + t2
2
d y
= .
dx2
t=0
e et
MM dy at 4 . + 4(t - 1) + 2t 4te
. It
#B +
: = I = 2t
=
dX/dt .
zet
+
1 zet
1
+
di d(2t)/dt
ze/e
2
= = -
5
dX= ax(at
+=0 = ·x
【例3.2.5】 设 y = xx ，则 y = .
**
eek(x exty
ex(x
elnx IX
4
.
= &
=
=
my
+ Y(x)
(nX +
(e
y ye
.
= .
getInY eXY
IX [exY
. (lnx + 1) (nX + .* ]
. . ·
=( )2
ex 6 + x2
【例3.2.6】 已知 y = ,则 y =_______.
3 2
1 + x
xi
? (6
X
In In e + Ine *
+
In(6
+
In 1+22
= = -
x
gluCt) Fi
\n(6ix)
X
+
2
= -
,
2x 1 2x
1
= = + 2 . - .
5
6+ x2 1tX
(6 x)
et
y +
= = -)
3
HXx
【例3.2.7】 设函数 f (x) = 1 − et dt ，则 y = f (x)的反函数
−1
dx
x = f
−1
( y)在 y = 0处的导数 =___________．
dy
y=0
I
I
I
=
I
-
=
(x
-
0 + e
= 1 - e 1 -
x=
Ey #f -
= 0
X=
,题型四、求高阶导数(★★★)
(n)
解题思路：求高阶导数，要先搞清是求高阶导函数 f (x)还是某点高
阶导数 f (n)(x )，
0
(n) (n)
思路 1——如果要求0点处的高阶导数 f (0)，优先考虑 f (x)的奇
(n)
偶性，如果为奇函数，则 f (0) = 0; 否则优先应用麦克劳林公式计
算，这也是考查最多的求高阶导数的方法.求非 0 的 f (n)(x )也优先考
0
fix ? In Ce x))
虑泰勒公式. X +
=
⑧
F frMo oxy
FREE fi fill fil
1. : = + X + ...
.
EFF f(x :
In (HX) X"
X Go Gix
2. = = = + +... + ONY)
fan
fil ni
3.思路 2——如果 f (x)为多项式与另一函数相乘形式，可用莱布尼兹公
(n)
式计算 f (x).
r)" U Cr !U CaUv
Cr
(G . = . U . + · +...+
思路 3——找规律法.sin x
【例3.2.8】 设 f ( x) = ,求 f (2022) (0).
ex
+
e−x
f.
: FIN fixe f E
,
....
,
,
floro
1【例3.2.9】 求函数 y = e x sin x的 n 阶导数 y ( n ) .
y et etcost ↑ (SX osX) E et. Sm(x + )
six + = e + = .
= .
2 + (2)
y m et Sm(x + + ) + 2 e cos(x +
.
.
= .
3 E1)
et [ Sm(x
,)
cos(x
E + + +
= . .
? )
* )
(i) e sm(x + 2x
=
i
()" ex nx()
y sm(x
+
=2
x
【例3.2.10】 设函数 f (x) = ，则 f (n) (0) =_________.
x + 1
f
flo & x
f(x) fio
o
= + x + .... + . +
ni
x (xi *
f(x x (x) = x (H + (x) + + + (x) + o( *)
=
=
,
X+1
= x (1)
x o(xY
x + + + +
= -
fi
71 f !
-
= n
:
=
ni【例3.2.11】 函数 f (x) = x 2 2 x 在 x = 0处的 n (n) 阶导数 f (0) =_________.
fix :@
***
Cn &X/
*"
Ch (X /
)
55- : = (ix + · 2x . + · 2 .
* *- ((X(42)
x(*/
(4)
n(n-1)
= + 2nx . + ·
" Dahl ** " * Un21"
(2*' 24 C * 2Y ( 2
In2 = =
...
=
*"
fix x2 *Unil 2nx 2 YDuzl 24Daz)n -
= + . + n . Ch-11 . .
=
"2
fig
(n2)
u (n+ )
: = .【例3.2.11】 函数 f (x) = x 2 2 x 在 x = 0处的 n (n) 阶导数 f (0) =_________.
()
fro
fix O"
it flo) fio X o(XY)
=: = + it that · +
ni
Xe(n2" ex12
Y :
fix X2
x
= = =
(x2) 1(X2 * 4)
xi) Extr2) *
I+ + +... + +o(X
=
(n-2) !
(n2)2
O
x : In2 Y
x +... + 0x)
+ +
=
(n-z)i
Un2)"t
fo
=ncut)
fo Di
:
:
= = .
(n-2)'
ni
