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2025第四章
微分中值定理第一部分 知识点解析
一、函数中值定理(闭区间上连续函数的性质)
1.最大值和最小值定理 若 f (x)在 a,b 上连续，则 f (x)在 a,b 上必有
最小值和最大值．
2.零点定理 设函数 f (x)在[a,b]上连续， 且 f (a)与 f (b)异号，那么在
( )
开区间 a,b 内至少有一点使 f () = 0．3.介值定理 设函数 f (x)在[a,b]上连续， 在这区间内 f (x)最小值是m
最大值是M ，则任取m C M ，在闭区间 [ a , b ] 内至少有一点，使得
f () = C ．
4.平均值定理 设函数 f (x)在[a,b]上连续，当a x x x b
1 2 n
f (x ) + f (x ) + + f (x )
时,则在[x , x ]内至少存在一点, 使 f () = 1 2 n .
1 n
n二、微分中值定理
1.费马引理 设函数 f (x)在点 x 的某邻域内有定义 且满足：
0
(1)在 x 处可导; (2) 在 x 处取得极值，那么 f ( x ) = 0
0 0 0
2.罗尔定理 设函数 f (x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b);
( )
则至少存在一点 a,b ，使得 f () = 0．( )
3.拉格朗日中值定理 设函数 f x 满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；
f (b) − f (a)
则至少存在一点(a,b)，使得 f () = ．
b − a
4.柯西中值定理 设函数 f (x)和 g(x)满足：
( )
(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间 a,b 内可导，且 g(x) 0，
f (b) − f (a) f ()
( )
则至少存在一个 a,b 使得 = ．
g(b) − g(a) g()5.泰勒中值定理(带有拉格朗日余项的泰勒公式)如果 f (x)在 x
0
的一个
um
邻域内n + 1阶可导， 则
f (x ) f (n)(x ) f (n+1) ()
f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + + 0 (x − x )n + (x − x )n+1
0 0 0 0
1! n! (n + 1)!
f(b)
, 其中是 x 到 x 之间的某个值. f(al
=
0
fix [a.b] (a b) Ot 10 1)
- .
·
·
( )
注： a,b 的等价形式是= a + (b − a)，其中(0,1).
fa
(b a)0)
+ - = 0
I
I I
A 3 b
o(b a)
a
+ -三、定积分中值定理 如果函数 f (x)在闭区间 [ a , b ] 上连续 则至少存在
b
一个点[a,b] 使 f (x)dx = (b − a) f ().
a
推广的积分中值定理：如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续 则至少存
b
在一个点(a,b) 使 f (x)dx = (b − a) f ().
a
注：默认用开区间的版本.第二部分 题型解析
题型一：单中值等式问题(★★★★)
解题思路——碰到单中值定理问题后，分析步骤如下：
第一步、分析待证结论，如果左右两边都含中值，务必要把它们移项
放到同一侧. 比如要证存在使 f () =先变成证 f () −= 0.
如果两边是分式，则十字交叉相乘再移项,比如要证存在使得
f () f ()
= ，先交叉相乘再移项变成证 f ()g() − f ()g() = 0.
g() g()第二步、分析待证结论的左右两端，寻求恰当的中值定理来证明.
情形一、F() = 0型：只要找到两点函数值异号，对F(x)用零点定
理即可得证. # f() 5" f(3)-5
= St(a b) =
= = 0
.
fIN-22
F(3) RFI
= = 0 =
情形二、F() = C 型：应该用介值定理或平均值定理来证明，关键
要证出该常数C 介于F(x)在某区间内的最小值m 和最大值M 之间.情形三、F() = 0型：对F(x)用罗尔定理或费马引理证明. 几种构
造辅助函数的方法： ESt(ab) # f(3) 3
=
f(s) 3
F()
=
- = 0 = = 0
方法一——直接积分法：如果待证等式左端可直接积分，则积分
结果即为辅助函数F(x). F( ((fix f(x -x
= xYax =
- -
方法二——公式法：如果待证结论为 f () + g() f () = 0，则辅
g(x)dx
助函数为F(x) = f (x)e ，这类问题都可以用此公式构造辅助函数
F(x).方法三——还原法：利用一些常见函数的导数来还原辅助函数：
f (x) 1
1. = ln f (x) ; f (x) f (x) = f 2(x) ;
f (x) 2
2. f (x)g(x) + f (x)g(x) = f (x)g(x)
f (x)g(x) − f (x)g(x) f (x)
3. =
g2(x) g(x)
4.e x f (x) + f (x) = e x f (x) ;
e−x f (x) − f (x) = e−x f (x) .
情形四、F() = 0型
应对F(x)使用罗尔定理来得到证明. 比如如能找到三点函数值
F(a) = F(b) = F(c)，或者找到两点导数值F(a) = F(b)即可得到结论.
F(l Fr
= 0 = 0
F
=0
情形五、F() = C 或F() 0(F() 0或F() 0)
找两个不相等的函数值，然后用拉格朗日中值定理来解决.
f ()
情形六、 = F(a,b)型
g()
应考虑对两个函数 f (x)与 g(x)使用柯西中值定理证明.
【例4.1】 设函数 f (x)， g(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内二阶可导且存
在相等的最大值，又 f (a)＝ g(a)， f (b)＝ g ( b ) ，证明：存在(a,b),
使得 f () = g().
[ii] = Elf " 1) - 9(3) = 0 Es F" (B) = 0 * FIM = f(x) - 91)
GEAA / FIN fix-9 [a.b] (arb) BiT--
=
: =
,
,
f(al F(b) f(b) 9(b) 0
F(a) -q(a) 0 = - =
= =
,
** FE
f 59 E (ab) I
:
ER FAM
XoElab)
fin NEE BE
. 59I
casel
f(x0)
FIxO) 9(x0) M M 0
= - = - =fIN EX. EM G XERFEM XIFX2
case2
. , ,
F(x) f(x) 91x) M 9(x) > O
= - = -
&
f(x) 91xz) f(x2)-M < O
F(x2) =
= -
= 0 E = 0
=
(1 5)2
+
Fix (Ifix Chr]ax fix itx
= - = +
LEAA =E FIN fix Hx Tale 10 1) %
= + . .
,
z
f(0) 2
F(0) = + 1 = + 1 =
,
fill 2 z 3
F(ll 1
+ + =
= =
5 ESt(01) FB) CHEP f(3)
: 0.: =
=【例4.2】 已知 f (x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且
1
f (1) = 1, f (0) = , 证明在(0,1)内至少有一点, 使得(1+) 2 f () = 1.
2
fin
f() =
F(2]
E : 1
=
I
* 1x *
C 3) -
+
fin
LEAA E MIN -iX 9 To 1) 10 1)
: - .
= , .
,
, S
1) IA giN CHY , D ESE (0 1)
# (0 = #O .
. ,
E3) full-flo
=
is
=>
=
I
9(3) q() 910)
-【例4.3】 设函数 f (x)和 g(x)在[a,b]上二阶可导，并且 g(x) 0，
g(x) 0， f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0，证明存在(a, b)，使
f () f ()
= .
g() g()
f131 9"11 F(B)
Esf" (3)913) E
[i] = - . =0 = 0
(If
i giN)-fix g"m]dx
ER Fix
= .
Sfix
9-Yfax-fix q -
fin giv ax
+
= . - .
GERH : FIX fin-91x)- fix gix) ETab] (a b)
= - , - .
,
f(a) 9(a)-flap
F(a) gia)
·
= · = 0
F(b) f(n) 9(b) f(b) 9ib)
= - . = 0 0
=
3
X3 =
fi3) f(3)
=> 5 2 0
. - =
fis)
fis =
=>【例4.5】 设 f (x)在[0,1]上连续，证明：存在(0,1)使
(1 −) f () = f (t)dt .
0
f13) - to fitIdt
FT1 (1-5) 0 F(5)
[5 : = = 0
fix-lot fitide
#
F(N (1 X)
= - ·
f(0)
F(0)
=
-So fitt
Fil at
=
E
.【例4.5】 设 f (x)在[0,1]上连续，证明：存在(0,1)使
(1 −) f () = f (t)dt .
0
[27 1 3 fiel (15) fisl
= at - = 0
.
+o fitlat
f(5)
(5-1) = 0
=
(Sofiat)' to fitt
Fi
=> (x 1) + 0
- . = = 0
g
finat
( o fant (
=> +
0
=
x ==
eSax
(of flat e) (o
fit
EFN at
=
=
To
fitt
cx- 1) at
= .-
【例4.5】 设 f (x)在[0,1]上连续，证明：存在(0,1)使
(1 −) f () = f (t)dt .
0
LEAD /Fix
So
fitIdt ETalJE Co 117-
1 x -)
: = .
· ,
,
F(0) Fill = 0
= 0
,
F(l
B ESE(01)
0
: =
,
/ f(x)
fitide
&↑ (x 1)
+ - = 0
x= z
fitidt f(s) 10
fis)
=> + (3-1) =0 => ( 3) fit at
=【例4.6】 设奇函数 f (x)在[−1,1]上具有二阶导数，且 f (1) = 1，证明：
(1)存在(0,1)，使得 f () = 1；
LEAR fix [0 1) 10 1) # fin Ey
: . - - . -
fil
: = o
F2- EEE(o) le
I
:
·
f(l-f(0)
1 0
fist -
=
= =
1 - 0 1 - 0(2)存在(−1,1)，使得 f () + f () = 1．
f(x]'
fim) f() [f'x
[Fi1) /
+ + =
=
x=y
/a fix fix
GERA F(N +
: =
f(x fix
F(l) f() 1
= + = +
f() f()
FH)
+
=
I fin B fi
:
- f(l f() f(x)
fH) - 1
= =
: =
,
fill) 1
FH) -
: =
FIR-Effi
H 1) Fin
EE--EME
. =
=
,
I
=(2)存在(−1,1)，使得 f () + f () = 1．
1)
(f(x) (f(x
[T 27 = = fi) + f(n) + 1 = 0 =) - + - 1) = 0
+
(fin-11 eY
F(y) FIN
↳ = 0 = -
,
GERA / Fix (fix-11 e +, E .) ( 1)
-, . -
: = .
SEfiB)
# (1) in ER ES E (0 1) = 1
.
.
23
(f) -11
F(3)
: = . = 0
3
[f .
F(3) 3) 17
= -
fi-si f()
E fi(
fin 1
in
= =
, ,
F( 3)
: = 0: % EYE( - 3 , 3) < (4 . 1) F() = 0
,
-【例4.7】 若 f (x)在[a,b]上具有二阶导数，且
b
f (a) 0, f (b) 0, f (x) = 0，证明：至少存在一点(a,b)，使
a
f () 0.
F]
fiB l
25
fix FEFE I 34 BECE fix find
Ei : - + - = 0【例4.10】 设 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且0 a b，证
ln(b / a)
明：存在,(a,b)，使得 f () =f () .
b − a
f(E ) fINE I FE
[T]
<
=
,
fin) E
=
fixTeTab) (ab)-
LERA
:: -
FE ESE (a b) SE
: .
,
f(b) fas
fish -
=
↑
b a
-& 91 InX (a b) IA giv = * Fo
= , .
(b)
# 77 EYE
,
f() fill-fas fin)ffafig)
f
=> =
I
ty
9(4) 9(b) 9(a)
-
fIbl-fial
nuba
Inba fis)
fin) =
Y -
: =
. Inbla b
a
-题型三、含高阶导数的中值问题(★★)
如果题目包含一个函数的各阶导数或高阶( 2阶)导数信息(已知条件或
待证结论都可)，则应考虑用泰勒中值定理来证明，这里的关键点往往
是展开点 x 的选取，
0
(1)如果题目只给出了一个具体点 x ，则把 f (x)在
0
x
0
处展开证明；
(2)如果题目给出多个具体点，则把 f (x)在出现导数信息最多的点处展
开；
(3)无具体导数点，可选区间中点.【例4.11】 设 f (x)在[−1,1]上具有三阶连续导数,且 f (−1) = 0, f (1) = 1,
f (0) = 0,证明:存在(−1,1),使得 f () = 3.
REEE-CREED
LENA fIN EX o
: = .
+"M
fo ,
fix fol fia X502B)
x+ +
- +
= 3i .
FM1
f
x 23
f(x) fro
+ .
= + .
2 6
f n,E(0)
f() fi 0
- x= => o = = + . -
fM2)
f)
f()
1 f(d)
x= 1 = = = + + Or Unt 10 1
.
-
f
f"my "(i)
+
8 - 0 = 1 =
6EIGR
#
,
12] <(11)
= SE [1
,
f"i + (2
) + 6
#" .
1) 3
= = I =
.
2
