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2025第五章
导数的应用第二部分 题型解析
题型一：判断函数的单调性(★★★)
解题思路：判断函数单调性的思路如下：
思路 1——如果 f (x)可导，求 f (x)的单调区间，步骤如下：
1. 确定函数的定义域.
2. 求 f (x)，得到函数的驻点和不可导点.
3. 用驻点和不可导点将函数的定义域分成若干个小区间，判断 f (x)
在这些区间上的正负得到函数的单调区间.
思路 2——抽象函数或不可导函数利用单调性的定义判别.【例5.1】 若函数 f (x)可导且 f (x) f (x)>0，则( ).
C
(A) f (1) f (−1) (B) f (1) f (−1) (C) f (1) f (−1) (D) f (1) f (−1)
fIN fin
35 D TO > O
- =
,
i
If /ful
f() full 1
+
< <
i
&
- I
fix)
fix
& co 0，则( ).
C
(A) f (1) f (−1) (B) f (1) f (−1) (C) f (1) f (−1) (D) f (1) f (−1)
(fin)
35 fif inco 2 fix fin
= = = > o
fin M
fil fill
~
Ifrp) /fus)
:
<【例5.2】 设 f (x, y)具有一阶偏导数，且对任意的(x, y)，都有
f (x, y) f (x, y)
0, 0，则( D ).
x y
(A) f (0,0) f (1,1) (B) f (0,0) f (1,1)
(C) f (0,1) f (1,0) (D) f (0,1) f (1,0)
of
YSTA1 fil BEX ↑
o .
,
O
of fixy)
X XGDHJ PEYN
so 1 ,
24
f((
f(0 o < 0) > f(l 1)
.
. .
flo f(1 1) f(1
1) < < 0)
. . .【例5.2】 设 f (x, y)具有一阶偏导数，且对任意的(x, y)，都有
f (x, y) f (x, y)
0, 0，则( D ).
x y
(A) f (0,0) f (1,1) (B) f (0,0) f (1,1)
(C) f (0,1) f (1,0) (D) f (0,1) f (1,0)
f(x,y)
35 = X - Y
= =
flad f(1 1)
= 0 . = 0
.
flall f(
-1 < 01 = /
=
.【例5.3】 设函数 f (x)连续，且 f (0) 0则存在 0，使得( ).
C
X(A) f (x)在(0,)内单调增加 X(B) f (x)在(−,0)内单调减少
(C)对任意的 x (0,)，有 f (x) f (0)
X(D)对任意的 x (−,0)，有 f (x) f (0)
fio B(x)
A
=>
o
.
fiNEX OLE MfIN fiOOBfN
YE =
=
fil-fo
i
fioco M , E 0 BIED
= 30
,
fix-fro
(0 8) At fix < flo)
Xe
O . ,
X
fix <
Xt ( 5 0) A5 fol
-
, ,题型二：求函数的极值(★★★)
解题思路：如果要求函数的极值，思路如下
思路 1——已知 f (x)表达式且可导，方法如下：
第一步：确定 f (x)的定义域.
第二步：求出导数 f (x)，并求出可疑极值点：全部驻点和不可导点
x , x , , x .
1 2 n
第三步：判断 x , x , , x 是否为极值点. 可以选用第一、第二、第三充
1 2 n
分条件三种方法来进行判断.o
极值第一充分条件：如果在U( x ,)内 f (x)异号，那么
0
x
0
为极值点；
o
如果在U( x ,)内 f (x)不变号，则 f (x)在
0
x
0
处不取极值.
↳ A F FIT. T JE
,
极值第二充分条件：如果 f ( x ) = 0，且当 f (x ) 0(或 f (x ) 0)
0 0 0
时，函数 f (x)在 x 处取得极大(小)值; 当 f (x ) = 0时，该法失效，判
0 0
断不出.
fixd
⑫AF#)
= 0极值第三充分条件：如果 f (x ) = f (x ) = = f (n−1)(x ) = 0，但
0 0 0
f (n)(x ) 0，那么当
0
n 为偶数时 f (x )是极值点，且当 f (n)(x ) 0(或
0 0
f (n)(x ) 0)时函数 f (x)在 x 处取得极小(大)值.
0 0
n
fix EBlE
SE IXo
fixol) B. EBE
.
,
,
思路 2——用极值的定义判别极值，这种题往往适用于抽象函数 f (x)
或无法求导时.2
x
2
【例5.4】 求函数 f (x) = ( x2 − t)e −t dt 的单调区间与极值.
1
Zi c)
: : Xt ( - c , +
X(
*
etat
1* eat
fM
+
-
=
,
P
xY
2x).*. etat x -- x2 ex
fin e 2x 2X
+ · - -
=
fix
EX1 -1 Xz X3 = At =o
= = 0
.
1) 1) 1 0)0(0 1)/( b)
( - s , - + - , . . +
&
fin- - +
f(x) ↓ E - 3d E * ↓ FR&fi(-0 ) * 1) ↓ EC1011 Clitco) ↑
+ 10
. .
fill
fH)
#H
: = 0 = o
,
*
Fat Eli e
FRIE fi ( : t ac-e)
: = . =
zet);
=(1 et)
= = -【例5.5】 已知函数 y ( x ) 由方程 x3 + y3 − 3x + 3 y − 2 = 0确定，求 y ( x )
的极值.
EXI* c)
# XE ( - c , +
:
y3 (
( F(x - y) = x + - 3x+ 3y - 2 ,
3x 2
I a - 3 1 - X C - X) (i +X)
y
= = -
3y 37 + yz/
+
Y
& Xi 1 X = #J = 0
= .
1)/(l. c)
35 - = C - 0 , -
1) + ( -1
.
+
I
+
-
Y -
Y ↓ EG ↑ E ↓-
Y' 1 - x
15
== =
yu
1+
%75120
y Y - zX ( +
y)
-
(x724
. I'll so
=
y
(1
+
I EFFE
* E X /
· X= + =
,
: Y (1) = 0
FILE (4) /
=题型三、函数的最值(值域) (★★)
解题思路
思路 1——如果求函数 f (x)在区间 I 上的最值或值域，可
第一步、求 f (x)，并求出 I 内的所有驻点和不可导点 x , x , .
1 2
第二步、求出区间 I 两端函数值（若两端点无意义则求极限值）和所
有驻点不可导点函数值 f ( x ).
i
第三步、比较上述值的大小，最大的即为最大值M (或值域上限)，
最小的即为最小值m (或值域上限)，此时[m, M ] (或开区间)即为值域.思路 2——通过单调性求出函数 f (x)在区间 I 上的最值或值域，可用
单调性计算：
第一步、求 f (x)，并求出 I 上的所有驻点和不可导点 x , x , .
1 2
第二步、求出 f (x)在 I 上的单调区间.
第三步、根据单调性判断并求出 f (x)的最大值或最小值.
x+
【例5.6】 设 f (x) = 2 |sint | dt .
x
(1)证明 f (x)是以为周期的周期函数;
+
/Eight U
=
+zIx
fNxt)
(1) = at Sm(KTT) du
isiclat-fit
=
=
Scalam
fu 1 E
BETE
.. .(2)求 f (x)的值域.
LEA
fix -T *
&, ) ir
~ -
fix (sm(x1 Isixl Kosxl-1SmX
- =
=
- = fix
#5
Ex xz
= = o
1
, ,
f(-) = 2
Iutlat sment 2-5
= = ,
C
fl JaIsmtdt
= Smidt E
= =
fil
(
_ -
= Ismat
=(2)求 f (x)的值域.
Isnelat =
fil
1
Stat
= =
fix =* [2-E VIS
:
,题型四、函数恒等式的证明(★★)
解题思路——如果要证明某区间 I 上一个函数等式 f (x) = g(x)成立，
只需
第一步、移项令F(x) = f (x) − g(x).
第二步、求导，证明F(x) = 0在 I 上恒成立，则F(x)为一常数C.
第三步、I 上取一特殊点 x 代入F(x)，证明C = 0即可.
0【例5.7】 设函数 f (x)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数，且
f (0) = 0, f (a) = b， g(x)是 f (x)的反函数. 证明：
a b
f(x)
f (x)dx + g(x)dx = ab恒成立. y
=
x
=
qm)
0 0
(. q(lay
U
=
f(x) )
g[fi] & fix
35-
= 94ax =
.
1Xfinax fi "-Io"fil
= = X . dy
.
↓
ab-to
af(a) 10 fixuX fin
- - = ax
1 : fNax 1
+ 9dx ab.
=【例5.7】 设函数 f (x)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数，且
f (0) = 0, f (a) = b， g(x)是 f (x)的反函数. 证明：
a b
f (x)dx + g(x)dx = ab恒成立.
0 0
figuax
E)) "fixax 1 f(a)
i = = + = a
.
,
f(maNax
In 1 fMxdx ( f()
F(al + a
= -
Fcal flal-a-fial
f(u) q[f(ul] fical
= +
-
f(al fal fal fial
= + a - - a = 0
F(ul
: = C it Fro Fal
= 0 .: = o题型五：不等式的证明(★★★★)
解题思路：形如证明某区间 I 上 f (x) g(x)成立的这种问题，称之为
函数不等式问题.
思路 1——利用单调性及最值(值域)证明不等式.
第一步、对不等式移项，构造辅助函数F(x) = f (x) − g(x)，或两
边含分式也可交叉相乘再移项构造F(x)，问题转化成找F(x)的最小值
(值域)问题.
第二步、求导F(x)，找驻点，进而分析出F(x)的单调区间，从而
找到F(x)的最小值.解题思路 2——若不等式出现同类函数差 f (b) − f (a)，可用拉格朗日
中值定理证明.
解题思路 3——出现 f (x)及其二阶或者二阶以上导数的信息，考虑用
泰勒公式证明.
如果不等式两端仅含a,b不含 x ，可考虑将 b (或 a )变为 x 后再证明不等
式.1 − x ln(1 + x)
【例5.8】 证明：当0 x 1时， .
1 + x arcsin x
LENA / F (x) 1-X arcsmX- Htx-InGTX) EPLEocXI#J FM co
: = - , , .
# Flo
= o
-1 1
- -
Fix arcsmX + 1-X
= . .
1- Xz
21- X
I
InG + X) i
-navismxit-z
= -
FINCO FMN FIN
= 0
F"M ↑
↓/AJ F ↑ Fin
Co
to
. . ,
FMU
(a1) /A Fin
O =
:
S
. ·
Clito) A Fix FN ↑
To =
.
& HE F(ll
FINX 1 = 0
=
..
: FIX Fill = 0
,【例5.10】 设 f (x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导， f (0) = f (1)，
A
| f (x) | A. 证明：| f ( x) | .
2
1)
LEDA FXot[ o
: . ,
f"
(3)
10-xo
fin fixa fixd (x-Xo) . GT5 XIXOIR
+ - +
=
, .
2
(ii)(zX Bx 1
=
0
=
,
fi
Xo
flo f(x) fixd(-Xol DS 10 x0)
=> = + + . , ,
fi
fNd fixd C-X0) (1-XPO
f(l)
+ But(X0 1)
= . +
.
Q
②
-
f)
f
Crxo2 2
fixd X
=> 0 = + - . .
2fis : fltcxOY a fiBl x8 fGx
fixa x
: = . - . +
2
A xo ↑ C x E [xo ( x0)]
= . + - = . + -
Xo t [0 1] 1 -x0 [0 1]
- , .
A-Xo1
X 1 No
No -
:
E
/fix) [x0
: = + 1-x0) = .2a lnb − lna 1
【例5.11】 设0 a b，证明不等式 .
a2 + b2 b − a ab
LEDA
:
FE F EAE ESE (a
.
b) E
,
lub-In a
=
b a
-
Inb-Ina
29 22aca
=
citb
b a
-
b
9 <
·
auth
2ab
: 295 < <
Inb-Inc
a
b a
-IX- a
Inb-hd I
EXaToA
# h
, im
X- a af
lux-Ina- X - a
10
E
r
ax
Inx-Ina-fl
-X-a
/2 fin InX-ma
=
=
Tax
I Fe 2 F - X a
fix -
= - - I
z 2x
.
Ja
2 x
.
(Ei Fal 2.)
(x-)
+
-
=- -
2x 2x
F E
findi fi fal
fix
: ExaAY
o
=
ET Fi fi fix fi
= + 2. 1 Ix X
- = = 0
,
fl
=> 1
=题型六：曲率(★★)（仅数一、数二考）
d
1. 定义 K = lim = .
s ds
s→0
d | y |
2. 曲率的计算公式 K = = .
ds (1 + y2 )3 2
3.曲率圆与曲率半径 在M 处曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D
⑳
-
，使
1
DM = = r 以D为圆心，r 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M 处
K
1
的曲率圆，曲率圆的半径r = 叫做曲线在点M 处的曲率半径
K
解题思路——了解曲率的含义、曲率的计算公式、曲率圆与曲率半径
即可. x = t2 + 7
【例5.17】 曲线 上对应于
y = t2 + 4t + 1
t = 1 的点处的曲率半径是( ).
C
10 10
(A) (B) (C)10 10 (D)5 10
50 100
dy(at
an 2+ 4
+
E
Y
= =
=
=
1+
=
3
dX ax/at
+= += 1 2 +=1
+ )/at
a(l
=
↑
( x)
- (
=
= -
=
ax(dt
=
"
14 I
I &
k(
=
i = yzz 34 - -
+= < 3
+ ( com CoNo
R
No
= = 10【例5.18】 已知抛物线 y = ax2 + bx + c在点M(1,2)处的曲率圆的方程为
2 2
1 5 1
x − + y − = ,试求常数a,b,c.
2 2 2
Y Et 42 B X 1 AJ
END : = .
:
.
4 4) = Yalll = 2 => a+ b + 1 = 2
,
S
yill) Yell
=
" Yell)
y (l)
=
ll b(x
b
Y = zax + = 2a +
, = 1
4 25X z(X E) 2(y 2) y 04txx /
: : - + - . = =
42ll
=> 1
=
. (a + b = 1"(l)
Y 2a
=
,
2(X E) 2(y 2) y E5X
- + - . = 0
.
(yi 2)4" 42
2(4 0Stx y 2
=> 2 + 2 . + - = = ,
Yz(l)
4
=
=>
4
: 20 =
b 3 2 = 3
: a = 2 =
