(14)-高数8不定积分笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第六章 不定积分第一部分 知识点解析 一、原函数与不定积分的概念 1. 原函数 对x  I ，都有F(x) = f (x)，那么F(x)就称为 f (x)在区 间I 上的原函数. 2.原函数存在定理 连续函数必然存在原函数F(x). 如果函数 f (x)在某 区间内存在第一类间断点及无穷间断点，则 f (x)必不存在原函数；如 果 f (x)存在振荡间断点，则 f (x)可能存在原函数，也可能不存在原函 数.3.不定积分 求 f (x)的全体原函数称为 f (x)的不定积分，记作  f (x)dx = F(x) + C .二、基本积分表 1 (1) kdx = kx + C(k是常数) (2) xdx = x+1 + C,( −1) + 1 1 (3) dx = ln x + C (4) exdx = ex + C x ax (5) axdx = + C (6)cos xdx = sin x + C lna 1 (8) dx = sec2 xdx = tan x + C (7) sin xdx = −cos x + C cos2 x 1 1 (9) dx =  csc2 xdx = −cot x + C (10) dx = arctan x + C sin2 x 1+ x2 1 (11) dx = arcsin x + C (12)  sec xtan xdx = sec x + C 1− x2 (14) tan xdx = −ln | cos x | +C (13)csc xcot xdx = −csc x + C , (16) sec xdx = ln | sec x + tan x | +C (15) cot xdx = ln | sin x | +C1 1 x (17) csc xdx = ln | csc x − cot x | +C (18) dx = arctan + C a2 + x2 a a 1 1 x − a (19) dx = ln | | +C 1 x x2 − a2 2a x + a (20) dx = arcsin + C a2 − x2 a dx (21) = ln(x + x2 + a2 ) + C dx x2 + a2 (22) = ln | x + x2 − a2 | +C  x2 − a2三、不定积分的性质   性质 1  f (x)  g(x) dx =  f (x)dx   g(x)dx. 性质 2  kf (x)dx = k f (x)dx.四、凑微分法 FLECA - u=(x)  f [(x)]( x)dx = f [( x)]d( x)  f (u)du = F(u) + C = F[( x)] + C eXaX I * (axe (e* * ax ax) = e c = +五、换元积分法  f (x)dx =  f [(t)]d(t) =  f [(t)](t)dt . 常见的几种换元积分法 ax + b (1)如果 f (x)含 n , n ax + b , n eax + b 时，应将整个无理根式换元 cx + d 成t . p (2)如果 f (x)同时含 m ax + b 和 n ax + b ，则应令t = ax + b ， p * Ht) F(t) = + 2 FICIN] C = + 为m,n的 最小公倍数.(3).设a  0，则   若 f (x)有 a2 − x2 , 则令 x = asint , −  t  ； 2 X 2   若 f (x)有 x2 + a2 , 则令 x = a tant , −  t  ； 2 2  若 f (x)有 x2 − a2 , 当 x  a时，令 x = asect,其中 0  t  ; 当 x  a C 2 时，先令u = − x，则u  a，再令u = asect 换元即可. - 2+ 2x +Y = 1+ (+ 2x+ y = H(x+ 1)2 若有 ax2 + bx + c , 则应先配方成上述三种情形再做三角换元.六、分部积分法  uvdx = uv −  uvdx或 uvdx =  udv = uv −  vdu. v类函数(积分) 中间类函数 u x](7 FE # = 类函数(求导) ln x,arctan x,arcsin x, eax ,sinax,cosax, 幂函数 x a , 变限积分类函数 f (x)(在已知 多项式函数 x  f (t)dt f (x)时) P ( x) n a表格法： (MT) 41(12) ! (13) H" (14) (U U dx = U . - + +.. . - ↑ ↓ u on u" du ... ⑦ ① (u) want) ycnl y(as) /i V ... (( + x)e Y ax = &(* + x . ex - (2x+) . e * + fe + C ↑ ↓ /ETX E (x x) 22x+ 1) 2 O + Jee eux I i 2X je七、有理函数积分法 P ( x) a xn + a xn−1 + + a x + a 1.定义 形如积分 n dx =  n n−1 1 0 dx，称为 Q (x) b xm + b xm−1 + + b x + b m m m−1 1 0 P ( x) 有理函数的积分，如果n  m，则 n 称为假分式；如果n  m，则 Q ( x) m P ( x) n 称为真分式. Q ( x) m二、有理函数的积分方法 核心思想——“拆”： P ( x) step1. 如果 n 为假分式，先分解成“多项式+真分式”，分解方 Q ( x) m 法有两个：一个方法是拼凑法——分子拼凑出分母的因式后直接分 解；一个是利用多项式的长除法来进行分解. &Fax (M = ) =P ( x) step2. 如果 n 为真分式，且分母Q (x)可因式分解，则可将 m Q ( x) m P ( x) n 继续分解成几个最简真分式之和，分解方法有两个， Q ( x) m 一个方法是拼凑法； 3 2X+ a b C I + + ? (X - 2) (x - 1) X - 2 (x - 2)2 X- 1 2) a(x-z)(x - 1) + b(x - 1) + c(X - = (X 2)2 (X 1) - - . a(x -2) (x - 1) + b(x - 1) + C(x - 2)2 = 2x + 3一个是用待定系数法按照如下拆分原则进行拆分： A (1) 若Q (x)含因式(ax + b)，则可分解出一项 ； m ax + b (2) 若Q (x)含因式(ax + b)k ，则可分解出 m k 项 A A A 1 + 2 + + k ； ax + b (ax + b)2 (ax + b)k Ax + B (3) 若Q (x)含因式(ax2 + bx + c)，则可分解出一项 ； m ax2 + bx + c (4) 若Q (x)含因式(ax2 + bx + c)k ，则可分解出k项： m A x + B A x + B A x + B 1 1 + 2 2 + + k k . ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k 然后解出待定系数，即可得到原真分式拆分的最简形式.↳ 25 : 9(x) fix A B C 1 . = = + + (x - a)(x - b) (X - c) X - a X - b X - L St * FE 91x) A OB C fix 2. = = + + (x - a)(X - b) " X- a X- b (x - b)2 It -JE9(x) BX C fix = + 3 = . (x Xo)(ax bX+2) ax + bX + C - + ** 15- : ↑ B C : . Jix ERBE >B 35 == X + 0 . ESE 35 -第二部分、题型解析 题型一：关于原函数与不定积分的概念性质(★★) 解题思路——根据原函数、不定积分的概念求解. 1 cos x, x  0  xsin , x  0 【例6.1】 设 f ( x) =  , g( x) =  x 在区间(−1,1) sin x, x  0   0, x = 0  内( D ). (A) f (x)与 g(x)都存在原函数 (B) f (x)与 g(x)都不存在原函数 (C) f (x)存在原函数, g(x)不存在原函数 (D) f (x)不存在原函数, g(x)存 在原函数 flocox fol E = Sax 0 = 1 = fINTB : === q)E2( x − 1), x  1 【例6.2】 已知函数 f (x) =  ，则 f (x)的一个原函数为 ln x, x  1  ( D ). ( x − 1)2, x  1 (x − 1)2, x  1 (A)F(x) =  (B) F(x) =  x(ln x − 1), x  1 x(ln x + 1) + 1, x  1   (x − 1)2, x  1 (x − 1)2, x  1 (C)F(x) =  (D)F(x) =  x(ln x + 1), x  1 x(ln x − 1) + 1, x  1   -* (A) x> /AJ Fix InX-1 + X = (nX + 1 1 InX . = + = X .* X 1E() (B) X71 At Fix = Inx + 1 + X = Ink + 2 Fix InX (D) x7)At =x (A) the Fix M = = TfITBS FIX) => F x(x- M = Um (D) Fix o = Mu Fix MEXX- 1) 1) + = = 0 It x Fill 0 =题型二：不定积分的计算(★★★★) 解题思路——考研试题一般不出技巧性很强的不定积分计算题目，而 是爱出综合计算题，即一道题中可能会涉及到凑微分法、换元积分 法、分部积分法、有理函数积分法中的多种计算方法，并且有一定的 计算量，所以务必要务必熟悉各种积分法及其适用的积分.xex 【例6.3】 求不定积分 dx ex − 1 2t. # t = ex - 1 ex - 1 = E e * = tE1 X = In(ti) dX = at , , , , t( (In(t) En /ICE ( . It at = 2 = - ↑↓ 4/at 2 (t . ztluct) at 2 lutit) = - - = 4(X-(dt 2t((ti)) 2t((t) = - 4t + Parcmt+ C - = 4arim ex C = 2 ex-1 X - 49-1 + 1 + .1 + x 【例6.4】 求不定积分 ln(1 + )dx x e *, H E EX St Hx = X = = = , , MIT -(d((H t) TB ) In (H ++ ) d = : = . In C +) -((t I + 2dt I )(t ) t 1 - + - b a C = & (t - 1)(t + 1) t - 1 t+1 ( + -b f c = a = = - = -I E * -( - Fe - I at = Ep - -put I zet In(1 / + + I + I + - t 1 - m( ) ++ * + 1 I = qk + C + #x H 2)E 1) - + = x X - I + In (H) C X + + = . 2(ix - ) +xearctan x 【例6.5】 计算不定积分 dx. 3 ( ) 1 + x2 2 arctat t = # / (*) sect X emt te dx dtat de = = = , . , et T ) tact t : · /eate = Atmte sect See E - dt = sel I /emt. /et = et she cost at at = . ↑ ↓ eEshe-Jetcosedt etsht-efost Jet (shel de = = + . ↑ ↓/ eisht Let(she-cost) T at C : = = + G earctax X= tat t = arctaX t , . = -- x E H+ I T X2 − x 1 【例6.6】 计算 3  dx. 2 + x (2 − x)2 3 2 - x 2- X E 2E X-E 2t x() 1) [t = 2- x = + = 2 - = + = , 2+x( 2+X 2tdX JECE) 2E)-3t => x = 2- = d) = - - (2 - at = - 1 T 3 3) 2 |++ (l ++ 12th ) I 12t / 75 32at = + - = - de 2 t ( p 2- ++ it · - (1 CHt) 1+ t 3 - -S Itt at /bat / 3.2 C = = = + - [5 = c +2x3 + 3x2 + 4x + 3 【例6.7】 计算不定积分 dx. (2x + 1)(x2 + x + 1) 3x 3 2x I + +4x+ (2x + 3x + 3x + 1 +x +2 I dx dX = 2x 3x 3X 1 2x 3x + + + + + 3X+/ = X+ 2 f(x)X( + x2 dX D /(ax = x + + 2x = + 3x 3x+ +x+ 1) X+ 2 2 bX+ C 2 & = + = - x #X 1)(x = ) 2x+ 1 + x+ 1 2x+1 + / (2x+ X+ 1 b : G = 2 =- C = 0() 2 & T (dX x - : = + 2x+1 xx + / ⑳ 1 2x + 1 - E) (n(2x 1) dX = x+ + - = x x+ + E) (n(2x 1) x + = x+ - = I 1) zfd(x +x+ z)(x z) (pd(x+ (n(2x 1) + = x+ + - x = +x+ 1 + + 2 (n(2x ) [(n)x 1) + x+ = x+ + - +x+ ar c + 53 Z 1/2xT1) -1)* 1 x = x+ - +x+ + artem + Cdx 【例6.8】 计算 ( 2x + 1 ) 3 + 4x − 4x2 /(2x I T ax2x-1 te(-) 2Smt = = , 1)2 + 1 1x - - X E Sht dx costdt = + = ) I I T /2(shti) : = costdt -costdt = casme 2) + 22-cusity 2--cost it she i) Sat at = = + = /she as at= emeI Fost Lent 2 Sint X-3 + = = - E I I x - I C EF = . - I & + +xx + X X - T = X 3 x - 5 X - I 21 - 2 C + = . I E x2 +x - (2X 3) I - = C I + 3 + 4X - 4X