(15)-高数10定积分与反常积分2空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第七章 定积分与反常积分题型六、定积分等式证明(★★★) 解题思路：定积分等式的主要思想是“拼凑”：从待证等式的一端出发 拼凑出另一端. 常可利用以下方法：(1)定积分换元法；(2)分部积分 法；(3)积分中值定理. (4)转化成函数恒等式的证明.【例7.1.17】 若 f (x)是连续函数，证明 x  u  x   f (t)dt du =  ( x − u) f (u)du.     0 0 0【例7.1.18】 设 f (x)连续，证明： f (1 + t) 1 x 1  ln f (x + t)dt =  ln dt +  ln f (t)dt . 0 0 f (t) 0题型七、定积分不等式证明(★★★) 解题思路：定积分不等式的证明，常可利用以下方法： (1)函数化成函数不等式来证明； (2)定积分换元法、分部积分法等； (3)出现高阶导数，考虑泰勒公式. b b (4)用定积分的不等式：  f ( x)dx   | f ( x) | dx. a a【例7.1.19】 设 f (x)在[a,b]上连续，单增，证明 ( a + b )  a b f ( x ) d x  2  a b x f ( x ) d x .【例7.1.20】 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上二阶可导,且 f  a + 2 b  = 0 3 M(b − a) b M = max f (x) ,.证明:  f (x)dx  . a 24 axb第二节 反常积分第一部分 知识点解析 一、无穷限反常积分 (1)  a +  f ( x ) d x ； b (2) f (x)dx； − (3)  − +   f ( x ) d x =  − a  f ( x ) d x +  a +  f ( x ) d x ,若右端两个反常积分都收敛， 则称  − +   f ( x ) d x 收敛，否则称为发散.二、无穷限反常积分的计算 设 f ( x ) 连续, F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函 数，则 (1)  a +  f ( x ) d x = lx i→ m +  F ( x ) − F ( a ) . b (2) f (x)dx = F(b) − lim F(x). − x→− (3)  − +   f ( x ) d x =  − 0  f ( x ) d x +  0 +  f ( x ) d x , 先在 x = 0 处拆开再分别计算.三、无穷限反常积分的审敛法 收敛原则： 1.参照物——已知敛散性的积分：.2.无穷限反常积分的比较审敛法 设 f ( x ) 在区间 [ a , +  ) 上连续，且 f (x)  0.四、无界函数的反常积分 如果 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界 那么 点 a 称为 f (x)的瑕点. 含有瑕点的积分称为无界函数的反常积分，又称 为瑕积分. 瑕积分分为 b (1) f (x)dx，其中 a a 为瑕点. (2)  a b f ( x ) d x ，其中 b 为瑕点. (3)c (a,b)是 f ( x ) b c b 的唯一瑕点， f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx，如 a a c 果右端都收敛，则  a b f ( x ) d x 收敛，否则发散.五、无界函数的反常积分的计算 b b 1.当a为瑕点时 f ( x)dx = F( x) = F(b) − lim F( x). a a x→a + 2.当 b b b 为瑕点时 f ( x)dx = F( x) = lim F( x) − F(a) a a x→b − 3.当 c  ( a , b ) 为瑕点时  a b f ( x ) d x =  a c f ( x ) d x +  c b f ( x ) d x = lx i→ m c − F ( x ) − F ( a ) + F ( b ) − lx i→ m c + F ( x ) .六、无界函数的反常积分审敛法 收敛原则 1. 已知敛散性的瑕积分2. 无界函数的反常积分的比较审敛法 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续, 且 f (x)  0, a 为 f (x)的唯一瑕点，则第二部分 题型解析 题型一、反常积分的计算(★★★) 解题思路——若积分有多个反常处，先拆开，然后逐个用牛顿莱布尼 兹公式计算.【例7.2.1】 求积分  1 2 3 2 x 1 − x 2 d x .题型二、反常积分的敛散性判别(★★★) 解题思路：反常积分敛散性的判别方法如下： 思路 1——计算反常积分，如果算出来存在就收敛，不存在就发散. 思路 2——被积函数作等价无穷小代换或者等价无穷大代换，若可代 换到 p −积分上，则可判别其敛散性. 思路 3——如果被积函数放缩到已知敛散性的积分上，通过比较判别 法判别其敛散性.1 + 【例7.2.2】 若反常积分 dx收敛，则( ). 0 xa (1 + x)b (A)a  1且 b  1 (B) a  1 且 b  1 (C)a  1且 a + b  1 (D) a  1 且 a + b  1【例7.2.3】 下列广义积分收敛的是( ). 1 ln2 x + + (A) dx (B) dx (C) 1 x ( 1 + ln x ) 0 x2  0 +  1 x e x d x ln(2 − x) 2 (D) dx 1 (x − 1)2