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2025第八章
定积分的应用第二部分、题型解析
题型一：求函数的平均值(★)
解题思路——利用公式 f ( x ) =
a
b
f
b
(
−
x
a
) d x
计算.【例8.1】 函数 y =
1
x
−
2
x 2
在区间
1
2
,
2
3
上的平均值为 .题型二：求平面图形的面积(★★★)
解题思路：平面图形面积根据图形的不同类型，选择相应的计算方法
来计算。
类型 1 直角坐标系下求曲边梯形的面积 f ( x ) , x [ a , b ] 与 x 轴所围面积
b
S = | f (x) | dx.
a类型 2 参数方程型曲线求面积（仅数一、数二）若曲线方程为
x = x(t)
,且当
y = y(t)
x = a 时, t ; = 当 x = b 时,t = . 则该曲线在 x [a,b]内与
x 轴所围面积为
a
b
y ( x ) d x
x x ( t )
y ( t ) x ( t ) d t
=
.
类型 3 极坐标系下平面图形面积 由曲线= ()及射线=,= 围
1
成的曲边扇形的面积为S = 2()d.
2类型 4 两曲线所围图形面积
思路——设平面图形由曲线 y = f
1
( x ) 与 y = f
2
( x ) 所围成，则两曲线所
围面积计算如下：
1. 解两曲线的交点 A ( x
A
, y
A
) 和 B ( x
B
, y
B
) 的坐标.
2. 分析图形，确定切割方法，以不分块为妙.
3. 如果选用竖向切割，则 S =
x
x
A
B | f
1
( x ) − f
2
( x ) | d x . 如果选用横向切
割，需要把曲线中分别解出 x = ( y)与
1
x
2
( y ) = ，于是
S
y
y
A
B |
1
( y ) x
2
( y ) | d y = − .【例8.2】 曲线 y = − x 3 + x 2 + 2 x 与 x 轴所围成的图形的面积 A =
________.【例8.3】 求曲线 y 2 = 2 x 在点
1
2
, 1
处法线与曲线所围成图形的面积.【例8.4】 双纽线 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 所围成的区域面积为________.题型三：求旋转体的体积(★★★★★)
二、求旋转体的体积
1.求 f ( x ) 绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线 y = f ( x ) ， x = a,
x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为
V
a
b
f 2 ( x ) d x = .推广：由曲线 y = f ( x ) ，直线 x = a, x = b 及 y = y
0
所围成的图形绕
y = y
0
旋转一周所得的旋转体的体积为 V
a
b
[ f ( x ) y
0
] 2 d x = − .2. x =( y)绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线 x ( y ) = , 直线
y = c, y = d 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积
为 V
c
d
2 ( y ) d y = .3. y = f (x)绕 y 轴旋转所得体积 由曲线 y = f ( x ) ，直线 x = a ， x = b
及 x 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为
V 2
a
b
| x f ( x ) | d x = .推广：由曲线 y = f ( x ) ，直线 x = a， x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕
x = x
0
轴旋转一周所得旋转体的体积为 V 2
a
b
| ( x x
0
) f ( x ) | d x = − .解题思路：如果要求某区域绕 x 轴(或某水平线)、 y 轴(或某铅直线)的
体积，则
思路 1——如果该区域边界由一条曲线及 x 轴或 y 轴构成，则可用相应
公式直接计算.
思路 2——如果该区域边界由两条曲线所围成，则往往采取“大减
小”这种间接法，将两条曲线分别代入公式计算再相减.【例8.5】 设曲线 y s i n x 0 x
2
, y 1
=
= 及 x = 0所围平面图形为 D .
(I)求D绕直线 x
2
= 旋转一周所得体积 V
1
;(II)求 D 绕 x 轴旋转一周所得体积 V
2
.【例8.6】 设平面图形 D 由 x 2 + y 2 2 x 与 y x 围成，求图形 D 绕直线
y = −1及 x = −1旋转一周所成的旋转体的体积.题型四：求弧长（仅数学一、二要求）(★★)
解题思路——求弧长的题目一般比较基础，看清楚曲线类型，代入相
应公式计算即可.
( )
1.直角坐标系求弧长 设曲线方程为 y = f (x) a x b ，则弧长为
b
s = 1 + f 2(x)dx.
a
2.参数方程求弧长 设曲线方程
x
y
x
y
(
(
t
t
)
)
( t )
=
=
，则弧长
s x 2 ( t ) y 2 ( t ) d t
= + .
3. 极坐标求弧长 设曲线 ( ) =
( )
，则弧长为
s = 2() + 2()dt.
【例8.7】 曲线 y =
2
3
x
3
2 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为( ).
38 25
(A) (B) (C)
3 3
9 (D) 6【例8.8】 设曲线 L
t 2
x = 1 + udu
0
由 确定，则该曲线对应于0 t 1
2
t
y = 1 − udu
0
的弧长为 .【例8.9】 求心形线 r a ( 1 c o s ) = + 的全长，其中 a 0 是常数题型五：求旋转曲面的侧面积（仅数学一、二要求）(★★)
解题思路——曲面侧面积考的较少，一般代入相应公式计算即可.
设 f ( x ) ( 0 ) 在 [ a , b ] 上连续，则由曲线 y = f ( x ) ( a x b ) 绕 x 轴旋
转一周所得旋转体的侧面积为 S 2
a
b
f ( x ) 1 f 2 ( x ) d x = + .【例8.10】 设有曲线 y = x − 1 ，过原点作切线，求此曲线切线及 x 轴
围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．
