文档内容
2025第七章
定积分与反常积分第一节
定积分第二部分 题型分析
题型一、定积分的概念与性质(★★★)
相关知识点
b
一、定积分几何意义 f (x)dx是 x 轴
a
f ( x ) 及 x = a , x = b 之间的曲边梯
形面积代数和
二、 f ( x ) 在[a,b]上可积的充分条件
(1) 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 则 f (x)在 [ a , b ] 上可积.
(2) 设 f ( x ) 在[a,b]上有界 且只有有限个间断点 则 f ( x ) 在[a,b]上可
积.三、定积分的性质
性质 5 定积分比较定理
定理 1 如果在[a,b]上, f ( x ) g ( x ) 则
a
b
f ( x ) d x
a
b
g ( x ) d x
(
a b
)
.
推论 如果在区间[a,b]上， f ( x ) 0 则
a
b
f ( x ) d x 0
(
a b
)
.
定理 2 如果 [ c , d ] [ a , b ] ，且 f (x) 0，则
c
d
f ( x ) d x
a
b
f ( x ) d x .b b
性质 7 | f (x)dx | | f (x) | dx
a a
(
a b
)
.解题思路——这部分主要考察
1.定积分的定义；
2.定积分的几何意义；
3.定积分的性质，尤其是定积分大小的比较；
4.利用积分中值定理去积分号.【例7.1.1】 如图，曲线段的方程为 y = f ( x ) ，函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , a ] 上
有连续的导数，则定积分
0
a
x f ( x ) d x 等于( ).
(A)曲边梯形 ABOD 的面积
(B)梯形 ABOD 的面积
(C)曲边三角形 ACD 的面积
(D)三角形 ACD 的面积【例7.1.2】 设 I
2
4
s i n
x
x
d x , J
4
3
c o
x
s x
d x
=
−
−
= ，则下列正确的是( ).
(A) I J 0 (B) J I 0 (C) I 0 J (D) J 0 I【例7.1.3】 极限 ln i→ m
n
n + p
s i n
x
x
d x = .题型二：变限积分的概念与求导法则(★★★)
1.定义
2.变限积分的连续可导性
如果 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，则 ( x ) =
a
x
f ( t ) d t 在 [ a , b ] 上可导，并且
( x ) = f ( x ) .
如果 f ( x ) 在 [ a , b ] 存在间断点但可积，则(x)在 [ a , b ] 上连续.
注：①如果 f ( x ) 连续，则 ( x ) =
a
x
f ( t ) d t 为 f (x)的一个原函数.
② ( x ) =
a
x
f ( t ) d t 永远连续 YYLX.3.变限积分的求导法则 设 f ( x ) 连续，则
(1)
a
x
f ( t ) d t
= f ( x ) . (2)
b
x
f ( t ) d t
= − f ( x ) .
(3)
a
( x )
f ( t ) d t f [ ( x ) ] ( x )
= . (4)
b
( x )
f ( t ) d t f [ ( x ) ] ( x )
= − .
(x)
(5) 2 f (t)dt = f [ (x)](x) − f [(x)](x).
2 2 1 1
(x)
1
(x)
(6)对于 f (x,t)dt ，要先将被积函数中的
a
x 分离至积分外再求导.
解题思路——根据变限积分的性质与求导法则求解，属于常规问题.【例7.1.4】 设 f ( x ) 为已知连续函数， I = t
0
s
t f ( t x ) d x ，其中
s 0 , t 0 ，则 I 的值( ).
(A)依赖于 s 和 t (B)依赖于 s ， t ， x
(C)依赖于 t 和 x ，不依赖于 s (D)依赖于 s ，不依赖于 t【例7.1.5】 设 f ( x ) 是奇函数，除 x = 0 外处处连续， x = 0 是其第一类
间断点，则
0
x
f ( t ) d t 是( ).
(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数
(C)在 x = 0 间断的奇函数 (D)在 x = 0 间断的偶函数【例7.1.6】 设 F ( x ) =
0
x
2
(
x 2 − t
)
f ( x t ) d t , x 0 ,求, F ( x ) .题型三：常规定积分的计算(★★★★)
定积分相关计算方法：
1. 牛顿−−莱布尼茨公式 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 内连续， F ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 内
的任意一个原函数，则
a
b
f ( x ) d x = F ( x )
b
a
= F ( b ) − F ( a ) .
2. 定积分的凑微分法
a
b
f [ ( x ) ] ( x ) d x
a
b
f [ ( x ) ] d ( x ) F [ ( x ) ]
b
a
F [ ( b ) ] F [ ( a ) ] . = = = −b x=(t)
3. 定积分的换元积分法 f (x)dx f [(t)](t)dt , 其中
a
( ) a = ,
( ) b = .
不变限换元法：
a
b
f ( x ) d x
t = a + b − x
b
a
f ( a + b − t ) ( − d t ) =
a
b
f ( a + b − t ) d t =
a
b
f ( a + b − x ) d x .4.定积分的分部积分法
a
b
u v d x = [ u v ]
b
a
−
a
b
u v d x 或
a
b
u d v = [ u v ]
b
a
−
a
b
v d u ,
5.利用奇偶性简化计算定积分
(1) 当 f ( x ) 为奇函数时
−
a
a
f ( x ) d x = 0 ；
(2) 当 f ( x )
a a
为偶函数时 f (x)dx = 2 f (x)dx；
−a 0
(3) 当 f (x)非奇非偶时，
−
a
a
f ( x ) d x =
0
a
[ f ( x ) + f ( − x ) ] d x .6. 华莱士公式
I
n
0
2 s i n n x d x
0
2 c o s n x d x
n
n
n
n
1
1
n
n
n
n
3
2
3
2
4
5
3
4
2
3
1
2
1
2
,
,
n
n
= = =
−
−
−
−
−
−
当
当
为
为
正
正
奇
偶
数
数
.
7.
0
s i n n x d x 2
0
2 s i n n x d x
= ,
0
c o s n x d x
2
0
2 c o
0
s
,
n x d x
n
, n
=
为
为
奇
偶
.8.
0
x f ( s i n x ) d x
2 0
f ( s i n x ) d x
= .
9. I
n
0
2
s i n n x d x
0
2
c o s n x d x
4
0
2 s
0
i
,
n n x d x
n
, n
= = =
为
为
奇
偶
数
数
.10.设 f ( x ) 为周期为 T 的周期函数，则
a
a + n T
f ( x ) d x = n
0
T
f ( x ) d x = n
−
T
2
T
2
f ( x ) d x .解题思路：定积分的计算，主要有如下几种思路：
思路 1——牛顿-莱布尼兹公式计算定积分是主要方法.
思路 2——如果被积函数是规则图形，可利用定积分几何意义计算定
积分.
思路 3——如果积分区间是对称的，应优先考虑用对称区间的 3 个定
积分计算公式.
思路 4——如果被积函数含三角函数，应优先考虑用三角函数的定积
分公式计算.
思路 5——如果被积函数无原函数，可考虑用不变限换元法.1
3
【例7.1.7】 计算定积分 dx=________.
1 x 1 + x2【例7.1.8】 如图，曲线C 的方程为 y = f ( x ) ，点
(3,2)是它的一个拐点，直线 l
1
与 l
2
分别是曲线 C 在
点 ( 0 , 0 ) 与 ( 3 , 2 ) 处的切线，其交点为 ( 2 , 4 ) . 设函数
f ( x ) 具有三阶连续导数，计算定积分
0
3
( x 2 + x ) f ( x ) d x .【例7.1.9】 求积分
0
x 1 c o s 2 x d x
+ = _________.【例7.1.10】 计算
0
2
1 +
x
2
2 x − x 2 d x .【例7.1.11】 计算
6
3
x (
s i n
2
x
2 x )
d x
−
.dx
1
【例7.1.12】 计算定积分 .
−1 (1 + ex )(1 + x2 )【例7.1.13】 计算
0
1 0 0
1 s i n 2 x d x
+ .题型四、分段函数、绝对值函数定积分的计算(★★★)
解题思路——分段函数的定积分，务必要在分段点处拆开再计算. 含
绝对值的定积分要先去掉绝对值再计算.1 + x2, x 0
3
【例7.1.14】 设 f (x) = ，求 f (x − 2)dx.
ex , x 0 1
【例7.1.15】
0
x c o s 2 x c o s 4 x d x
− =________.题型五、含变限积分的定积分计算(★★)
解题思路：如果定积分的被积函数含有变限积分，则
思路 1——用分部积分法将变限部分当作u类函数求导.
思路 2——将定积分看成累次积分，交换积分次序再计算.sint
x
【例7.1.16】 设 f (x) = dt ，计算
0 − t 0
f ( x ) d x
.
