(18)-高数12、13-微分方程空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第九章 常微分方程第 1 节 一阶微分方程与 可降阶的微分方程第二部分、题型解析 题型一：一阶微分方程的求解(★★★) 解题思路——几种一阶微分方程都不难求解，属于基础题，将微分方 程化简，判断微分方程的类型，然后用相应的方法计算即可.1.可分离变量的微分方程 形如 d d y x = f ( x ) g ( y ) 称为可分离变量的微分方 程. 求解步骤： 第一步：分离 x 和 y，写成 g d ( y y ) = f ( x ) d x 的形式. ( ) ( ) 第二步：两端积分 g y dy =  f x dx . ( ) ( ) 第三步：求出通解G y = F x + C ，可以是显式通解也可以是隐式通 解.2.齐次方程 形如 d d y x = f  y x  称为齐次方程. 求解步骤： y 第一步：令u = , 即 x y = u x , 则 d d y x = u + x d d u x . y 第二步：将u = 及 x d d y x = u + x d d u x 代入原方程，化成可分离变量方程 f ( d u u ) − u = d x x . du dx 第三步：两端积分 =  ，得 f (u) − u x u = u ( x ) . 第四步：再用 y x 代替u，得通解 y = xu(x).3.一阶线性微分方程 形如 d d y x + P ( x ) y = Q ( x ) 叫做一阶线性微分方程. − P(x)dx  P(x)dx 可利用通解公式来求解 y = e [ Q(x)e dx + C].4. 伯努利方程(仅数一)形如 d d y x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n  0 , 1 ) ，其求解步 骤如下： 第一步：方程的两边同除 y n  得 y − n d d y x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) . 1−n 1 dy 1−n 第二步：凑微分得  + P(x) y = Q(x) 1 − n dx 第三步：换元令 z = y 1 − n  得一阶线性方程 d d z x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x )  dz 第四步：求 + (1 − n)P(x)z = (1 − n)Q(x)的通解z = z(x). dx 第五步：将z = y1−n 回代得到原方程的通解为 y1−n = z(x).【例9.1.1】 已知函数 y = y ( x ) 在任意点 x 处增量 y 1 y x 2 x   = +  + ， 且当  x → 0 时，是比  x 的高阶无穷小. y ( 0 )  = ，则 y ( 1 ) 等于( ). (A)2 (B) (C) e 4  (D) e 4  ( )  y + x2 + y2 dx − xdy = 0(x  0)  【例9.1.2】 求初值问题 的解.  y = 0  x=13 2 dy x − (2 − 3x ) y 【例9.1.3】 求解微分方程 = ， 3 dx x y x = 1 = 0 ．【例9.1.4】 求方程 y 3 d x + ( 2 x y 2 − 1 ) d y = 0 的通解.【例9.1.5】 微分方程 d d y x − 4 x y = x 2 y 的通解是 .题型二：可降阶类型的微分方程求解(仅数一、数二) (★) 解题思路——可降阶的微分方程考的较少，属于较基础的题目，掌握 相应求解的方法即可. (n) 1. y = f (x)型 积分 n 次即得 y ( x ) .( ) 2. y = f x, y 型(缺 y 型)，求解步骤如下： ( ) 第一步：设 y = p则 y = p，于是方程降阶成一阶方程 p = f x, p  第二步：求 p  = f ( x , p ) ( ) 的通解为 p = p x,C . 1 第三步：将 y  = p 代入 p = p ( x , C 1 ) 得 d d y x = p ( x , C 1 )  dy 第四步：求 = p(x,C )的解，从而得原方程的通解为 1 dx y =  p(x,C )dx + C  1 23. y   = f ( y , y  ) 型(缺 x 型)的微分方程，求解步骤如下： 第一步：设 y  = p  于是 y   = p  = d d p x = d d p y  d d y x = p d d p y ，于是原方程化为 p d d p y = f ( y , p ) . 第二步：求出方程 p d d p y = f ( y , p ) 的通解为 y  = p = p ( y , C 1 ) . 第三步：分离变量 ( d y y , C 1 ) d x  = ，求解该可分离变量的一阶微分方程. dy 第四步：解得原方程的通解为 = x + C  2 ( y,C ) 1【例9.1.6】 微分方程 x y   + 3 y  = 0 的通解为 ．【例9.1.7】 微分方程 y y   + y ' 2 = 0 满足初始条件 y | x = 0 = 1 ， y  | x = 0 = 1 2 的 特解是 ．第 2 节 高阶线性微分方程的求解题型一：线性微分方程解的性质与结构(★★★) 解题思路——根据线性微分方程的性质来进行求解. 二阶线性微分方程： y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = 0 ， y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) . 定理 1 如果 y 与 1 y 2 是齐次方程 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = 0 的两个解，那么 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 也是该方程的解 其中C , 1 C 2 是任意常数 如果 y y 2 1 = k , 称 y 1 和 y 2 线性相关; 如果 y y 2 1  k , 则称 y 1 , y 线性无关 2定理 2 如果 y 与 1 y 2 是 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = 0 两个线性无关的解 那么 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 即为该方程的通解 定理 3 设 y* 是 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) 的一个特解 且 Y 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0的通解 那么 y = Y + y* 是 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) 的通解定理 4 如果 y , y , , y 都是 1 2 l y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) 的解，那么 k 1 y 1 + k 2 y 2 + + k l y l 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0解的充分必要条件是 k + k + + k = 0；是 1 2 l y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) 解的充要条件是 k 1 + k 2 + + k l = 1 . 定理 5 如果 y 1 * 与 y 2 * 分别是 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f 1 ( x ) 与 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的两个解 那么 2 y 1 * + y 2 * 是方程 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 的特解【例9.2.1】 已知 y 1 , y 2 是微分方程 y  + P ( x ) y = 0 两个不同的特解，则 该方程的通解是( ). (A) y + C( y + y ) (B) 1 1 2 y 1 + C y 2 (C)C y + C y (D)C( y − y ) 1 1 2 2 1 2【例9.2.2】 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是 y   + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 的解， C 1 C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是( ). 2 (A)C y + C y + C y (B) 1 1 2 2 3 3 C 1 y 1 + C 2 y 2 − ( C 1 + C 2 ) y 3 C C (C) 1 y + 3C y + (1 − 1 − 3C ) y (D) 1 2 2 2 3 2 2 ( C 1 + C 2 ) y 1 − ( C 1 + C 2 ) y 2 + y 3【例9.2.3】 已知二阶线性微分方程 y   + P ( x ) y  + Q ( x ) y = f ( x ) 的三个 特解 y 1 = x , y 2 = x 2 , y 3 = e 3 x ，试求此方程满足 y(0) = 0, y(0) = 3的特 解．题型二：二阶常系数线性微分方程求解(★★★★) 一、二阶常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0的通解求法 第一步：写出特征方程 r 2 + p r + q = 0 . 第二步：复数域内求出特征方程的根 r 1 , r 2 . 第三步：根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 情形 1 如果r  r  则通解为 1 2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x  情形 2 如果 r 1 = r 2 = r  则通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e r x  情形 3 如果 r 1 , 2 i   =  时 则通解为 y = ex ( C cosx + C sinx ) 1 2 三、 n 阶常系数齐次线性 y(n) + p y(n−1) + p y(n−2) + + p y + p y = 0 n−1 n−2 1 0 求通解 第一步：写出特征方程rn + p rn−1 + p rn−2 + + p r + p = 0. n−1 n−2 1 0 第二步：复数域内求出特征方程的n个根 r 1 , r 2 , , r n  第三步：求出 n 个线性无关解 y 1 , y 2 , , y n 后，则方程通解为 C y + C y + + C y  1 1 2 2 n n四、二阶常系数非齐次线性微分方程 y   + p y  + q y = f ( x ) 的求通解 第一步：求对应的齐次方程 y + py + qy = 0的通解Y (x). 第二步：求一个 y   + p y  + q y = f ( x ) 的特解 y * ( x ) ： 1.用待定系数法将设 y * ( x ) 为一个与 f ( x ) 同类的函数. 2.观察 y * ( x ) 是否与 Y ( x ) 可合并，若不可合并，则 y * ( x ) 即为一个特 解；若可合并，应在 y * ( x ) 上多乘一个 x ；若仍冲突，应在 y * ( x ) 上多乘 一个 x2. 3.将 y * ( x ) 代入原方程，解出待定系数，即得原方程一个特解. 第三步： y + py + qy = f (x)通解即为 y = Y (x) + y*(x).解题思路——如果方程是常系数齐次线性微分方程，则根据特征方程 求出特征根，再根据特征根得到线性无关解，进而得到齐次通解；如 果方程是常系数非齐次线性微分方程，应该先解出齐次通解，再用待 定系数法求出一个非齐次的特解即得通解.【例9.2.4】 已知函数 y = y ( x ) 满足 y ' ' − 3 y ' + 2 y = 2 e x 且 l x i m→ 0 y ( x x ) = 1 ， 则 y ( x ) = ______.【例9.2.5】 二阶常系数非齐次微分方程 y   − 4 y  + 4 y = 2 e 2 x 的通解为 y =________.【例9.2.6】 求微分方程 y + a2 y = sin x的通解,其中常数 a  0 .【例9.2.7】 微分方程 y   − 4 y  + 8 y = e 2 x c o s 2 x 的特解可设为( ). (A) Ae2x + e2x(Bcos2x + C sin2x) (B) A x e 2 x + e 2 x ( B c o s 2 x + C s i n 2 x ) (C) Ae2x + xe2x(Bcos2x + C sin2x) (D) Axe2x + e2x(Bcos2x + C sin2x)【例9.2.8】 三阶常系数线性齐次微分方程 y    − 2 y   + y  − 2 y = 0 的通解 为 y =________.题型三：已知解，反求微分方程(★★★) 解题思路：如果题目已知微分方程的某些解，反求微分方程，则 思路 1——如果原方程是常系数线性微分方程，则由已知的解先构造 出齐次的线性无关解，然后根据齐次解还原特征根及齐次微分方程， 再代入一个非齐次解即得原方程.思路 2——如果方程是 n 阶的非常系数线性微分方程，且已知通解 y ， 则应通过定义反推微分方程. 第一步 求出 y  , y   , , y ( n ) . 第二步 消掉 y  , y   , , y ( n ) 中的 C 1 , C 2 , , C n 得到 F ( x , y , y  , , y ( n ) ) = 0 即 为原微分方程.【例9.2.9】 已知 y 1 = c o s 2 x − 1 4 x c o s 2 x , y 2 = s i n 2 x − 1 4 x c o s 2 x 是二阶 常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该方程是( ). (A) y − 4 y = sin2x (B) y   + 4 y = s i n 2 x (C) y   − 4 y = 1 4 s i n 2 x (D) y   + 4 y = 1 4 s i n 2 x【例9.2.10】 已知某微分方程的通解是 y = C 1 x + C 2 x 2 ，求微分方程.题型四：通过变量代换，将复杂微分方程化为易求型微分方程(★★★) 解题思路——大纲内只要求会解几种简单的微分方程，但也有题目会 出现超纲的微分方程，此时往往题目会提示通过某种变量代换的方 法，将原方程中某些变量换掉之后，转化成可求的微分方程来求解.2 d y dy 【例9.2.11】 作变量替换 x = lnt,(t  0)后，方程 − + e 2x y = 0可 2 dx dx 化简为_________.【例9.2.12】 利用代换 y = c o u s x 将方程 y   c o s x − 2 y  s i n x + 3 y c o s x = e x 化简,并求出原方程的通解.第 3 节 微分方程的应用题型一：积分方程(★★) 解题思路——含未知函数的变限积分，未知函数本身及 x 的方程，称 为积分方程. 求解方法如下： 第一步：先令上下限相等，看是否有初始条件存在. 第二步：如果变限积分中既含t 又含 x 先将非积分变量 x 分离出积分之 外，然后方程两边同时求导，直到变限积分消失，于是积分方程就化 成微分方程. 第三步：求解微分方程，并代入初值条件，得到 f ( x ) .【例9.3.1】 设 f ( x ) = x s i n x −  0 x ( x − t ) f ( t ) d t ，其中 f ( x ) 连续，求 f ( x ) .题型二：微分方程的几何应用(★★★) 解题思路——根据题目给定的 f (x)条件，以及导数、定积分的几何意 义可得到一个关于 f (x)的微分方程或者积分方程，则可求解出 f (x).【例9.3.2】 设曲线 y = f ( x ) ，其中 f ( x ) 是可导函数，且 f ( x )  0 ，已 知曲线 y = f (x)与直线 y = 0, x = 1及 x = t(t  1)所围成的曲线梯形绕 x 轴 旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t  倍，求该曲线的 方程．【例9.3.3】 设函数 f ( x ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x 0  I ，曲线 y = f (x)在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线与直线 x = x 0 及 x 轴所围 成区域的面积恒为 4，且 f ( 0 ) = 2 , 求 f ( x ) 的表达式.