(3.3)-高数基础精讲简版答案_08.2026考研数学高途王喆全程班_26考研数学（一、三）优学领航全程班_{2}--资料_{3}-基础精讲简版答案

第一章 函数及其特性
第 1节 函数与复合函数
例1.1.1
答案：[−2,−1)(3,4]
详细讲解—见高数1 函数与复合函数
例1.1.2
1 1
答案：(1)当a> 时，D=∅；（2）当0<a≤ 时，D=[ a,1−a ] .
2 2
详细讲解—见高数1 函数与复合函数
例1.1.3
 2x2 , x<−1,

答案： f  g(x)  = 2x2, −1≤x≤0,

2sinx, x>0.

详细讲解—见高数1 函数与复合函数
例1.1.4
答案： f (x)=ln(x−1)
详细讲解—见高数1 函数与复合函数
例1.1.5
x
答案： f (x)=
x2 −2
详细讲解—见高数1 函数与复合函数
第 2 节 函数的四个特性 1
例1.2.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数2 函数的四个特性1
例1.2.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数2 函数的四个特性1
例1.2.3
答案： 单调递减
详细讲解—见高数2 函数的四个特性1第 3节 函数的四个特性 2
例1.3.1
答案： 奇函数
详细讲解—见高数3 函数的四个特性2
例1.3.2
答案： 6π
详细讲解—见高数3 函数的四个特性2
例1.3.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数3 函数的四个特性2
例1.3.4
答案： 选（D）
详细讲解—见高数3 函数的四个特性2第二章 极限与连续
第 1节 极限的定义与性质 1
例2.1.1
答案： 选（D）
详细讲解—见高数4 极限的定义与性质1
例2.1.2
答案： 选（D）
详细讲解—见高数4 极限的定义与性质1
例2.1.3
答案： lim f (x)极限存在且为−1
x→0
详细讲解—见高数4 极限的定义与性质1
例2.1.4
20
答案： f (x)=2x2 − x+3
3
详细讲解—见高数4 极限的定义与性质1
第 2节 极限的定义与性质 2
例2.2.1
答案： 1
详细讲解—见高数5 极限的定义与性质2
例2.2.2
答案： 选（D）
详细讲解—见高数5 极限的定义与性质2
例2.2.3
答案： 选（C）
详细讲解—见高数5 极限的定义与性质2
第 3 节 无穷小及其阶
例2.3.1
答案：2
详细讲解—见高数6 无穷小及其阶
例2.3.2
答案： 0
详细讲解—见高数6 无穷小及其阶例2.3.3
答案： a=−5,b=5
详细讲解—见高数6 无穷小及其阶
例2.3.4
答案： 2阶
详细讲解—见高数6 无穷小及其阶
例2.3.5
答案： 选（D）
详细讲解—见高数6 无穷小及其阶
第 4 节 无穷大及其阶
例2.4.1
答案： 不是无穷大
详细讲解—见高数7 无穷大及其阶
例2.4.2
答案： 选（D）
详细讲解—见高数7 无穷大及其阶
例2.4.3
答案： x→+∞时，ex >>xn >>lnx
详细讲解—见高数7 无穷大及其阶
第 5节 函数极限的计算 1
例2.5.1
2
答案： −
6
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.2
答案： 1
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.3
3
答案：
2
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.4
1
答案：
2a
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.5
答案： 6详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.6
答案： e
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.7
答案： 0
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.8
1
答案：
3
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.9
4
答案： −
π2
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
例2.5.10
答案： 3
详细讲解—见高数8 函数极限的计算1
第 6 节 函数极限的计算 2
例2.6.1
答案： 2
详细讲解—见高数9 函数极限的计算2
例2.6.2
3
答案： e
2
详细讲解—见高数9 函数极限的计算2
例2.6.3
1
答案： −
6
详细讲解—见高数9 函数极限的计算2
例2.6.4
1
答案：
4
详细讲解—见高数9 函数极限的计算2
例2.6.5
5
答案： −
6
详细讲解—见高数9 函数极限的计算2
第 7节 函数极限的计算 3
例2.7.1
答案： 选（C）详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.2
答案： 1
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.3
1
答案：
2
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.4
答案： 58
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.5
5
答案： 4
13
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.6
答案： e
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.7
1
答案： −
6
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.8
答案： e
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.9
答案： e
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.10
答案： ea−b
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
例2.7.11
1
−
答案： e 2
详细讲解—见高数10 函数极限的计算3
第 8节 数列极限的计算 1
例2.8.1
答案： 0详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
例2.8.2
2
−
答案： e π
详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
例2.8.3
1
答案：
2
详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
例2.8.4
答案： a
详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
例2.8.5
答案： 1
详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
例2.8.6
答案： 证明略
详细讲解—见高数11 数列极限的计算1
第 9节 数列极限的计算 2
例2.9.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数12 数列极限的计算2
例2.9.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数12 数列极限的计算2
例2.9.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数12 数列极限的计算2
第 10 节 曲线的渐近线
例2.10.1
答案： 选（C）
详细讲解—见高数13 曲线的渐近线
例2.10.2
答案： 选（B）
详细讲解—见高数13 曲线的渐近线
例2.10.3
答案： 选（D）
详细讲解—见高数13 曲线的渐近线
第 11节 函数的连续性与间断点 1
例2.11.1
答案： a=0
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1例2.11.2
答案： 选（A）
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1
例2.11.3
答案： 选（B）
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1
例2.11.4
答案： a=−1时， f (x)在x=0处连续；a=−2时，x=0是可去间断点
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1
例2.11.5
答案： x=−1为第二类无穷间断点；x=0为第一类跳跃间断点；x=1为第一类可去间断点
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1
例2.11.6
答案： 选（D）
详细讲解—见高数14 函数的连续性与间断点1
第 12节 函数的连续性与间断点 2
例2.12.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数15 函数的连续性与间断点2
例2.12.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数15 函数的连续性与间断点2
例2.12.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数15 函数的连续性与间断点2第三章 一元函数微分学的概念与计算
第 1 节 导数的定义 1
例3.1.1
答案： 选（B）
详细讲解—见高数16 导数的定义1
例3.1.2
答案： 选（C）
详细讲解—见高数16 导数的定义1
例3.1.3
答案： 选（B）
详细讲解—见高数16 导数的定义1
例3.1.4
f′(a)
答案： （1） （2）2f′(a)
2
详细讲解—见高数16 导数的定义1
例3.1.5
答案： Acosb
详细讲解—见高数16 导数的定义1
例3.1.6
答案： 选（B）
详细讲解—见高数16 导数的定义1
第 2 节 导数的定义 2
例3.2.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数17 导数的定义2
例3.2.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数17 导数的定义2
例3.2.3
1
答案： −
2
详细讲解—见高数17 导数的定义2
例3.2.4
答案： 选（A）
详细讲解—见高数17 导数的定义2
例3.2.5x 15
答案： 斜率k =−4；切线方程：y=−4x+4；法线方程：y= +
4 8
详细讲解—见高数17 导数的定义2
例3.2.6
答案： y=2x
详细讲解—见高数17 导数的定义2
第 3节 微分的定义
例3.3.1
答案： 选（C）
详细讲解—见高数18 微分的定义
例3.3.2
答案： 选（B）
详细讲解—见高数18 微分的定义
例3.3.3
答案： 选（B）
详细讲解—见高数18 微分的定义
例3.3.4
答案： 选（D）
详细讲解—见高数18 微分的定义
例3.3.5
答案： λ≤0；λ>0；λ>1；λ>2
详细讲解—见高数18 微分的定义
第 4 节 导数的计算 1
例3.4.1
答案： y′=tanx+xsec2 x+csc2 x
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.3
答案： y′=cotx
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.4
1
答案：
x
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.5
答案： y′=−esin2(1−x)⋅sin2(1−x)
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.6 ( ) 1
答案： y′= f′ ln x+ a+x2 ⋅
 
a+x2
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.7
答案： 1
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.8
x+ y
答案： y′=
x− y
详细讲解—见高数19 导数的计算1
例3.4.9
答案： − 2
详细讲解—见高数19 导数的计算1
第 5 节 导数的计算 2
例3.5.1
dx 1 1
答案： = 或
dy cosx 1− y2
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.2
π 2 π 4
答案： g′  = ；g′′  =
4 3 4 9
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.3
 sinx
答案： y′=xsinx cosxlnx+ 
 x 
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.4
1 1 1 1 1 
(x−1)(x−2)
答案： y′=  + − − 
2x−1 x−2 x−3 x−4 (x−3)(x−4)
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.5
2n⋅(−1)n−1⋅(n−1)!
答案： y (n) =
(2x+3)n详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.6
 nπ
答案： y (n) =4n−1⋅cos4x+ 
 2 
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.7
答案： y (20) = ( x2 +20x+95 ) ⋅220⋅e2x
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.8
(−1)n−3⋅n!
答案： f (n)(0)=
n−2
详细讲解—见高数20 导数的计算2
例3.5.9
答案： f′′′(0)=0
详细讲解—见高数20 导数的计算2第四章 微分中值定理
第 1节 费马引理与罗尔定理 1
例4.1.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数21 费马引理与罗尔定理1
例4.1.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数21 费马引理与罗尔定理1
例4.1.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数21 费马引理与罗尔定理1
例4.1.4
答案： 证明略
详细讲解—见高数21 费马引理与罗尔定理1
第 2节 费马引理与罗尔定理 2
例4.2.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数22 费马引理与罗尔定理2
例4.2.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数22 费马引理与罗尔定理2
例4.2.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数22 费马引理与罗尔定理2
例4.2.4
答案： 证明略
详细讲解—见高数22 费马引理与罗尔定理2
第 3节 拉格朗日中值定理与柯西中值定理 1
例4.3.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数23 拉格朗日中值定理与柯西中值定理1
例4.3.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数23 拉格朗日中值定理与柯西中值定理1
例4.3.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数23 拉格朗日中值定理与柯西中值定理1
例4.3.4
答案： 证明略
详细讲解—见高数23 拉格朗日中值定理与柯西中值定理1
例4.3.5
答案： 证明略详细讲解—见高数23 拉格朗日中值定理与柯西中值定理1
第 4节 拉格朗日中值定理与柯西中值定理 2
例4.4.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数24 拉格朗日中值定理与柯西中值定理2
例4.4.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数24 拉格朗日中值定理与柯西中值定理2
例4.4.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数24 拉格朗日中值定理与柯西中值定理2
第 5节 泰勒公式与麦克劳林展开式 1
例4.5.1
xn
答案： ex =1+x++ +o(xn)
n!
详细讲解—见高数25 泰勒公式与麦克劳林展开式1
例4.5.2
答案： sinx=x−
x3
++(−1)n
x2n+1
+o ( x2m+2)
3! (2n+1)!
详细讲解—见高数25 泰勒公式与麦克劳林展开式1
例4.5.3
答案： ln(1.1)≈0.095
详细讲解—见高数25 泰勒公式与麦克劳林展开式1
例4.5.4
x−2
(−1)n−1(x−2)n
答案： lnx=ln2+ ++ +o(x−2)n
2 n⋅2n
详细讲解—见高数25 泰勒公式与麦克劳林展开式1
第 6节 泰勒公式与麦克劳林展开式 2
例4.6.1
7
答案：
12
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2
例4.6.2
1
答案： −
12
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2
例4.6.3
答案： 选（A）
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2
例4.6.4(−1)n−3⋅n!
答案：
n−2
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2
例4.6.5
答案： f′′′(0)=0, f (4)(0)=24
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2
例4.6.6
答案： 证明略
详细讲解—见高数26 泰勒公式与麦克劳林展开式2第五章 导数的应用
第 1节 用导数判断函数的单调性与求极值、最值 1
例5.1.1
 2a 2a 
答案： 在区间 −∞,  和(a,+∞)单调递增，在区间  ,a 单调递减
 3   3 
详细讲解—见高数27 用导数判断函数的单调性与求极值、最值1
例5.1.2
答案： 若n为正奇数， f (x)在(−∞,n)上单调递增，在(n,+∞)上单调递减
若n为正偶数， f (x)在(−∞,0)和(n,+∞)上单调递减，在(0,n)上单调递増
详细讲解—见高数27 用导数判断函数的单调性与求极值、最值1
例5.1.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数27 用导数判断函数的单调性与求极值、最值1
第 2节 用导数判断函数的单调性与求极值、最值 2
例5.2.1
 1  1
答案： y− =− 为极小值
 ln2 1
2ln2 ⋅ln2
详细讲解—见高数28 用导数判断函数的单调性与求极值、最值2
例5.2.2
答案： f (−1)=0为极大值； f (1)=−33 4为极小值
详细讲解—见高数28 用导数判断函数的单调性与求极值、最值2
例5.2.3
 π 2kπ+ π 2  5  2kπ+ 5π 2
答案： y2kπ+ =e 4 ⋅ 为极大值；y2kπ+ π=−e 4 ⋅ 为极小值
 4 2  4  2
详细讲解—见高数28 用导数判断函数的单调性与求极值、最值2
例5.2.4
答案： [7,142)
详细讲解—见高数28 用导数判断函数的单调性与求极值、最值2
例5.2.5 n  mnnn
答案： f  =
m+n (m+n)m+n
详细讲解—见高数28 用导数判断函数的单调性与求极值、最值2
第 3节 用导数证明不等式
例5.3.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数29 用导数证明不等式
例5.3.2
答案： 证明略
详细讲解—见高数29 用导数证明不等式
例5.3.3
答案： 证明略
详细讲解—见高数29 用导数证明不等式
例5.3.4
答案： 证明略
详细讲解—见高数29 用导数证明不等式
第 4节 求方程根的个数
例5.4.1
答案： 证明略
详细讲解—见高数30 求方程根的个数
例5.4.2
答案： 2个
详细讲解—见高数30 求方程根的个数
例5.4.3
答案： 当k <4时，无交点；当k =4时，有1个交点；当k >4时，有两个交点
详细讲解—见高数30 求方程根的个数
例5.4.4
答案： 当a>e−1时，无实根；当a=e−1时，有1个实根；当a<e−1时，有2个实根
详细讲解—见高数30 求方程根的个数
第 5节 用导数判断曲线的凹凸性
例5.5.1
答案： y= f (x)在(−∞,−1)凸，在(−1,+∞)凹，拐点为(−1，−6)详细讲解—见高数31 用导数判断曲线的凹凸性
例5.5.2
答案： y= f (x)在 ( − 3,0 ) 及 ( 3,+∞ ) 凹，在 ( −∞,− 3 ) 及 ( 0, 3 ) 凸，
 3  3
拐点为− 3，− 3e − 2，(0,0)， 3, 3e − 2
   
详细讲解—见高数31 用导数判断曲线的凹凸性
例5.5.3
答案： 选（D）
详细讲解—见高数31 用导数判断曲线的凹凸性
第 6 节 曲率与曲率半径（仅数一、数二考）
例5.6.1
1
答案：
r
详细讲解—见高数32 曲率与曲率半径
例5.6.2
1
答案： k =2;R=
2
详细讲解—见高数32 曲率与曲率半径
例5.6.3
答案： 2
详细讲解—见高数32 曲率与曲率半径
例5.6.4
b a2
答案： k = ;R=
a2 b
详细讲解—见高数32 曲率与曲率半径第六章 不定积分
第 1节 不定积分的概念与性质
例6.1.1
答案： 选（B）
详细讲解—数一、数二见高数33 不定积分的概念与性质
数三见高数32 不定积分的概念与性质
例6.1.2
答案： 选（D）
详细讲解—数一、数二见高数33 不定积分的概念与性质
数三见高数32 不定积分的概念与性质
例6.1.3
答案： 选（C）
详细讲解—数一、数二见高数33 不定积分的概念与性质
数三见高数32 不定积分的概念与性质
例6.1.4
答案： 选（D）
详细讲解—数一、数二见高数33 不定积分的概念与性质
数三见高数32 不定积分的概念与性质
例6.1.5
 −cosx+C , x≥0，
答案： ∫ f (x)dx= 1
x−sinx−1+C , x<0
1
详细讲解—数一、数二见高数33 不定积分的概念与性质
数三见高数32 不定积分的概念与性质
第 2节 基本积分公式与不定积分的性质
例6.2.1
−
1 (3e)x
答案： （1）−3x 3 +C；（2） +C；（3）2arcsinx+C
ln(3e)
详细讲解—数一、数二见高数34 基本积分公式与不定积分的性质
数三见高数33 基本积分公式与不定积分的性质
例6.2.2
答案： −sinx+C x+C
1 2详细讲解—数一、数二见高数34 基本积分公式与不定积分的性质
数三见高数33 基本积分公式与不定积分的性质
例6.2.3
1 1 x 1 1 x
答案： （1） x2 −3x+3ln x + +C ；（2） + sinx+C；（3） tanx+ +C；
2 x 2 2 2 2
x
2
 
3
（4）2x−5 +C；（5）ex +x+C；（6）x−arctanx+C
2
ln
3
详细讲解—数一、数二见高数34 基本积分公式与不定积分的性质
数三见高数33 基本积分公式与不定积分的性质
第 3 节 凑微分法
例6.3.1
答案： ex2 +C
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.2
1
答案： ln 3+2x +C
2
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.3
1 2
答案： − (5−3x) 3 +C
2
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.4
答案： −ln cosx +C
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.5
1 x
答案： arctan +C
a a
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法数三见高数34 凑微分法
例6.3.6
1 x−a
答案： ln +C
2a x+a
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.7
1
答案： ln1+2lnx +C
2
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.8
2
答案： e3 x +C
3
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.9
1
答案： cos3x−cosx+C
3
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.10
x 1
答案： + sin2x+C
2 4
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.11
sinx
答案： ln +C
1+sinx
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.12
答案： −ln cos 1+x2 +C
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法数三见高数34 凑微分法
例6.3.13
答案： arctanex +C
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.14
1  3 3
答案：  (3+2x) 2 −(2x−1) 2 +C
12 
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
例6.3.15
1
答案： − +C
xlnx
详细讲解—数一、数二见高数35 凑微分法
数三见高数34 凑微分法
第 4节 换元积分法
例6.4.1
3 2 1 1
答案： (x+2) 3 −3(x+2) 3 +3ln1+(x+2) 3 +C
2
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.2
( ) x+1
答案： −2ln x+1− x−1 −2arctan +C
x−1
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.3
答案： 66 x −6arctan6 x +C
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.4
1  2x 
答案： arctan +C
 
2  1−x2 
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法例6.4.5
x
答案： +C
a2 a2 +x2
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.6
3  3
答案： x≥3时， x2 −9−3arccos +C；x≤3时， x2 −9−3arccos− +C
x  x
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.7
9 x+2 x+2
答案： arcsin + 5−4x−x2 +C
2 3 2
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
例6.4.8
1 1 1
答案： − + −arctan +C
3x3 x x
详细讲解—数一、数二见高数36 换元积分法
数三见高数35 换元积分法
第 5节 分部积分法
例6.5.1
答案： x2ex −2xex +2ex +C
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.2
x2 1
答案： lnx− x2 +C
2 4
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.3
答案： xarccosx− 1−x2 +C
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.4答案： 1 x3arctanx− x2 + 1 ln ( 1+x2) +C
3 6 6
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.5
exsinx−excosx
答案： +C
2
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.6
答案： 1( secxtanx+ln secx+tanx )+C
2
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.7
x2
答案： xtanx+ln cosx − +C
2
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
例6.5.8
lnx 1 x2
答案： − + ln +C
2 ( 1+x2) 4 1+x2
详细讲解—数一、数二见高数37 分部积分法
数三见高数36 分部积分法
第 6 节 有理函数的积分法
例6.6.1
x3 3x2
答案： − +9x−27ln x+3 +C
3 2
详细讲解—数一、数二见高数38 有理函数的积分法
数三见高数37 有理函数的积分法
例6.6.2答案： x2 −x− 1 ln ( x2 +1 ) +2arctanx+C
2 2
详细讲解—数一、数二见高数38 有理函数的积分法
数三见高数37 有理函数的积分法
例6.6.3
x 1
答案： ln − +C
x−1 x−1
详细讲解—数一、数二见高数38 有理函数的积分法
数三见高数37 有理函数的积分法
例6.6.4
答案： 2ln x−1− 1 ln ( x2 −x+1 ) + 5 arctan 2x−1 +C
2 3 3
详细讲解—数一、数二见高数38 有理函数的积分法
数三见高数37 有理函数的积分法
例6.6.5
x3 x2
答案： + +x+8ln x −4ln x+1−3ln x−1+C
3 2
详细讲解—数一、数二见高数38 有理函数的积分法
数三见高数37 有理函数的积分法
第 7节 三角函数有理式的积分
例6.7.1
1 1
答案： − cos5x+ cos7 x+C
5 7
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.2
3 1 1
答案： x+ sin2x+ sin4x+C
8 4 32
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.3
1 1
答案： sin8x+ sin2x+C
16 4
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分例6.7.4
1 2 1
答案： sec7 x− sec5x+ sec3x+C
7 5 3
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.5
1
答案： ln csc2x−cot2x − csc2 x+C
2
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.6
1  π  π
答案： ln cscx+ −cotx+  +C
2  4  4
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.7
1 ( )
答案： arctan 2tanx +C
2
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.8
答案： x+ln 5cosx+2sinx +C
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.9
x
2tan +1
答案： 2 arctan 2 +C
3 3
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分
数三见高数38 三角函数有理式的积分
例6.7.10
1 x 1 x x
答案： ln tan + tan2 +tan +C
2 2 4 2 2
详细讲解—数一、数二见高数39 三角函数有理式的积分数三见高数38 三角函数有理式的积分第七章 定积分与反常积分
第 1 节 定积分的概念
例7.1.1
π
答案：
2
详细讲解—数一、数二见高数40 定积分的概念
数三见高数39 定积分的概念
例7.1.2
1
答案：
p+1
详细讲解—数一、数二见高数40 定积分的概念
数三见高数39 定积分的概念
例7.1.3
π
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数40 定积分的概念
数三见高数39 定积分的概念
例7.1.4
π
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数40 定积分的概念
数三见高数39 定积分的概念
例7.1.5
答案： 1
详细讲解—数一、数二见高数40 定积分的概念
数三见高数39 定积分的概念
第 2 节 定积分的性质
例7.2.1
π π
答案： ∫4tanxdx>∫4( tanx )2 dx
0 0
详细讲解—数一、数二见高数41 定积分的性质
数三见高数40 定积分的性质例7.2.2
答案： 选B
详细讲解—数一、数二见高数41 定积分的性质
数三见高数40 定积分的性质
例7.2.3
答案： 选B
详细讲解—数一、数二见高数41 定积分的性质
数三见高数40 定积分的性质
例7.2.4
答案： 证明略
详细讲解—数一、数二见高数41 定积分的性质
数三见高数40 定积分的性质
第 3 节 定积分的计算 1
例7.3.1
π
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1
例7.3.2
22
答案：
3
详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1
例7.3.3
1  e2+1−1 2−1 
答案： ln −ln 
2

 e2+1+1 2+1


详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1
例7.3.4
1
答案： ln2−
2
详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1例7.3.5
答案： 1( e π−2 )
5
详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1
例7.3.6
答案： 0
详细讲解—数一、数二见高数42 定积分的计算1
数三见高数41 定积分的计算1
第 4 节 定积分的计算 2
例7.4.1
答案： 证明略
详细讲解—数一、数二见高数43 定积分的计算2
数三见高数42 定积分的计算2
例7.4.2
答案： 证明略
详细讲解—数一、数二见高数43 定积分的计算2
数三见高数42 定积分的计算2
例7.4.3
答案： 证明略
详细讲解—数一、数二见高数43 定积分的计算2
数三见高数42 定积分的计算2
例7.4.4
π
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数43 定积分的计算2
数三见高数42 定积分的计算2
第 5 节 定积分的计算 3
例7.5.1
π3
答案：
96
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
例7.5.22 3
答案： π−2ln2
3
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
例7.5.3
答案：1
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
例7.5.4
1 π π π 2 1
答案：I = −I ；∫4tan2 xdx=1− ；∫4tan5 xdx=−ln − .
n n−1 n−2 0 4 0 2 4
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
例7.5.5
π
答案：
8
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
例7.5.6
π
答案：
2
详细讲解—数一、数二见高数44 定积分的计算3
数三见高数43 定积分的计算3
第 6 节 定积分的计算 4
例7.6.1
π2
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
例7.6.2
答案：5π
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
例7.6.3
答案：200 2
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
例7.6.4答案：20
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
例7.6.5
1 1 1
答案：tan − e−4 +
2 2 2
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
例7.6.6
17
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数45 定积分的计算4
数三见高数44 定积分的计算4
第 7 节 变限积分及其求导法则
例7.7.1
答案：选C
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.2
答案：选A
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.3
答案：∫
x2
et2+tdt+x
(
ex4+x2 ⋅2x−ex6+x3 ⋅3x2
)
x3
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.4
答案：∫ x f ( u ) du
0
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.5
答案：证明略
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.6
e−1 1 1
答案：（1） ；（2）− ；（3）
2 6 4
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则例7.7.7
1
答案：
2n
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
例7.7.8
答案：2
详细讲解—数一、数二见高数46 变限积分及其求导法则
数三见高数45 变限积分及其求导法则
第 8节 反常积分 1
例7.8.1
π
答案：
6
详细讲解—数一、数二见高数47 反常积分1
数三见高数46 反常积分1
例7.8.2
π 1 1
答案： − ln
4 2 2
详细讲解—数一、数二见高数47 反常积分1
数三见高数46 反常积分1
例7.8.3
答案：收敛
详细讲解—数一、数二见高数47 反常积分1
数三见高数46 反常积分1
例7.8.4
答案：收敛
详细讲解—数一、数二见高数47 反常积分1
数三见高数46 反常积分1
例7.8.5
答案：收敛
详细讲解—数一、数二见高数47 反常积分1
数三见高数46 反常积分1
第 9节 反常积分 2
例7.9.1
答案： 选B
详细讲解—数一、数二见高数48 反常积分2
数三见高数47 反常积分2
例7.9.2
8
答案：
3详细讲解—数一、数二见高数48 反常积分2
数三见高数47 反常积分2
例7.9.3
π
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数48 反常积分2
数三见高数47 反常积分2
例7.9.4
答案： 收敛
详细讲解—数一、数二见高数48 反常积分2
数三见高数47 反常积分2
例7.9.5
答案：发散
详细讲解—数一、数二见高数48 反常积分2
数三见高数47 反常积分2第八章 定积分的几何应用
第 1节 求平面图形的面积
例8.1.1
答案：2
详细讲解—数一、数二见高数49 求平面图形的面积
数三见高数48 求平面图形的面积
例8.1.2
答案：18
详细讲解—数一、数二见高数49 求平面图形的面积
数三见高数48 求平面图形的面积
例8.1.3
答案：4ln2
详细讲解—数一、数二见高数49 求平面图形的面积
数三见高数48 求平面图形的面积
例8.1.4
答案：3πa2
详细讲解—数一、数二见高数49 求平面图形的面积
数三见高数48 求平面图形的面积
例8.1.5
3
答案： πa2
2
详细讲解—数一、数二见高数49 求平面图形的面积
数三见高数48 求平面图形的面积
第 2 节 求旋转体体积
例8.2.1
答案：7 7
详细讲解—数一、数二见高数50 求旋转体体积
数三见高数49 求旋转体体积
例8.2.2
2 ( )
答案： π e2 −1
3
详细讲解—数一、数二见高数50 求旋转体体积
数三见高数49 求旋转体体积例8.2.3
44 4 7
答案： V = π；V =  2−  π
x 15 y 3 6
详细讲解—数一、数二见高数50 求旋转体体积
数三见高数49 求旋转体体积
例8.2.4
答案： 2π2a2b
详细讲解—数一、数二见高数50 求旋转体体积
数三见高数49 求旋转体体积
第 3 节 求弧长与旋转体侧面积（仅数一、数二考）
例8.3.1
e2 +1
答案：
4
详细讲解—数一、数二见高数51 求弧长与旋转体侧面积
例8.3.2
答案： 8a
详细讲解—数一、数二见高数51 求弧长与旋转体侧面积
例8.3.3
答案： 2 ( eπ−1 )
详细讲解—数一、数二见高数51 求弧长与旋转体侧面积
例8.3.4
8 ( )
答案： π 2 2−1
3
详细讲解—数一、数二见高数51 求弧长与旋转体侧面积第九章 常微分方程
第 1节 微分方程的基本概念
例9.1.1
 π2 
答案： y =x2 − ⋅sinx
 4 
详细讲解—数一、数二见高数52 微分方程的基本概念
数三见高数50 微分方程的基本概念
例9.1.2
答案：选A
详细讲解—数一、数二见高数52 微分方程的基本概念
数三见高数50 微分方程的基本概念
例9.1.3
答案： 选C
详细讲解—数一、数二见高数52 微分方程的基本概念
数三见高数50 微分方程的基本概念
第 2节 一阶微分方程的求解
例9.2.1
1 
答案： y =tan x3 +C
3 
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.2
答案： y =eC 1 x
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.3
答案： y2 =C ( x−1 )2 +1
1
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.4
y
答案： ex =C y
1
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.5
( )
答案： y = xarcsin ln x +C
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.6
答案： y = x ( −e−x +C )
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.7
答案： y =e−sinx( x+1 )
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.8
答案： y = x
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
例9.2.9
1
答案： y =
 1 
x − ln2 x+C
 2 
详细讲解—数一、数二见高数53 一阶微分方程的求解
数三见高数51 一阶微分方程的求解
第 3节 可降阶的高阶微分方程（仅数一、数二考）
例9.3.1
1 C
答案： y = e2x +sinx+ 1 x2 +C x+C
8 2 2 3
详细讲解—数一、数二见高数54 可降阶的高阶微分方程
例9.3.2
2 3 1
答案： y = x2 +
3 3
详细讲解—数一、数二见高数54 可降阶的高阶微分方程
例9.3.3
答案： y =C ⋅eC 1 x +1
3
详细讲解—数一、数二见高数54 可降阶的高阶微分方程
例9.3.4( )
答案： y =arcsin C ex −C
3 1
详细讲解—数一、数二见高数54 可降阶的高阶微分方程
第 4节 线性微分方程解的结构与性质
例9.4.1
答案： C cosx+C sinx
1 2
详细讲解—数一、数二见高数55 线性微分方程解的结构与性质
数三见高数52 线性微分方程解的结构与性质
例9.4.2
答案： 选B
详细讲解—数一、数二见高数55 线性微分方程解的结构与性质
数三见高数52 线性微分方程解的结构与性质
例9.4.3
答案： 选D
详细讲解—数一、数二见高数55 线性微分方程解的结构与性质
数三见高数52 线性微分方程解的结构与性质
例9.4.4
答案： 选D
详细讲解—数一、数二见高数55 线性微分方程解的结构与性质
数三见高数52 线性微分方程解的结构与性质
第 5节 常系数齐次线性微分方程
例9.5.1
答案：Ce3x +C e−x
1 2
详细讲解—数一、数二见高数56 常系数齐次线性微分方程
数三见高数53 常系数齐次线性微分方程
例9.5.2
答案：Ce−x +C xe−x
1 2
详细讲解—数一、数二见高数56 常系数齐次线性微分方程
数三见高数53 常系数齐次线性微分方程
例9.5.3
答案：Cexcos2x+C exsin2x
1 2
详细讲解—数一、数二见高数56 常系数齐次线性微分方程
数三见高数53 常系数齐次线性微分方程
例9.5.4
答案：y =Ce2x +C cosx+C sinx
1 2 3详细讲解—数一、数二见高数56 常系数齐次线性微分方程
数三见高数53 常系数齐次线性微分方程
例9.5.5
答案：选D
详细讲解—数一、数二见高数56 常系数齐次线性微分方程
数三见高数53 常系数齐次线性微分方程
第 6节 二阶常系数非齐次线性微分方程
例9.6.1
1
答案： y =Ce−x +C e3x −x+
1 2 3
详细讲解—数一、数二见高数57 二阶常系数非齐次线性微分方程
数三见高数54 二阶常系数非齐次线性微分方程
例9.6.2
 x2 
答案： Ce2x +C e3x − +xe2x
1 2  2 
详细讲解—数一、数二见高数57 二阶常系数非齐次线性微分方程
数三见高数54 二阶常系数非齐次线性微分方程
例9.6.3
1
答案： C cosx+C sinx− cos2x
1 2 3
详细讲解—数一、数二见高数57 二阶常系数非齐次线性微分方程
数三见高数54 二阶常系数非齐次线性微分方程
例9.6.4
1
答案： 当a≠−2时，Ce−2x +C xe−2x + eax；
1 2 ( a+2 )2
x2
当a=−2时，Ce−2x +C xe−2x + e−2x
1 2 2
详细讲解—数一、数二见高数57 二阶常系数非齐次线性微分方程
数三见高数54 二阶常系数非齐次线性微分方程
例9.6.5
答案：
详细讲解—数一、数二见高数57 二阶常系数非齐次线性微分方程
数三见高数54 二阶常系数非齐次线性微分方程第 7节 差分方程（仅数三考）
例9.7.1
答案：∆y =2t+3；∆2y =2；∆3y =0
t t t
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.2
答案：y −2y + y =0
t+3 t+2 t+1
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.3
答案：W =1.2W +2
t+1 t
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.4
5 5
答案：y =C (−5 )t + t−
t 12 72
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.5
t
答案：y =C⋅2t + ⋅2t
t 2
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.6
t2 2 1 1
答案：y =C⋅(−2 )t + − t− + ⋅4t
t 3 9 27 6
详细讲解—数三见高数55 差分方程
例9.7.7
答案：y =C⋅2t −5
t
详细讲解—数三见高数55 差分方程
第 8节 欧拉方程（仅数一考）
例9.8.1
答案： y = x2
详细讲解—数一见高数58 欧拉方程
例9.8.2
1
答案： y =ln3 x− +C lnx+C
x 1 2详细讲解—数一见高数58 欧拉方程
第 9节 微分方程的应用
例9.9.1
答案：ϕ(
x
)=sinx+cosx
详细讲解—数一见高数59 微分方程的应用
数二见高数58 微分方程的应用
数三见高数56 微分方程的应用
例9.9.2
答案： y =ex
详细讲解—数一见高数59 微分方程的应用
数二见高数58 微分方程的应用
数三见高数56 微分方程的应用
例9.9.3
1 x
答案： f ( x )= sinx+ cosx
2 2
详细讲解—数一见高数59 微分方程的应用
数二见高数58 微分方程的应用
数三见高数56 微分方程的应用
例9.9.4
2
答案：y =
x
详细讲解—数一见高数59 微分方程的应用
数二见高数58 微分方程的应用
数三见高数56 微分方程的应用
例9.9.5
答案： y =1−6x2 +5x
详细讲解—数一见高数59 微分方程的应用
数二见高数58 微分方程的应用
数三见高数56 微分方程的应用第十章 多元函数微分学
第 1节 多元函数的极限与连续
例10.1.1
答案： 无极限
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.2
答案： 证明略
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.3
答案： e
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.4
答案： 0
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.5
答案： 0
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.6
1
答案：
2
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
例10.1.7
答案： 连续
详细讲解—数一见高数60 多元函数的极限与连续
数二见高数59 多元函数的极限与连续
数三见高数57 多元函数的极限与连续
第 2 节 多元函数的偏导数
例10.2.1
答案： 证明略
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.2
∂u ∂u ∂u
答案： =exy⋅y⋅cosyz； =exy⋅x⋅cosyz； =−exy⋅sin yz⋅y
∂x ∂y ∂z
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.3
答案： 2
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.4
答案： 选B
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.5
答案： 选B
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.6
答案： f′( 0,0 )= f′( 0,0 )=0；不连续
x y
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.7
答案： 连续，不可偏导
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.8
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z
答案： =2yey； = x2( 2+ y ) ey； = =2x ( 1+ y ) ey
∂x2 ∂y2 ∂x∂y ∂y∂x
详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
例10.2.9
答案： 证明略详细讲解—数一见高数61 多元函数的偏导数
数二见高数60 多元函数的偏导数
数三见高数58 多元函数的偏导数
第 3节 多元函数的全微分
例10.3.1
答案： 可微
详细讲解—数一见高数62 多元函数的全微分
数二见高数61 多元函数的全微分
数三见高数59 多元函数的全微分
例10.3.2
答案： 选D
详细讲解—数一见高数62 多元函数的全微分
数二见高数61 多元函数的全微分
数三见高数59 多元函数的全微分
例10.3.3
答案： dz| =e2dx+2e2dy
(2,1)
详细讲解—数一见高数62 多元函数的全微分
数二见高数61 多元函数的全微分
数三见高数59 多元函数的全微分
例10.3.4
z−1 z−1 z
z  x xz  x  x x
答案： du =   dx−   dy+   ln dz
y y y2  y  y y
详细讲解—数一见高数62 多元函数的全微分
数二见高数61 多元函数的全微分
数三见高数59 多元函数的全微分
例10.3.5
答案： 选C
详细讲解—数一见高数62 多元函数的全微分
数二见高数61 多元函数的全微分
数三见高数59 多元函数的全微分
第 4节 多元复合函数的求导法则 1
例10.4.1
答案：选B
详细讲解—数一见高数63 多元复合函数的求导法则1
数二见高数62 多元复合函数的求导法则1
数三见高数60 多元复合函数的求导法则1
例10.4.2
2
答案： ( ln2−1 )
2
详细讲解—数一见高数63 多元复合函数的求导法则1数二见高数62 多元复合函数的求导法则1
数三见高数60 多元复合函数的求导法则1
例10.4.3
∂z ∂z
答案：x − y = f′；
∂x ∂y 2
∂2z 1 
=( xf′′+xg′f′′)⋅y+ f′+( xf′′+xg′f′′)⋅

+g′⋅y + f′( xyg′′+g′)
∂x∂y 11 12 1 21 22  x  2
详细讲解—数一见高数63 多元复合函数的求导法则1
数二见高数62 多元复合函数的求导法则1
数三见高数60 多元复合函数的求导法则1
第 5节 多元复合函数的求导法则 2
例10.5.1
答案：dz =( f′+ f′+ yf′) dx+( f′− f′+xf′) dy；
1 2 3 1 2 3
∂2z
= f′′+( x+ y ) f′′− f′′+( x− y ) f′′+ f′′⋅xy+ f′
∂x∂y 11 13 22 23 33 3
详细讲解—数一见高数64 多元复合函数的求导法则2
数二见高数63 多元复合函数的求导法则2
数三见高数61 多元复合函数的求导法则2
例10.5.2
答案： f ( u )=Ceu +C e−u
1 2
详细讲解—数一见高数64 多元复合函数的求导法则2
数二见高数63 多元复合函数的求导法则2
数三见高数61 多元复合函数的求导法则2
例10.5.3
答案： f′′( 1,1 )+ f′′( 1,1 )+ f′( 1,1 )
11 12 1
详细讲解—数一见高数64 多元复合函数的求导法则2
数二见高数63 多元复合函数的求导法则2
数三见高数61 多元复合函数的求导法则2
例10.5.4
∂z ∂z
答案： =exy⋅sin ( x+ y )⋅y+exycos ( x+ y ) ； =exysin ( x+ y )⋅x+exycos ( x+ y )
∂x ∂y
详细讲解—数一见高数64 多元复合函数的求导法则2
数二见高数63 多元复合函数的求导法则2
数三见高数61 多元复合函数的求导法则2第 6节 多元隐函数的求导法则
例10.6.1
y
答案：y′=−
ey +x
详细讲解—数一见高数65 多元隐函数的求导法则
数二见高数64 多元隐函数的求导法则
数三见高数62 多元隐函数的求导法则
例10.6.2
∂z 1 ∂z 1
答案： = ; =−
∂x 5 ∂y 5
(0,0) (0,0)
详细讲解—数一见高数65 多元隐函数的求导法则
数二见高数64 多元隐函数的求导法则
数三见高数62 多元隐函数的求导法则
例10.6.3
∂x 2 xyz −xz
答案： =−
∂y xyz − yz
详细讲解—数一见高数65 多元隐函数的求导法则
数二见高数64 多元隐函数的求导法则
数三见高数62 多元隐函数的求导法则
例10.6.4
∂2z ( z−2 )2 +x2
答案： =−
∂x2 ( z−2 )3
详细讲解—数一见高数65 多元隐函数的求导法则
数二见高数64 多元隐函数的求导法则
数三见高数62 多元隐函数的求导法则
例10.6.5
∂u ux+vy ∂v uy−vx ∂u vx−uy ∂v ux+ yv
答案： =− ； = ； = ； =−
∂x x2 + y2 ∂x x2 + y2 ∂y x2 + y2 ∂y x2 + y2
详细讲解—数一见高数65 多元隐函数的求导法则
数二见高数64 多元隐函数的求导法则
数三见高数62 多元隐函数的求导法则
第 7节 多元函数的极值 1
例10.7.1
答案： 是，极小值
详细讲解—数一见高数66 多元函数的极值1
数二见高数65 多元函数的极值1
数三见高数63 多元函数的极值1
例10.7.2
答案： 不是极值详细讲解—数一见高数66 多元函数的极值1
数二见高数65 多元函数的极值1
数三见高数63 多元函数的极值1
例10.7.3
答案： f ( x,y )在点( 1,0 )处取得极小值−5；在点(−3,2 )处取得极大值31
详细讲解—数一见高数66 多元函数的极值1
数二见高数65 多元函数的极值1
数三见高数63 多元函数的极值1
例10.7.4
1 1
− −
答案： f ( x,y )在点(−1,0 )处取得极小值−e 2；在点( 1,0 )处取得极大值e 2
详细讲解—数一见高数66 多元函数的极值1
数二见高数65 多元函数的极值1
数三见高数63 多元函数的极值1
第 8 节 多元函数的极值 2
例10.8.1
答案：
详细讲解—数一见高数67 多元函数的极值1
数二见高数66 多元函数的极值1
数三见高数64 多元函数的极值1
例10.8.2
答案：
详细讲解—数一见高数67 多元函数的极值1
数二见高数66 多元函数的极值1
数三见高数64 多元函数的极值1
例10.8.3
答案：
详细讲解—数一见高数67 多元函数的极值1
数二见高数66 多元函数的极值1
数三见高数64 多元函数的极值1
例10.8.4
答案：
详细讲解—数一见高数67 多元函数的极值1
数二见高数66 多元函数的极值1
数三见高数64 多元函数的极值1第十一章 二重积分
第 1节 二重积分的概念与性质 1
例11.1.1
答案： 选C
详细讲解—数一见高数68 二重积分的概念与性质1
数二见高数67 二重积分的概念与性质1
数三见高数65 二重积分的概念与性质1
例11.1.2
答案： 选B
详细讲解—数一见高数68 二重积分的概念与性质1
数二见高数67 二重积分的概念与性质1
数三见高数65 二重积分的概念与性质1
例11.1.3
答案： 1
详细讲解—数一见高数68 二重积分的概念与性质1
数二见高数67 二重积分的概念与性质1
数三见高数65 二重积分的概念与性质1
第 2节 二重积分的概念与性质 2
例11.2.1
答案：选A
详细讲解—数一见高数69 二重积分的概念与性质2
数二见高数68 二重积分的概念与性质2
数三见高数66 二重积分的概念与性质2
例11.2.2
答案：选A
详细讲解—数一见高数69 二重积分的概念与性质2
数二见高数68 二重积分的概念与性质2
数三见高数66 二重积分的概念与性质2
例11.2.3
1
答案：
2
详细讲解—数一见高数69 二重积分的概念与性质2
数二见高数68 二重积分的概念与性质2
数三见高数66 二重积分的概念与性质2
第 3 节 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.1
9
答案：
8
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算例11.3.2
27
答案：
64
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.3
1
答案： sin4
2
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.4
4
答案：
3
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.5
答案：选A
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.6
答案：∫ 2 dy∫ 4−y f ( x,y ) dx
1 1
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
例11.3.7
答案：1−sin1
详细讲解—数一见高数70 直角坐标系下二重积分的计算
数二见高数69 直角坐标系下二重积分的计算
数三见高数67 直角坐标系下二重积分的计算
第 4节 极坐标系下二重积分的计算
例11.4.1
( )
答案：π 1−e−a2
详细讲解—数一见高数71 极坐标系下二重积分的计算
数二见高数70 极坐标系下二重积分的计算
数三见高数68 极坐标系下二重积分的计算例11.4.2
32
答案： a3
9
详细讲解—数一见高数71 极坐标系下二重积分的计算
数二见高数70 极坐标系下二重积分的计算
数三见高数68 极坐标系下二重积分的计算
例11.4.3
22
答案：
3
详细讲解—数一见高数71 极坐标系下二重积分的计算
数二见高数70 极坐标系下二重积分的计算
数三见高数68 极坐标系下二重积分的计算
例11.4.4
3
答案： π2
64
详细讲解—数一见高数71 极坐标系下二重积分的计算
数二见高数70 极坐标系下二重积分的计算
数三见高数68 极坐标系下二重积分的计算
例11.4.5
2
答案：2 2−4+ π
2
详细讲解—数一见高数71 极坐标系下二重积分的计算
数二见高数70 极坐标系下二重积分的计算
数三见高数68 极坐标系下二重积分的计算
第 5 节 二重积分的应用
例11.5.1
答案：8π
详细讲解—数一见高数72 二重积分的应用
数二见高数71 二重积分的应用
数三见高数69 二重积分的应用
例11.5.2
2 2
答案： , 
3 3
详细讲解—数一见高数72 二重积分的应用
数二见高数71 二重积分的应用
数三见高数69 二重积分的应用
例11.5.32 2
答案： , 
3 3
详细讲解—数一见高数72 二重积分的应用
数二见高数71 二重积分的应用
数三见高数69 二重积分的应用
例11.5.4
3
答案： π
2
详细讲解—数一见高数72 二重积分的应用
数二见高数71 二重积分的应用
数三见高数69 二重积分的应用第十二章 无穷级数（仅数一、数三考）
第 1节 常数项级数的概念和性质
例12.1.1
 a
∞  , −1<q<1
答案： ∑a⋅qn =1−q
n=0 

发散， q≥1或q≤−1
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.2
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.3
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.4
答案： 选A
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.5
答案： 发散
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.6
答案： −u
1
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
例12.1.7
答案： 选D
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质
第 2 节 正项级数敛散性的判别法 1
例12.2.1
∞ 1 p >1, 收敛
答案： ∑ 
n=1
np p≤1, 发散
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1例12.2.2
答案： p>1时，收敛； p≤1时，发散.
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1
例12.2.3
答案： 发散
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1
例12.2.4
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1
例12.2.5
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1
第 3节 正项级数敛散性的判别法 2
例12.3.1
答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2
数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2
例12.3.2
答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2
数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2
例12.3.3
答案： （1）收敛（2）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2
数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2
第 4节 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.1
答案： 当 p>0时，收敛；当 p≤0时，发散
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.2
答案： 选C
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.3
答案： 收敛详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.4
答案： （1）条件收敛（2）绝对收敛（3）绝对收敛（4）条件收敛
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.5
答案： 选D
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
第 5节 幂级数及其收敛域
例12.5.1
1
答案： 收敛域为x∈(−1,1 )，和函数为
1−x
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
例12.5.2
答案： 选B
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
例12.5.3
答案： 收敛半径为1，收敛域为(−1,1]
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
例12.5.4
答案： 收敛半径分别为+∞和0
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
例12.5.5
答案： 收敛域[−1,3)
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
例12.5.6
1
答案：
2
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域
第 6 节 幂级数求和函数 1
例12.6.1 1
− ln ( 1−x ) , x∈[−1,0)(0,1)
答案： （1）S ( x )= x
  1, x=0
（2）S ( x )=−ln ( 1+x ) ,x∈(−1,1]
x+1
（3）S ( x )= ,x∈(−1,1)
( 1−x )2
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1
例12.6.2
x
答案： S ( x )= −ln ( 1−x ) ,x∈(−1,1 )
( 1−x )2
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1
例12.6.3
 1 1+x x2
−1+ ln − , x∈(−1,0 )  ( 0,1 )
答案： S ( x )= 2x 1−x 1−x2

 0, x=0
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1
例12.6.4
答案： S ( x )=ex −1,x∈(−∞,+∞)
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1
第 7节 幂级数求和函数 2
例12.7.1
答案： 3
详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2
例12.7.2
π
答案：
4
详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2
例12.7.322
答案：
27
详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2
第 8 节 函数展开成幂级数
例12.8.1
∞
答案： ∑(−1 )n x2n,x∈(−1,1 )
n=0
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 例12.8.2
∞


(−1 )n−1 2n −1 
 1 1
答案： ∑ xn,x∈(− , ]
n 2 2
n=1
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 例12.8.3
∞
答案： ∑nxn−1,x∈(−1,1 )
n=1
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 例12.8.4
∞ (−1 )n
答案： ∑ x2n+1,x∈(−∞,+∞)
( 2n+1 ) ! ( 2n+1 )
n=0
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 例12.8.5
2  ∞ (−1 )n  π 2n+1 ∞ (−1 )n  π 2n
答案： ∑ x−  +∑ x−   ,x∈(−∞,+∞)，
2  ( 2n+1 ) ! 4 ( 2n ) ! 4 
n=0 n=0 
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 例12.8.6
∞  1 1 
答案： ∑(−1 )n  −  ( x−1 )n ,x∈(−1,3 )
2n+2 22n+3 
n=0
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数
第 9节 傅里叶级数（仅数一考）
例12.9.1π ∞   1 (−1 )n−1  
答案： − +∑   1−(−1 )n cosnx+ sinnx
4 n=1
n2π 
n 
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数
例12.9.2
π ∞ 1 ( )
答案： +∑ (−1 )n −1 cosnx
2 n2π
n=1
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数
例12.9.3
∞ 2
答案： 正弦级数∑  1−(−1 )nπ−(−1 )n sinnx；
nπ 
n=1
π+2 ∞ 2
余弦级数 +∑ (−1 )n −1  cosnx
2
n2π 
n=1
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数
例12.9.4
k ∞ k ( ) nπx
答案： +∑ 1−(−1 )n sin
2 nπ 2
n=1
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数
例12.9.5
π2
答案：
2
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数
例12.9.6
答案： 选C
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数第十三章 空间解析几何与向量代数（仅数一考）
第一节 向量及其运算
例13.1.1
答案：C
详细讲解——高数82 向量及其运算
例13.1.2
1 1 2 2 π 3
答案：cosα=− ，cosβ= ，cosγ=− ，α= π，β= ，γ= π详细讲解——
2 2 2 3 3 4
高数82 向量及其运算
例13.1.3
答案：600g详细讲解——高数82 向量及其运算
例13.1.4
π
答案： 详细讲解——高数82 向量及其运算
3
例13.1.5
答案：a⋅b=3，a×b=5i+ j+7k 详细讲解——高数82 向量及其运算
例13.1.6
答案：不共面详细讲解——高数 82 向量及其运算 第二节
曲面及其方程
例13.2.1
答案：5x2 +5y2 +5z2 +50x+18y+18z−37=0
详细讲解——高数83 空间曲面及其方程
例13.2.2
x2 y2 z2 x2 y2 z2
答案： − − =1， + − =1
a2 c2 c2 a2 a2 c2
详细讲解——高数83 空间曲面及其方程 例13.2.3
答案：抛物线，柱面
详细讲解——高数83 空间曲面及其方程
例13.2.4
答案：y2 +z2 =2x，旋转抛物面
详细讲解——高数83 空间曲面及其方程
第三节 空间曲线及其方程
例13.3.1x=acosωt

答案：y =asinωt

 z =vt
详细讲解——高数84 空间曲线及其方程
例13.3.2
x2 +2y2 −2y =0
答案：
 z =0
详细讲解——高数84 空间曲线及其方程
第四节 平面及其方程
例13.4.1
答案：14x+9y−z−15=0
详细讲解——高数85 空间平面及其方程
例13.4.2
答案：2x+2y−3z =0
详细讲解——高数85 空间平面及其方程 例13.4.3
答案：y−3z =0
详细讲解——高数85 空间平面及其方程
例13.4.4
π
答案：
3
详细讲解——高数85 空间平面及其方程
例13.4.5
答案： 证明略
详细讲解——高数85 空间平面及其方程
第五节 空间直线及其方程
例13.5.1
 x=3+4t
x−3 y+1 z+1 
答案：点向式方程 = = ，参数方程 y =−1−t
4 −1 −3 
z =−1−3t
详细讲解——高数86 空间直线与直线方程
例13.5.2
π
答案：
4
详细讲解——高数86 空间直线与直线方程
例13.5.3x−2 y−1 z−2
答案： = =
−1 1 0
详细讲解——高数86 空间直线与直线方程
例13.5.4
答案：y−z−1=0
详细讲解——高数86 空间直线与直线方程
第六节 空间曲线的切线与法平面
例13.6.1
x−1 y−1 z−1
答案：切线 = = ，法平面x+2y+3z−6=0
1 2 3
详细讲解——高数87 空间曲线的切线与法平面
例13.6.2
x−1 y+2 z−1
答案： 切线 = = ，法平面x−z =0
1 0 −1
详细讲解——高数87 空间曲线的切线与法平面
第七节 空间曲面的切平面与法线
例13.7.1
x−2 y−1 z−4
答案：切平面 4x+2y−z−6=0 ，法线 = =
4 2 −1
详细讲解——高数88 空间曲面的切平面与法线
例13.7.2
答案：C
详细讲解——高数88 空间曲面的切平面与法线
第八节 方向导数与梯度
例13.8.1
1
答案：−
2
详细讲解——高数89 方向导数与梯度
例13.8.2
1
答案：
2
详细讲解——高数89 方向导数与梯度
例13.8.3
 
2x 2y
答案： − ,− 
 ( )2 ( )2 
x2 + y2 x2 + y2
 
详细讲解——高数89 方向导数与梯度
例13.8.4答案：( 2,−4,11 ) ， 141
详细讲解——高数89 方向导数与梯度第十四章 三重积分与曲线曲面积分（仅数一考）
第 1节 三重积分 1
例14.1.1
答案： A
详细讲解—见高数90 三重积分1
例14.1.2
4
答案： πf ( 0,0,0 )
3
详细讲解—见高数90 三重积分1
例14.1.3
答案： A
详细讲解—见高数90 三重积分1
例14.1.4
答案： B
详细讲解—见高数90 三重积分1
例14.1.5
1
答案：
48
详细讲解—见高数90 三重积分1
例14.1.6
256
答案： π
3
详细讲解—见高数90 三重积分1
第 2节 三重积分 2
例14.2.1
π
答案：
8
详细讲解—见高数91 三重积分2
例14.2.2
答案： D
详细讲解—见高数91 三重积分2
例14.2.3
4  1 1 1 
答案： πR5  + + 
15 a2 b2 c2 
详细讲解—见高数91 三重积分2
例14.2.4
4
( )
答案： πa3 1−cos4α
3详细讲解—见高数91 三重积分2
例14.2.5
2
答案：
3
详细讲解—见高数91 三重积分2
第 3 节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
例14.3.1
1 ( )
答案： 5 5−1
12
详细讲解—见高数92 第一类曲线积分
例14.3.2
2 ( )
答案： π a2 +k2 3a2 +4π2k2
3
详细讲解—见高数92 第一类曲线积分
例14.3.3
答案： 36l
详细讲解—见高数92 第一类曲线积分
例14.3.4
π
( )
答案： aea +2 ea −1
4
详细讲解—见高数92 第一类曲线积分
第 4节 第二类曲线积分 1
例14.4.1
4
答案：
5
详细讲解—见高数93 第二类曲线积分1
例14.4.2
答案： D
详细讲解—见高数93 第二类曲线积分1
例14.4.3
4
答案： ab2
3
详细讲解—见高数93 第二类曲线积分1
例14.4.4
π
答案： a4
2
详细讲解—见高数93 第二类曲线积分1
例14.4.5
答案： 4πR2
详细讲解—见高数93 第二类曲线积分1
第 5 节 第二类曲线积分 2
例14.5.1π
答案： −4
2
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
例14.5.2
答案： 2π
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
例14.5.3
答案： B
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
例14.5.4
答案： e+sin1−sin2
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
例14.5.5
1
答案： x2y2
2
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
例14.5.6
答案： xexy
详细讲解—见高数94 第二类曲线积分2
第 6 节 第一类曲面积分
例14.6.1
4
答案： 3
3
详细讲解—见高数95 第一类曲面积分
例14.6.2
3
答案：
120
详细讲解—见高数95 第一类曲面积分
例14.6.3
a
答案： 2πaln
h
详细讲解—见高数95 第一类曲面积分
第 7节 第二类曲面积分 1
例14.7.1
2
答案：
15
详细讲解—见高数96 第二类曲面积分1
例14.7.2
15
答案：− π
2
详细讲解—见高数96 第二类曲面积分1
例14.7.39
答案：− π
2
详细讲解—见高数96 第二类曲面积分1
第 8 节 第二类曲面积分 2
例14.8.1
答案： −5π
详细讲解—见高数97 第二类曲面积分2
例14.8.2
15
答案： − π
2
详细讲解—见高数97 第二类曲面积分2
例14.8.3
答案： 16π
详细讲解—见高数97 第二类曲面积分2
例14.8.4
答案： 1
详细讲解—见高数97 第二类曲面积分2
第 9 节 空间的第二类曲线积分与斯托克斯公式
例14.9.1
3
答案：
2
详细讲解—见高数98 斯托克斯公式
例14.9.2
答案： π
详细讲解—见高数98 斯托克斯公式
例14.9.3
答案： 散度4，旋度−2k
详细讲解—见高数98 斯托克斯公式
例14.9.4
( ) ( )
答案： gradu = 2xy+2y2 i+ x2 +4xy−3z2 j−6yzk ，
div ( gradu )=4x−4y ，rot ( gradu )=0
详细讲解—见高数98 斯托克斯公式第十五章 微积分的经济学应用（仅数三考）
例15.1
答案：利润函数 18x−3x2 −4x3 ,边际收入函数26−4x−12x2，边际成本函数8+2x，
最大利润时的产量1，最大利润11.
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用1
例15.2
答案：8.
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用1
例15.3
答案：（1） 72x+15x2 −x3−10.（2）12
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.4
x2 y2
答案：（1） 20x+ +6y+ +10000（. 2）甲产品24件，乙产品26件总成本最小，为11118
4 2
万元，（3）当甲生产24件产品时，再多生产1件，成本增加了32万元
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.5
答案：（1） x =0.75,x =1.25.（2）1.5万元全投在报纸广告上最优
1 2
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.6
1
答案：（1） Pln .（2）下降了10ln4%
4
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.7
α
答案： − .
β
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.8
答案： 0.4.
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.9
P
答案：（1） .（2）10< P<20
20−P
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.10
答案： 11.11年
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2
例15.11答案： 3980万元
详细讲解——见赠高数基础补充—微积分的经济学应用2