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数字特征、大数定律、参数估计（数一）
1. （5分）若随机变量𝑋,𝑌的相关系数为0.9,若𝑍 =−𝑋−0.4,则𝑌与𝑍的相关系数是( )
A．0.1 B．0 C．-0.9 D．0.9
𝜋
2. （5分）设随机变量𝑋的概率密度为𝑓(𝑥)={ 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏, 0⩽𝑥 ⩽ 2 , 且𝐸𝑋 = 4+𝜋 ,则( )
8
0, 其他,
1 1
A．𝑎 = ,𝑏 =
2 𝜋
1 1
B．𝑎 = ,𝑏 =
2 2
1 1
C．𝑎 = ,𝑏 =
4 𝜋
1 1
D．𝑎 = ,𝑏 =
𝜋 2
1
3. （5分）设随机变量𝑋~𝑁(0,4)，随机变量𝑌~𝐵(3, )，且𝑋与𝑌不相关，则𝐷(𝑋−3𝑌+1)=( ).
3
A．2 B．4 C．6 D．10
4. （5分）设𝑋,𝑌为两个随机变量,其中𝐸𝑋 =2,𝐸𝑌 =−1,𝐷𝑋 =9,𝐷𝑌=16,且𝑋,𝑌的相关系数为𝜌=
1
− ,由切比雪夫不等式得𝑃{|𝑋+𝑌−1|⩽10}⩾( )
2
84
A．
100
87
B．
100
3
C．
4
4
D．
5
5. （5分）总体𝑋 ∽𝑁(2,4),𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 为来自𝑋的简单随机样本,𝑋̅为样本均值,则( )
1 2 𝑛
1
A．
𝑛−1
1
B．
𝑛−1
C．D．
6. （5分）设𝑋 ∽𝑁(0,𝜎2),𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 是来自总体𝑋的简单随机样本,则服从𝐹分布的统计量是( )
1 2 9
2 2 2
𝑋 +𝑋 +𝑋
A．𝐹 = 1 2 3
2 2 2
𝑋 +𝑋 +⋯+𝑋
4 5 9
2 2 2 2
𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋
B．𝐹 = 1 2 3 4
2 2 2 2
𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋
4 5 6 7
2 2 2
𝑋 +𝑋 +𝑋
C．𝐹 = 1 2 3
2 2 2
2(𝑋 4 +𝑋 5 +⋯+𝑋 9)
2 2 2
2(𝑋 1 +𝑋 2 +𝑋 3)
D．𝐹 =
2 2 2
𝑋 +𝑋 +⋯+𝑋
4 5 9
𝑋 −𝑋
7. （5分）（2014数三）设𝑋 ,𝑋 ,𝑋 是来自正态总体𝑁(0,𝜎2)的简单随机样本，则统计量𝑆 = 1 2
1 2 3 √2|𝑋 3|
服从的分布为（ ）.
A．𝐹(1,1)
B．𝐹(2,1)
C．𝑡(1)
D．𝑡(2)
1 𝑛
8. （5分）设𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 为来自正态总体𝑋 ∽𝑁(𝜇,𝜎2)的简单随机样本,𝑋̅是样本均值,𝑆2 = ∑
1 2 𝑛 𝑛−1
𝑖=1
(𝑋 −𝑋̅)2为样本方差,则𝐷(𝑆2)=( )
𝑖
𝜎4
A．
𝑛
2𝜎4
B．
𝑛
𝜎4
C．
𝑛−1
2𝜎4
D．
𝑛−1
9. （仅数一考）设总体𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，𝜎2已知，若样本容量𝑛和置信度1−𝛼均不变，则对于不同的
样本观测值，总体均值𝜇的置信区间的长度( ).
A．变长 B．变短 C．保持不变 D．不能确定
10. （5分）设二维随机变量(𝑋,𝑌)服从正态分布𝑁(𝜇,𝜇;𝜎2,𝜎2;0),则𝐸(𝑋𝑌2)= _____1 𝑛
11. （5 分）将一个骰子重复掷𝑛次,各次掷出的点数依次为𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 ,则当𝑛→∞时,𝑋̅ = ∑𝑋
1 2 𝑛 𝑛 𝑖
𝑖=1
依概率收敛于 _____
12. （5分） _____,𝐷(𝑋̅)= _____
1 − 𝑥
𝑒 𝜃,𝑥 >0
13. （10分）设随机变量𝑋服从指数分布,其概率密度为𝑓(𝑥)={ 𝜃 ,其中𝜃 >0是常数
0, 𝑥 ⩽0
求𝐸(𝑋),𝐷(𝑋)
14. （ 10 分 ） 随机变量(𝑋,𝑌)服从区域𝐷 ={(𝑥,𝑦)|0<𝑦<1,0<𝑥 <𝑦}上的均匀分布,
试求𝑋,𝑌的相关系数𝜌 .
𝑋𝑌
15. （10分）设总体𝑋的分布律为
𝑋 1 2 3
𝑝 𝜃2 1−𝜃−2𝜃2 𝜃2+𝜃
其中𝜃为未知参数.现抽得一个样本2,3,2,1,3,1,2,3,3,求𝜃的矩估计值
𝜆2𝑥𝑒−𝜆𝑥,𝑥 >0
16. （10 分）设总体𝑋的概率密度为𝑓(𝑥)={ 其中参数𝜆(𝜆>0)未知,𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋
0, 其他 1 2 𝑛
是来自总体𝑋的简单随机样本
(1)求参数𝜆的矩估计量
(2)求参数𝜆的最大似然估计量
