(30)-高数15多元函数微分学的计算空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章 多元函数微分学第二节 多元函数微分学的计算本节要点题型一：多元复合函数的偏导数与全微分(★★★★) 1 外层为多元函数内层为一元函数的情形 设 z = f ( u , v ) ，其中u = u(x),v = v(x)，则 z  ( x ) = f u  ( u , v )  u  ( x ) + f v  ( u , v )  v  ( x ) . 2. 外层为多元函数内层也均为多元函数的情形 设 z = f ( u , v ) , u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) ，则 z x ( x , y ) = f u  ( u , v )  u x ( x , y ) + f v  ( u , v )  v x ( x , y ) , z y ( x , y ) = f u  ( u , v )  u y ( x , y ) + f v  ( u , v )  v y ( x , y ) .3. 外层为多元函数，内层既有一元函数 又有多元函数的情形 设 z = f ( u , v ) ， u = u ( x , y ) ， v = v ( y ) ，则 z x ( x , y ) = f u  ( u , v )  u x ( x , y ) , z y ( x , y ) = f u  ( u , v )  u y ( x , y ) + f v  ( u , v )  v  ( y ) . 4. 外层为一元函数，内层为多元函数的情形 设 z = f ( u ) ， u = u ( x , y ) ，则 z x ( x , y ) = f  ( u )  u x ( x , y )  ， z (x, y) = f (u) u (x, y). y y解题思路——如果求多元复合函数的偏导数或全微分，基本思路是利 用多元复合函数的链式求导法则来计算. 也可以用全微分的形式不变性 求解.【例10.2.1】 设 z = f ( x y , x y ) + g ( y x ) ，其中 f , g 有连续二阶偏导数，则 2z ______. xy【例10.2.2】 函数 u = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 具有二阶连续导数,则计算   2 x u 2 +   2 y u 2 +   2 z u 2 .【例10.2.3】 已知 f ( u , v ) 2 2  f  f 具有二阶连续偏导数,且满足 + = 1,又 2 2 u v g ( x , y ) = f  x y , x 2 − 2 y 2  2g 2g ,求 + . x2 y2题型二：求多元隐函数的导数、偏导数或全微分(★★★★) 一、隐函数的存在性 1. 二元方程 F ( x , y ) = 0 的隐函数存在定理 2. 三元方程 F ( x , y , z ) = 0 的隐函数存在定理二、多元隐函数的偏导数计算 情形 1、一个方程型 若 F ( x , y , z ) = 0 确定了一个二元隐函数 z = f ( x , y ) , 则 法一：直接求导法 F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导， z = z ( x , y ) 要对 x 复合求导，然后解出   z x ； 同理解出   z y . 法二：公式法 z F z F y 若F  0，则 = − x ， = − . z x F y F z z法三：全微分法 利用全微分的形式不变性，对 F ( x , y , z ) = 0 两边同时 求微分，则可以解出 d z .又因为 d z =   z x d x +   z x d y ，则可同时解出   z x ,   z x . 注：若求隐函数的二阶偏导数，则只能对   z x 和   z y 用直接求导法.情形 2、方程组的情形 设有 2 个四元方程 F ( x , y , u , v ) = 0  G ( x , y , u , v ) = 0 ，求   u x ,   u y ,   v x ,   v y . 直接求导法 方程组同时对 x 求偏导， u , v 看成 x, y的二元函数， y看成  u v F + F + F = 0,   x u x v x 常数，得方程组： ，随后可解方程组求出 u v  G + G + G = 0.  x u v  x x   u x ,   v x . 同理，方程组同时对 y 求偏导， u , v 看成 x , y 的二元函数， x 看 u v 成常数求出  . y y【例10.2.4】 设有三元方程 x y − z l n y + e x z = 1 ，根据隐函数存在定 理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程( ). (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x , y ) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x , y ) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z)和 z = z ( x , y ) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z )【例10.2.5】 若函数z = z(x, y)由方程ex+2y+3z + xyz = 1确定,则dz = (0,1) _________.【例10.2.6】 设 z = z ( x , y ) 是由 x 2 − 6 x y + 1 0 y 2 − 2 y z − z 2 + 1 8 = 0 确定的 函数，求   x 2  z y . u = f (ux,v + y), 【例10.2.7】 设 其中 v = g(u − x,v2 y),  f , g 具有一阶连续偏导数，求   u x ,   v y .CASE 01