(30)-高数15多元函数微分学的计算空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章
多元函数微分学第二节
多元函数微分学的计算本节要点题型一：多元复合函数的偏导数与全微分(★★★★)
1 外层为多元函数内层为一元函数的情形
设 z = f ( u , v ) ，其中u = u(x),v = v(x)，则
z  ( x ) = f
u

( u , v )  u  ( x ) + f
v

( u , v )  v  ( x ) .
2. 外层为多元函数内层也均为多元函数的情形
设 z = f ( u , v ) , u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) ，则
z x ( x , y ) = f
u

( u , v )  u x ( x , y ) + f
v

( u , v )  v x ( x , y ) ,
z y ( x , y ) = f
u

( u , v )  u y ( x , y ) + f
v

( u , v )  v y ( x , y ) .3. 外层为多元函数，内层既有一元函数 又有多元函数的情形
设 z = f ( u , v ) ， u = u ( x , y ) ， v = v ( y ) ，则
z x ( x , y ) = f
u

( u , v )  u x ( x , y ) ,
z y ( x , y ) = f
u

( u , v )  u y ( x , y ) + f
v

( u , v )  v  ( y ) .
4. 外层为一元函数，内层为多元函数的情形
设 z = f ( u ) ， u = u ( x , y ) ，则
z x ( x , y ) = f

( u )  u x ( x , y )

， z (x, y) = f (u) u (x, y).
y y解题思路——如果求多元复合函数的偏导数或全微分，基本思路是利
用多元复合函数的链式求导法则来计算. 也可以用全微分的形式不变性
求解.【例10.2.1】 设 z = f ( x y ,
x
y
) + g (
y
x
) ，其中 f , g 有连续二阶偏导数，则
2z
______.
xy【例10.2.2】 函数 u = f
(
x 2 + y 2 + z 2
)
具有二阶连续导数,则计算


2
x
u
2
+


2
y
u
2
+


2
z
u
2
.【例10.2.3】 已知 f ( u , v )
2 2
 f  f
具有二阶连续偏导数,且满足 + = 1,又
2 2
u v
g ( x , y ) = f

x y ,
x 2 −
2
y 2  2g 2g
,求 + .
x2 y2题型二：求多元隐函数的导数、偏导数或全微分(★★★★)
一、隐函数的存在性
1. 二元方程 F ( x , y ) = 0 的隐函数存在定理
2. 三元方程 F ( x , y , z ) = 0 的隐函数存在定理二、多元隐函数的偏导数计算
情形 1、一个方程型
若 F ( x , y , z ) = 0 确定了一个二元隐函数 z = f ( x , y ) , 则
法一：直接求导法
F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导， z = z ( x , y ) 要对 x 复合求导，然后解出


z
x
；
同理解出


z
y
.
法二：公式法
z F z
F
y
若F  0，则 = − x ， = − .
z x F y F
z z法三：全微分法 利用全微分的形式不变性，对 F ( x , y , z ) = 0 两边同时
求微分，则可以解出 d z .又因为 d z =


z
x
d x +


z
x
d y ，则可同时解出


z
x
,


z
x
.
注：若求隐函数的二阶偏导数，则只能对


z
x
和


z
y
用直接求导法.情形 2、方程组的情形
设有 2 个四元方程 F ( x , y , u , v ) = 0  G ( x , y , u , v ) = 0 ，求


u
x
,


u
y
,


v
x
,


v
y
.
直接求导法 方程组同时对 x 求偏导， u , v 看成 x, y的二元函数， y看成
 u v
F + F + F = 0,

 x u x v x
常数，得方程组： ，随后可解方程组求出
u v

G + G + G = 0.
 x u v
 x x


u
x
,


v
x
. 同理，方程组同时对 y 求偏导， u , v 看成 x , y 的二元函数， x 看
u v
成常数求出  .
y y【例10.2.4】 设有三元方程 x y − z l n y + e x z = 1 ，根据隐函数存在定
理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程( ).
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x , y )
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x , y )
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z)和 z = z ( x , y )
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z )【例10.2.5】 若函数z = z(x, y)由方程ex+2y+3z + xyz = 1确定,则dz =
(0,1)
_________.【例10.2.6】 设 z = z ( x , y ) 是由 x 2 − 6 x y + 1 0 y 2 − 2 y z − z 2 + 1 8 = 0 确定的
函数，求


x
2

z
y
. u = f (ux,v + y),
【例10.2.7】 设 其中
v = g(u − x,v2 y),

f , g 具有一阶连续偏导数，求


u
x
,


v
y
.CASE 01