(31)-高数14-多元函数微分学的基本概念笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二部分、题型解析 题型一：二元函数的极限(★) 定义 当(x, y)以任意方式趋于( x , y )时， f (x, y)均趋于 0 0 A ，则 lim f (x, y) = A. z f(x y) fixy) = , z = (x,y)→(x ,y ) 0 0 Z -- X - O & Ef Y (o Yo) - . # (xry) L X解题思路——如果要求 lim f (x, y)，但尚不知道其是否存在，则 (x,y)→(x ,y ) 0 0 应 第一步、先判断. 先取一些特殊的路径让(x, y) → ( x , y )判断极限是否 0 0 存在，如果(1)某种趋向下 f (x, y)极限不存在；(2)存在两种不同的趋 向， f (x, y)分别趋于两个不同的常数，则极限必定不存在. 如果 f (x, y)总趋于同一个数 A，则进行下一步.第二步、再计算 用如下方法来计算函数极限： (1)极限的四则运算法则； (2)等价无穷小的代换法； (3)夹逼准则； (4)有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小，等等. 如果题目已知 lim f (x, y)存在，或易由上述方法求出极限，则可 (x,y)→(x ,y ) 0 0 直接进行第二步计算，无需第一步判断. 1 ex + Pas I - / No = p 4703 2 x | y |2 【例10.1.1】 讨论lim 是否存在. 4 2 x + y x→0 y→0 3 3 xkX12 1kX Un Y =X M 0(k 0At) , = = + Xto kx) x 1 x* + + Y kX = %= 0 FREE = 0 EY = X , Y= x * -... ERPE =0 .. . = 1 In Mu x2 (4) : x I 0 L 2 y 2x 141 x" + y+r F 75 FRE* =0 : . .4 4 x y 【例10.1.2】 讨论lim 的存在性. 2 4 3 ( x + y ) x→0 y→0 # Y kX = = kYXY x X Ki no My . Uk = = * + 3 X18 6 (x + k x X . Y kx = #Y Ex = Y ! / X X um x M I Me = = = * (xE43 X35 *D zX z y= x *. ERBE2 TA -题型二：二元函数的连续性(★) 解题思路——如果要判断 f (x, y)在( x , y )处是否连续，应先判断 0 0 lim f (x, y)是否存在，如果不存在则必不连续；如果存在则再判 (x,y)→(x ,y ) 0 0 断 lim f (x, y)与 f (x , y )是否相等，相等则连续，不相等则不连 0 0 (x,y)→(x ,y ) 0 0 续. 注：多元初等函数在有定义的区域内必然处处连续. f(x y) Im (2x-y) (* 7 (1 07 E +y = · . (1 2) P . x3 − y3 , ( x, y)  (0,0)  【例10.1.3】 讨论函数 f (x, y) =  x2 + y2 在(0,0)处的连  0, ( x, y) = (0,0)  续性． y3 X - X Pu Y = kX , y = , y = -... FRBE = 0 . Xtyh (4Y1+ 10 07 = City' . - x 13 M 44 . y)(x - (x - + + (x y) = = : 0 X yz + P + y2 *y2 m = x-y 0 TBERBE floc) i = =0. = (xy(+100) f(x) E < E 10.0) .题型三：多元函数的可偏导性(★★) 1.偏导数定义 对 x 的偏导数： f (x + x, y ) − f (x , y ) f (x, y ) − f (x , y )  f (x , y ) = lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0 ， x 0 0 x x − x x→0 x→x 0 0 z - 或记作 . ------ x x=x - 0 y= y 0 Y > # 对 y的偏导数： Y (x0-40) L f (x , y + y) − f (x , y ) f (x , y) − f (x , y ) f (x , y ) = lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0 ， y 0 0 y y − y y→0 y→y 0 0 z 或记作 . y x=x 0 y=y 0  2.高阶偏导数 f (x, y) f (x, y)共有如下四个二阶偏导数： x y  z  2 z  z  2z ( ) = = f  (x, y) ( ) = = f  (x, y) 2 xx xy x x x y x xy  z  2z  z  2z ( ) = = f  (x, y) ( ) = = f  (x, y). x y yx yx y y y2 yy 类似地可定义三阶、四阶 n阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称 为高阶偏导数 混合偏导数的性质 如果 f  (x, y)及 f  (x, y)连续 那么它们必相等. xy yx解题思路—— f (x, y)在( x , y )处可偏导的充要条件是如下极限都存 0 0 在： f (x, y ) − f (x , y )  f (x , y ) = lim 0 0 0 x 0 0 x − x x→x 0 0 f (x , y) − f (x , y )  f (x , y ) = lim 0 0 0 y 0 0 y − y y→y 0 0 xy , x2 + y2  0,  【例10.1.4】 函数 f (x, y) =  x2 + y2 在点  0, x2 + y2 = 0  ( 0 , 0 ) 处( ). 2 (A)连续, 偏导数存在 (B)连续，偏导数不存在 (C)不连续，偏导数存在 (D)不连续，偏导数不存在 nu kx xY k* 1 = Um BETTE TSE = x H12 . X y + E + 450 fixo-flod - o- fi Im 100 = X X - O fly 15TGE 10. 01 = 0 (x0 . %) E题型四：多元函数偏导数的计算(★★★) 解题思路——偏导数的计算的方法如下：  情形一、求 f ( x, y)时把 x y 看作常量对 x  求导. 求 f (x, y)时把 y x ↑ 看作 常数对 y求导. 情形二、如果求某点( x , y )处的偏导数，则常用如下几种方法： 0 0   方法 1: (先求导再代值) 先求出 f ( x, y)和 f (x, y)，再代入( x , y ). x y 0 0  方法 2: (先代值再求导)求 f (x , y )可先将 y = y 代入 f (x, y)得 x 0 0 0  f (x, y )，再对 x 求导代入 x = x .求 f (x , y )可先将 x = x 代入 f (x, y) 0 0 y 0 0 0 中得 f (x , y)，再对 y求导，再代入 y = y . 0 0 方法 3：偏导数的定义——抽象函数的偏导数与分段点的偏导数要 用定义来计算.x − y  2z 【例10.1.5】 设z = arctan ，则 = . 1 − xy x2 (1,0) I y 27 1 (FXy) - (x - y)( 4) 1 - . 35 · = - "ax = ( (1 xyp It - (1 - x41 + (x - 7) y (10I ) 1 - [2(1 - xy)( - 4) + 2(x - 4)] = - g2 [CIXYP 1) C + x - . 0) -E =x − y  2z 【例10.1.5】 设z = arctan ，则 = . 1 − xy x2 (1,0) (tx[z aritmX y (5 = = = 0 = I * 0 y x = 1 + 5t 2X E = - = - 2x x= 1 (H + X x=1 y 0 = 4 =s& y 【例10.1.6】 设函数 f (u)一阶可导，且z(x, y) =  e− y f (x + t)dt ，求 0  2z . xy e-7o"fix u = X++ y I x+Y f(u) z (x,y) + tict - du = X du dt = 27 e[f(x f(x] y) + = - 2X jZ e-T fix E ! [f(x +y) fix] + +y) =- - exzy 1 sin x2 y, xy  0,   【例10.1.7】 f (x, y) =  xy 则 f (0,1) =( B ) x  0, xy = 0,  (A)0 (B) 1 (C)−1 (D)不存在 six-o fixil-foll Six fixcal) Un On Er um = = - = Xy X X70 X- X+ 0 X - O题型五：偏积分(★★) fixu) [5Xfx (xM) 7 X 解题思路：设z = f (x, y)，且已知 f ( x, y)或 f (x, y)求 f (x, y)属于偏 x y 导数的反问题，称为偏积分问题. 思路 1——如果已知 f ( x, y)，则 f (x, y) =  f (x, y)dx + C( y)，同理如 x x 果已知 f (x, y)，则 f (x, y) =  f (x, y)dy + C(x). y y 思路 2(仅数一)——如果已知 f ( x, y)或 f (x, y)，则可由积分与路径 x y 无关或全微分方程求解 f (x, y). IXM) 1 fixy) 1*x(x f4(x I d = - y)ax + y)ay , 00 - (x Y) - · ↑ f(x flo . 4) - . 0) = 10 (X 0) .【例10.1.8】 设函数 f (x, y)具有一阶连续偏导数，且 y y df (x, y) = ye dx + x(1 + y)e dy， f (0,0) = 0，则 f (x, y) = ______. f(xy) f(x fyx 35 = d (xM)ax + - yidy 75x * M = = - . . et fly el fiwy) = y . Nyl = x (1 + y) · . ( y 27ax f(x X(ye 75Y ((4) - y) = . = + , e e c(y) ey (((y) = x . + y - y . + = x(H + y) . + c'(y) e fixy) -F (1) = 0 : (14) = 2 : = X . % . + c fiod fixy) % 2 = 0 : C = 0 : = X : Y . e【例10.1.8】 设函数 f (x, y)具有一阶连续偏导数，且 y y df (x, y) = ye dx + x(1 + y)e dy， f (0,0) = 0，则 f (x, y) = ______. Y) ((X-] (x- 35 = = : (y =0 ( n(z(X = x) lyeax Y eTay I a fix 002y) + · = & 10 01 (x %) . 10 0) . . (2 / . 1. fNxm) flo % dx x ( +y) = > - = . + + , x (C fixM) of"(xltyetay etay y). => = = + T ↓ e") ! 1! etay) (4 (c + x = x . + y) - = - . . el xy = .题型六：多元函数的可微性与全微分的计算(★★★) 1.定义 若z = f (x + x, y + y) − f (x , y ) = Ax + By + o() 其中 0 0 0 0 = (x)2 + (y)2 ，且 A I I 和B不依赖于x,y而仅与( x , y )有关 则称 0 0 z = f (x, y)在点( x , y )可微 而称 Ax + By为z = f (x, y)在点( x , y ) 0 0 0 0 的全微分 记作dz 即dz = Ax + By · O S P L (VTOY X Yotay) ,2. 全微分的计算     dz = f (x , y )x + f (x , y )y = f (x , y )dx + f (x , y )dy. x=x 0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 y=y 0 3.多元函数可微、可偏导、连续及极限存在的关系 >] FEEEXERETA Xo < - = 4 ESERPET (alo E7 == ↳4.全微分的形式不变性 不论函数是一元函数还是多元函数，也不论是对最终自变量求微分还 是对中间变量求全微分，其形式都是不变的. 于是可以得到如下 6 种微分法则： f f ①df (u) = f (u)du ②df (u,v) = du + dv u v ③d(u  v) = du  dv. ④d(ku) = kdu, (k为常数).  u  vdu − udv ⑤d(uv) = vdu + udv. ⑥d = .   v v2  解题思路—— f (x, y)在( x , y )处是否可微的判断方法： 0 0 (99 %) 方法 1(充要条件)：利用定义，若 ( ) ( ) ( ) ( )  f x + x, y + y − f x , y  −[ f  x , y  x + f  x , y  y] z − dz   0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 lim = lim = 0 x→0  x→0 ( )2 ( )2 x + y y→0 y→0 则z = f (x, y)在( x , y )处可微，否则在( x , y )处不可微. 0 0 0 0   方法 2(充分条件)：若 f ( x, y)和 f (x, y)在( x , y )处连续，则 x y 0 0 z = f (x, y)在( x , y )处可微. %) (1 0 0 x2 y , x2 + y2  0,  【例10.1.9】 设函数 f (x, y) = x2 + y2 则在点   0, x2 + y2 = 0  ( 0 , 0 ) 处函 数 f (x, y)( C ). (A)不连续 (B)连续,但偏导数不存在 (C)连续且偏导数存在,但不可微 (D)可微. XM pu * Y = kX Y = ... = 0 . . -O x ye + y70 x2 y 82 Y . [ = 0 0 - X y + 2xY 475 flo f 100 = 0 = :fNo-floor 0-0 f Mr 07 = 0 10 = . OX X - 0 flo 1 - floo fy Un . % 10 . 0 = In o - = = 0 470 Y Y - o fixy) f100) [fy flyco dy] dz - 1 00 ax + pu 02 - (in - = P (x-y)+ 10 0) x y2 (X y) +> 10 0) . + - . xit * Y, 0 pu - xity) I = - = (x y7 (x) 10 0) + + . *te (X Y)+10 %) - . X3 -az - Moz um #Y = X = 70.: = O 2x2 L P x-0 2 ]* ·:【例10.1.10】 二元函数 f (x, y)在(0,0)处可微的一个充分条件是( C ). X (A) lim [ f ( x, y) − f (0,0)] = 0. E Mu f(x y) f10 0 = . (x,y)→(0,0) (x- 4)+ 10 . 0) f (x,0) − f (0,0) f (0, y) − f (0,0) X (B)lim = 0且lim = 0. fxcod flyl0 = = . 0 x y x→0 y→0 +Fi f (x, y) − f (0,0) (C) lim = 0. CREF dz1000) fxc00aX 0 dy = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y2 fo X (D)lim[ f (x,0) − f (0,0)] = 0且lim[ f (0, y) − f (0,0)] = 0. x x y y x→0 y→0 fol-flo fixo flo My /2 7 It - () # =0 - = , / |X X -0 flad = I = o RE /X fy10 dz/10 =0 = 0 = 0 , . .: % 0 = .dz 67 (C) s pur - = O P Wry)+ 10. 0) flo floo Uh flo for M Y - (D) = = , 3 fixyl 43 fixyl 3xy = fixyl 2x X = . = = fil fix N 10) Un fiuyl fl = 0. = Noto) #Xo 47 % 47 %y −arctan 【例10.1.11】 设z =（x2 + y2）e x ,求 d z . jarsiat Y avltu * y ( ) f(x(x - (x + + e-aram y) 2x e + = Y ausim Y e- N-Y 2X - = = - · Z X arrant y) - (2x+ = · arctants fixy) - (24-X) e = . dz - dx + = = y -