(32)-高数16多元函数微分学的极值与最值笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章 多元函数微分学第三 节 多元函数的极值与最值第二部分、题型解析 题型一：求多元函数的无条件极值(★★★) 1.(无条件)极值的定义 如果对于该邻域内任何异于( x , y )的点(x, y) 0 0 都有 f (x, y)  f (x , y )(或 f (x, y)  f (x , y )) 则称函数在点( x , y )有 0 0 0 0 0 0 极大值(或极小值). - zx ------- - O Y Y ⑳ LX2.求z = f (x, y)的(无条件)极值的方法 第一步：求出 f (x, y), f (x, y)，并解方程组 f (x, y) = 0, f (x, y) = 0 x y x y 求出所有驻点(x , y ). i i 第二步：每个驻点(x , y )求出 3 个二阶偏导数 i i A = f  (x , y ), B = f  (x , y ),C = f  (x , y ). xx i i xy i i yy i i 第三步：用求出的 A, B,C 来判断每个驻点(x , y )是否为极值点： i i 情形 1：若 AC − B 2  0则 f (x , y )为极值，且当 A  0时是极大值 当 i i A  0时是极小值 2 情形 2：若 AC − B  0，则 f (x , y )不是极值 i i 2 情形 3：若 AC − B = 0时 f (x , y )可能是极值 也可能不是，改用极值 i i 定义判断解题思路 1—— f (x, y)为具体函数且二阶可偏导时，用偏导数求极值 解题思路 2——上述方法判断不了时，尤其是 f (x, y)为抽象函数时， 可用定义判断.【例10.3.1】 已知函数 f (x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 f (x, y) − xy lim = 1，则( ). A (x2 + y2 )2 x→0,y→0 (A)点(0,0)不是 f (x, y)的极值点 (B)点(0,0)是 f (x, y)的极大值点 (C)点(0,0)是 f (x, y)的极小值点 (D)根据条件无法判断(0,0)是否为 f (x, y)的极值点 fixy)-XY / Mo (fixy) xy) f(0 : / - = 0 = . %) =0 # 0 = Ex yin y+ o 40 + fNxY) -XY *BEA 35- : RE . E 10 . 0 , > O (x yz2 + fix) fixy) fixy)-xy10< -XY 2 3 5 floo R d : =0 . ,fNxy)-XY S =: / = Ex yin 40 + friM BREX x70470AT : 2(650) , 1 , = + 2 f(xMl (x + - = xY + (1 + 2) +y & y X = x ** flood f(x x) (H2)4 > 0 = + , = # y -X = f(x - x) = - x + (1 + 2) 4x10 = f(0 %) . . fixy) Ti FRIE. : Ye 10.0)【例10.3.2】 求函数z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 的极值. # 4x 00 (2x 2x - 2 = : = - G Ey 44 24 0 2x = = - - 44 4x y(0 0 -8 = - = 0 = x = * => 4 - 3X = 0 =S S X = - 1 y - = zx 12x2 Ex zyy 2 2 12 y - = - = 2 = - E (xM) = (1 . 1) Af , A = 10 B = 2 C = 10 f(() 4 E GE Ac 13 A70 : -2 - > = -& Myl (1 - 1) AJ A = 10 B = -2 C = 10 ACB20A2O = . , . , f(xy) PERdE ~ fr : 1) = -2 E - = (xy) 10 0) AfA = - B = + c = 2 Al-B = 0 EX = . , . . flad = 0 X y" x 2xy y z = + - - - f(x 4x f(x x) 2x Ex + 0At X)<0 flo 0 , = - , = . , f(x 2* f(a0) -X) = > 0 = , fix) fiod 5 FRE : = 0 .【例10.3.3】 求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2 y − 4z − 10 = 0确定的函数 z = f (x, y)的极值. # : / F(x - Y . z) = x + y + z2 - 2x + 24 - 42-10 -Fz ↳ 2X - 2 X 1 - = - = - = O / & 2 22 - 4 z -2 2y + = y+ / - = - 0 -- = 22 - 4 z -2 y= 1. => x = 27 5Z (2 -2) (x - 1) - 2z X- 37 - ox = - =- 2x* (z - 2) axay (z - 2) 2 -y (4t1) Z (z -2) - = - 2)2 2yz (z -2 5Z (z -2) (x - 1) - 2z X- 37 - = - = - 2x* (z - 2) axay (z - 2) 2 -y (4t1) Z (z -2) - -- : 2)2 sy (z - SEXTE E x = 1 Y = -1 = z = 6 z = - . . casel Ex = 1 Y = 1 z = 6 . , , G B A B c Al #Ado =- = 0 = - - , FRE (1 1) 6 E : z - = . . E case? X = 1 , Y = 1 z = z . , I # Al-B A B # A 30 = = 0 C = , Ed : z (1 + ) = 2 - . .题型二：条件极值与最值的问题(★★★★) 1. 条件极值 函数z = f (x, y)在条件(x, y) = 0下的极值，称为条件 极值，其中 f (x, y)称为目标函数，(x, y)称为条件函数. 2. 条件最值 函数z = f (x, y)在条件(x, y) = 0下的最大、最小值， - z fixry) - = 称为条件最值. = "" axy ---- =- -3.条件极值的求法 法一、条件代入法：如果(x, y) = 0可解出 y = y(x)或 x = x( y)或化成  x = x(t) 参数方程 ，则可将其代入到z = f (x, y)变成一元函数，然后利 y = y(t)  用一元函数求极值的方法求解. 法二、拉格朗日乘数法：构造辅助函数F(x, y,) = f (x, y) +(x, y),   F(x, y) = f (x, y) +  ( x, y) = 0  x x x  其中为某一常数 然后解方程组 F(x, y) = f ( x, y) +  ( x, y) = 0 ， y y y  (x, y) = 0 (7x   解出驻点(x , y , ) 则其中( x , y )就是所要求的极值点 条件极值问 0 0 0 0 0 题的难点往往在于求解方程组。解题思路：条件极值的求法 思路 1——条件代入法 思路 2——拉格朗日乘数法 Es ETEEL FBI BEA S :0 Sir No . . T T , fix) ② R IT E : (20) finy f(x In fixy) fix) 5 P 4) 5 T - fixM) ** /T f(x) 5 I fix) 5 T FNU)【例10.3.4】 求函数u = x m y n z p 在条件 x + y + z = a(m  0,n  0, p  0, x  0, y  0, z  0)下的极大值. /F(x Y z x) y * y ? zP + x(x+y+ z - a) B = - = - , , y m y"zP Fx + x = 00 = m. I ! zP y Fy n - y - + x = 02 = y4zP Fz p y + x = 0 . = . Fx ⑭ = x+ y + z - a = 8 Yy"zP y4zP 2 D - ② = m . = n . x = m . y = uX => y x =%zH * YzP 2. 0 0 = mix = P . x = mz = PX . x = z = (x0 = x + x+ x - a = 0 aP am an Y Z X = => = = - m+ n+P m+n+P m+n+ P P (amap) EFE U => = +h+Pmn! pP am = +P Pymth Cr+h+【例10.3.4】 求函数u = x m y n z p 在条件 x + y + z = a(m  0,n  0, p  0, x  0, y  0, z  0)下的极大值. * ? zP x(x is =: F(x . % . z x) = In x y + +y + z - a) , = m. (nX + u(ny + P(nz + x(x +y+z - a) Fx = x = 0 + = I M Fy + x 0 = = j Fa + x 0 = = #x = x+ y+ z - = 0 x2 + y2 − 2z2 = 0 【例10.3.5】 已知曲线C :  ，求 x + y + 3z = 5  C 上距离 x O y 平面最远 点与最近点． , , T B CIIE-ig (Yiz) EM XOY d G (z) d = z x(x y 2zi ↑ FI z x M) = + + - +M((x+y + 3z - 5) , . , #x 2xx + M = 0 ① = I Fy ② = 2xy + u = 0 # = 4xz ③ 2z - + 3M = 0 #x = X + y - 2z = 0 ⑭ Fu = x + y + 3z - 5 = 0 ⑤#x 2xx + M = 0 ① - I Fy ② = 2xy + u = 0 # = 4xz ③ 2z - + 3M = 0 #x = X + y - 2z = 0 ⑭ =I n = x + y + 3z - 5 = 0 G D 0 = 2x(X - y) =0 - casel Ex = 0 Af , D = M = 0 B = z = 0 # B = x = 4 = 0 . EM XE AJST Ex . , X casez Ex = #J D = z = = z = Xz = -X . * x= y = z #5 , # = x = y = z = 1 # x= y = zA5 #B - X = 5 y = 5 z = 5 ,(1) 1 & = = (1 1 1) . . 15) 5 d(5 = = 5 5) , , BEX01 F (1 1 1) drim / = (I . . : , 2 ( -5 -5 5) dmax 5 , , =题型三：求区域D的最值(★★) 解题思路——z = f (x, y)最值可能在 D 内也有可能在边界之上，求法如 下： 第一步：令 f (x, y) = 0, f (x, y) = 0，解出 x y D 内的驻点； 第二步：在区域D的边界(x, y) = 0上求出条件极值点； 第三步：比较以上所有点的函数值大小，最大的即为最大值，最小的 - 就为最小值. -------- - ·Toyo - &【例10.3.6】 设 f (x, y)在有界闭区域 D 上有二阶连续偏导数，且  2 f  2 f  2 f + = 0，  0，则( )． x2 y2 xy (A) f (x, y)在D的内部取得最值 (B) f (x, y)在D的边界取得最大值与最小值 (C) f (x, y)在D的内部取最大值，在 D 的边界上取最小值 (D) f (x, y)在D的内部取最小值，在 D B 的边界上取最大值 * = 0 = VN) A + 1 = 0 to B + 0 y , B c - B DIAER ( Y) Al- <0 = - : = , B【例10.3.7】 求二元函数z = f (x, y) = x2 y(4 − x − y)在直线 x + y = 6与 x 轴、 y轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值． ↑ (7 5 ↑ # DIA . X+ 4 =6 D fo 2x Y (4 -X - y) - xy = xy(8 - 3x - 2y) = 0 ⑪ = . . & 3 fy x(4 y) x y x(4 00 - x - - = - x - zy) = = # . D . G = /x => X = 2 y = / , # #J flo t EXE X=0 = 0 , f(x & 7 =0 AJ . O = 0 E . ,# x+ y 6 At = y 6-X