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2025第十章
多元函数微分学第三 节
多元函数的极值与最值第二部分、题型解析
题型一：求多元函数的无条件极值(★★★)
1.(无条件)极值的定义 如果对于该邻域内任何异于( x , y )的点(x, y)
0 0
都有 f (x, y) f (x , y )(或 f (x, y) f (x , y )) 则称函数在点( x , y )有
0 0 0 0 0 0
极大值(或极小值).
-
zx
-------
-
O
Y
Y
⑳
LX2.求z = f (x, y)的(无条件)极值的方法
第一步：求出 f (x, y), f (x, y)，并解方程组 f (x, y) = 0, f (x, y) = 0
x y x y
求出所有驻点(x , y ).
i i
第二步：每个驻点(x , y )求出 3 个二阶偏导数
i i
A = f (x , y ), B = f (x , y ),C = f (x , y ).
xx i i xy i i yy i i
第三步：用求出的 A, B,C 来判断每个驻点(x , y )是否为极值点：
i i
情形 1：若 AC − B 2 0则 f (x , y )为极值，且当 A 0时是极大值 当
i i
A 0时是极小值
2
情形 2：若 AC − B 0，则 f (x , y )不是极值
i i
2
情形 3：若 AC − B = 0时 f (x , y )可能是极值 也可能不是，改用极值
i i
定义判断解题思路 1—— f (x, y)为具体函数且二阶可偏导时，用偏导数求极值
解题思路 2——上述方法判断不了时，尤其是 f (x, y)为抽象函数时，
可用定义判断.【例10.3.1】 已知函数 f (x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
f (x, y) − xy
lim = 1，则( ).
A
(x2
+
y2 )2
x→0,y→0
(A)点(0,0)不是 f (x, y)的极值点 (B)点(0,0)是 f (x, y)的极大值点
(C)点(0,0)是 f (x, y)的极小值点 (D)根据条件无法判断(0,0)是否为
f (x, y)的极值点
fixy)-XY
/ Mo (fixy) xy) f(0
: / - = 0 = . %) =0
# 0 =
Ex yin y+ o
40 +
fNxY)
-XY
*BEA
35- : RE . E 10 . 0 , > O
(x yz2
+
fix) fixy)
fixy)-xy10< -XY 2 3 5 floo R d
: =0
.
,fNxy)-XY
S =:
/
=
Ex yin
40 +
friM
BREX x70470AT
: 2(650)
, 1
, = +
2
f(xMl (x +
- =
xY
+
(1
+
2) +y
& y X
=
x ** flood
f(x x) (H2)4 > 0 =
+
, =
# y -X
=
f(x - x) = - x + (1 + 2) 4x10 = f(0 %)
.
.
fixy) Ti FRIE.
: Ye 10.0)【例10.3.2】 求函数z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 的极值.
# 4x 00
(2x 2x - 2 =
: = -
G
Ey 44
24 0
2x =
= - -
44
4x
y(0
0 -8 = - = 0 = x =
*
=> 4 - 3X = 0 =S S X = - 1
y -
=
zx 12x2 Ex zyy
2 2 12 y
- = - = 2
= -
E (xM) = (1 . 1) Af , A = 10 B = 2 C = 10
f(() 4 E GE
Ac 13 A70 : -2 -
> =
-& Myl (1 - 1) AJ A = 10 B = -2 C = 10 ACB20A2O
= . , . ,
f(xy) PERdE
~ fr : 1) = -2 E -
= (xy) 10 0) AfA = - B = + c = 2 Al-B = 0 EX
= . ,
. .
flad
= 0
X y" x 2xy y
z = + - - -
f(x 4x f(x
x) 2x Ex + 0At X)<0 flo 0
, = - , = .
,
f(x 2* f(a0)
-X) = > 0 =
,
fix)
fiod 5 FRE
: = 0
.【例10.3.3】 求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2 y − 4z − 10 = 0确定的函数
z = f (x, y)的极值.
# : / F(x - Y . z) = x + y + z2 - 2x + 24 - 42-10
-Fz
↳ 2X - 2 X 1
-
= -
= - = O
/ & 2 22 - 4 z -2
2y +
= y+ /
- = - 0
-- =
22
-
4 z -2
y=
1.
=> x =
27
5Z (2 -2) (x - 1) - 2z X- 37
- ox
= -
=-
2x* (z - 2) axay (z - 2) 2 -y
(4t1)
Z
(z -2)
-
= -
2)2
2yz (z
-2
5Z (z -2) (x - 1) - 2z X- 37
-
= -
= -
2x* (z - 2) axay (z - 2) 2 -y
(4t1)
Z
(z -2)
-
--
: 2)2
sy (z
-
SEXTE
E x = 1 Y = -1 = z = 6 z = -
.
.
casel Ex = 1 Y = 1 z = 6
. , ,
G B
A B c Al #Ado
=- = 0 = - -
,
FRE
(1 1) 6 E
: z - =
. .
E
case? X = 1 , Y = 1 z = z
. ,
I
# Al-B
A B #
A 30
= = 0 C = ,
Ed
: z (1 + ) = 2
- .
.题型二：条件极值与最值的问题(★★★★)
1. 条件极值 函数z = f (x, y)在条件(x, y) = 0下的极值，称为条件
极值，其中 f (x, y)称为目标函数，(x, y)称为条件函数.
2. 条件最值 函数z = f (x, y)在条件(x, y) = 0下的最大、最小值，
- z fixry)
- =
称为条件最值.
=
""
axy
---- =-
-3.条件极值的求法
法一、条件代入法：如果(x, y) = 0可解出 y = y(x)或 x = x( y)或化成
x = x(t)
参数方程 ，则可将其代入到z = f (x, y)变成一元函数，然后利
y = y(t)
用一元函数求极值的方法求解.
法二、拉格朗日乘数法：构造辅助函数F(x, y,) = f (x, y) +(x, y),
F(x, y) = f (x, y) + ( x, y) = 0
x x x
其中为某一常数 然后解方程组 F(x, y) = f ( x, y) + ( x, y) = 0 ，
y y y
(x, y) = 0
(7x
解出驻点(x , y , ) 则其中( x , y )就是所要求的极值点 条件极值问
0 0 0 0 0
题的难点往往在于求解方程组。解题思路：条件极值的求法
思路 1——条件代入法
思路 2——拉格朗日乘数法
Es ETEEL FBI BEA
S :0 Sir No . .
T
T ,
fix)
②
R IT E
:
(20)
finy f(x In fixy)
fix) 5 P 4) 5 T
-
fixM) ** /T
f(x) 5
I
fix)
5 T
FNU)【例10.3.4】 求函数u = x m y n z p 在条件 x + y + z = a(m 0,n 0, p 0,
x 0, y 0, z 0)下的极大值.
/F(x Y z x) y * y ?
zP
+ x(x+y+ z - a)
B =
- = - , ,
y m y"zP
Fx + x = 00
=
m.
I ! zP
y
Fy n - y - + x = 02
=
y4zP
Fz p y + x = 0
.
= .
Fx ⑭
= x+ y + z - a = 8
Yy"zP y4zP
2
D - ② = m . = n . x = m . y = uX
=> y x
=%zH
* YzP 2.
0 0 = mix = P . x = mz = PX
.
x
= z
=
(x0
= x +
x+ x - a = 0
aP
am an
Y Z
X =
=> = =
-
m+ n+P
m+n+P m+n+ P
P
(amap)
EFE
U
=> =
+h+Pmn! pP
am
=
+P
Pymth
Cr+h+【例10.3.4】 求函数u = x m y n z p 在条件 x + y + z = a(m 0,n 0, p 0,
x 0, y 0, z 0)下的极大值.
* ? zP x(x
is =: F(x . % . z x) = In x y + +y + z - a)
,
=
m.
(nX
+
u(ny
+
P(nz
+
x(x +y+z
-
a)
Fx = x = 0
+
=
I
M
Fy
+ x 0
=
= j
Fa
+ x 0
= =
#x
= x+ y+ z - = 0 x2 + y2 − 2z2 = 0
【例10.3.5】 已知曲线C : ，求
x + y + 3z = 5
C 上距离 x O y 平面最远
点与最近点．
, ,
T
B
CIIE-ig (Yiz) EM XOY d
G
(z)
d
=
z x(x y 2zi
↑ FI z x M) = + + -
+M((x+y
+ 3z -
5)
,
. ,
#x
2xx + M = 0 ①
=
I
Fy
②
= 2xy + u = 0
#
= 4xz ③
2z - + 3M = 0
#x = X + y - 2z = 0 ⑭
Fu = x + y + 3z - 5 = 0 ⑤#x
2xx + M = 0 ①
-
I
Fy
②
= 2xy + u = 0
#
= 4xz ③
2z - + 3M = 0
#x = X + y - 2z = 0 ⑭
=I n = x + y + 3z - 5 = 0 G
D
0
=
2x(X
-
y) =0
-
casel Ex = 0 Af , D = M = 0 B = z = 0 # B = x = 4 = 0
.
EM
XE
AJST
Ex .
,
X
casez
Ex
=
#J D = z
=
= z
=
Xz
=
-X
.
* x= y = z #5 , # = x = y = z = 1
# x= y = zA5 #B - X = 5 y = 5 z = 5
,(1) 1
&
=
=
(1 1 1)
. .
15) 5
d(5 = =
5 5)
, ,
BEX01 F (1 1 1) drim /
=
(I . .
: ,
2 ( -5 -5 5) dmax
5
, , =题型三：求区域D的最值(★★)
解题思路——z = f (x, y)最值可能在 D 内也有可能在边界之上，求法如
下：
第一步：令 f (x, y) = 0, f (x, y) = 0，解出
x y
D 内的驻点；
第二步：在区域D的边界(x, y) = 0上求出条件极值点；
第三步：比较以上所有点的函数值大小，最大的即为最大值，最小的
-
就为最小值.
--------
-
·Toyo
-
&【例10.3.6】 设 f (x, y)在有界闭区域 D 上有二阶连续偏导数，且
2 f 2 f 2 f
+ = 0， 0，则( )．
x2 y2 xy
(A) f (x, y)在D的内部取得最值
(B) f (x, y)在D的边界取得最大值与最小值
(C) f (x, y)在D的内部取最大值，在 D 的边界上取最小值
(D) f (x, y)在D的内部取最小值，在 D
B
的边界上取最大值
*
= 0 = VN) A + 1 = 0 to B + 0
y ,
B c - B DIAER
( Y) Al- <0
= - :
= ,
B【例10.3.7】 求二元函数z = f (x, y) = x2 y(4 − x − y)在直线 x + y = 6与
x 轴、 y轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值．
↑
(7 5 ↑
# DIA
.
X+
4 =6
D
fo 2x Y (4 -X - y) - xy = xy(8 - 3x - 2y) = 0 ⑪
= . .
&
3
fy x(4 y) x y x(4 00
- x - - = - x - zy) =
=
# . D . G = /x => X = 2 y = /
,
# #J flo t EXE
X=0 = 0
,
f(x
& 7 =0 AJ . O = 0 E .
,# x+ y 6 At = y 6-X
