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2025第十一章
二重积分第二部分、题型解析
题型一：二重积分的概念与性质(★★★)
一、二重积分的定义 FN1)30
1. 二重积分的几何意义 f ( x, y)d为曲顶柱体体积的代数和.
D
"
2. 二重积分的物理意义 设区域D为一平面薄片，其面密度为
f (x, y)，则 f ( x, y)d表示平面薄片质量的代数和.
D
"D二、二重积分的性质：
性质 3 二重积分的比较定理
定理 1 (x, y) D若 f (x, y) g(x, y)则 f (x, y)d g(x, y)d.
D D
定理 2 如果在D内 f (x, y) 0且D D 则 f (x, y)d f (x, y)d.
1 2
D D
1 2
性质 4 1d = S , 其中S 为区域
D D
D
D 的面积.
性质 7 二重积分的积分中值定理 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续
则在 D上至少存在一点(,)使得 f (x, y)d = f (,)S
D
D三、二重积分的对称性质
1. 奇偶对称性
(1)若D关于 x 轴对称，D 为
1
D
XY
-
的上半部分，则
VX
0, f (x,− y) = − f (x, y)
f (x, y)d= .
2 f (x, y)d, f (x,− y) = f ( x, y)
D
D
1
(2)若D关于 y轴对称， D 为D的右部分，则
1
0, f (− x, y) = − f (x, y)
f (x, y)d= ．
2 f (x, y)d, f (− x, y) = f (x, y)
D
D
1
C(3)若D关于原点对称，设D 为
1
D 的上半平面或右半平面，则
( ) ( )
0, f − x,− y = − f x, y
( )
f x, y d=
.
( ) ( ) ( )
2 f x, y d, f − x,− y = f x, y
D
D
1
↑
-
S
(-X
-
y)
.
.2. 轮换对称性 如果D关于 y = x对称，则 f (x, y)d = f ( y, x)d.
D D
fixm) =
axay fixay
it
解题思路——小题居多，往往利用二重积分的概念、性质、对称性、
二重积分中值定理等方法解决. Y X
=
/ x =
1
y
+
↳
/ fixmaxay / filxlaxay X = 0
= D
y
= 0
&【例11.1】 设D 是圆域D = {(x, y) | x 2 + y 2 1}的第
k
k 象限的部分，记
I = ( y − x)dxdy,则( B ).
k
D
k
(A)I 0 (B)I 0 (C)I 0 (D)I 0
1 2 3 4
y X
=
↑
Da
1 x0ey) xE)
-
V
Da Di
i -
V
!1-xiaxay &
In
> 0
=
Ds D4【例11.2】 设D = {(x, y) | −ln x y ln x,1 x e}， f (x)是连续的奇
函数， g(x)是连续的偶函数，下列正确的选项是( A ).
(A) f ( y)g( x)dxdy = 0 (B) f (x)g( y)dxdy = 0
D D
(C) [ f ( x) + g( y)]dxdy = 0 (D) [ f ( y) + g( x)]dxdy = 0.
D D
Y JE =
InX
DIA
↑
,
I
f(-y) f(y) fiylgaxay
(A) . 91x) = - . 9) = 0 =2
,
3
f(x fix
(B) 959) q() F4
. = . I
.
f(x)
(c) f(x) + 91 - y) = + 91) m
Y InX
= -
f( f(y)
(P) -y) + 9(x) = - + 9) FYEH↑
( ) 2 2
【例11.3】 设I = ln 1 + x 2 + y 2 dxdy,I = (e x + y − 1)dxdy,
1 2
D D
I = arctan( x 2 + y 2 )dxdy,且D = {(x, y) | x 2 + y 2 1}，则( B ).
3
D
(A)I I I (B) I I I (C) I I I (D)I I I
3 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 3
B 0 = t = E + Y = / #J In (1 ++) et-1 arseat
. . ,
flo)
/ fit) In C t)-arctat
= + = o
,
fith it I oct 21 AJ It CHE fitt find
= = 0
,
,
It ,
fitl flo Infitel
: - = 0 : = arctet& et-1-arstit 910)
git) = 0
=
,
1
↑
git et 30 914
-
= ,
I
It
/ =
0.e-13
911 90) , astant
: > =【例11.4】 设区域D = {(x, y) x 2 + y 2 4, x 0, y 0}， f (x)为D上的
a f ( x) + b f ( y)
正值连续函数，a,b为常数，则 d =( 1 ).
f (x) + f ( y)
D
ab a + b
(A)ab. (B) . (C)(a + b). (D) .
2 2
a fix th fill
a E Fab ↑ y =X
1.
at
F Fy)
+
2
b
= + /
)
21
:. art
.
# Fy)
+
cat Fin
I + b) x(xyx2)
dr ( (a b)7
= = + = +
#
+ 4)
a+ b
= I T
=
2【例11.5】 设函数 f (x, y)在D = {(x, y) | x 2 + y 2 r 2 }上连续，且
r
f (x, y)dxdy
D
f (0,0) = 2.那么lim r = .
↑
r2
r→0
EY)ED SE (5
# ↑ r 4)
, · .
- N
&
f(
↓ fixlaxay ? )
xr ,
=
)
M =
I
T
~
=
floo
i 272
= =题型二：交换积分次序(★★★)
解题思路——当题目要求将累次积分换序，或者累次积分在当前积
分次序下计算不出来时，要想到交换积分次序，其步骤为：
1. 画出积分区域：先画后积的累次积分的区域，再画先积的累次积
分的区域，两者相交部分即为积分区域 D .
2. 交换积分次序之后，重新写出累次积分.2 x+2
【例11.6】 设 f (x, y)是连续函数，则二次积分 dx f (x, y)dy等于
2
−1 x
( ).
B
2 y+2 1 y 4 y
(A) dy f ( x, y)dx (B) dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx
2
−1 y 0 − y 1 y−2
2 y 4 y
(C) dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx
x y = x+ 2 0(2 , 4)
0 0 2 y−2
i
S
2 y 4 y−2
(D) dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx
1 1 2 1 (1) - ---D-y---y =
x
=
S
75 /1 fixy) axay Y
= ic
I
-
Day 1ayfixmax
fixm)ax
+
=1 1
【例11.7】 计算 dy x3 + 1dx =_________.
0 y
↑
TB / (1 1) Y=
x 1 axay .
= +
A
-=
y
-
/
*
11(p)x=
(jax/
x ay
+1
= 3
.
N
( x
ax
= .
/ ! d(x 1)
+
=
(E)
=(E
+x 1)
= -
=题型三：二重积分的计算(★★★★★)
1. X −型区域下二重积分的计算
第一步(先积 y)作一条直线自下而上穿过 D ，穿入作
(x)
下限，穿出作上限得 2 f (x, y)dy.
(x)
1
第二步(再积 x )再继续从 a 到 b 积分对 x 积分，则
b (x)
f (x, y)d= dx 2 f (x, y)dy.
a (x)
1
D2. Y −型区域下二重积分的计算
第一步(先积 x )作一条直线自左向右穿过D，穿入作
( y)
下限，穿出作上限得 2 f (x, y)dx.
( y)
1
第二步(再积 y)再继续从 c 到 d 积分对 y
79
积分，即
d ( y)
f (x, y)d= dy 2 f (x, y)dx.
c ( y)
1
D3. 利用极坐标计算二重积分 当积分区域为圆形区域或者环形区域
2 2
时，或被积函数为 f (x + y )时，考虑用极坐标系积分. 在极坐标下，
x = cos, y = sin,d= dd.
第一步(先积)：从极点引一条射线穿过 D
D
，穿入作下限，穿出作上
()
限得 2 f (cos,sin)d.
()
1
第二步(再积)：再继续从到对积分，
于是
()
f (x, y)d= d 2 f (cos,sin)d
()
1
D4.平面薄片的质心 设平面薄片的质心坐标为(x, y)，面密度为
(x, y)，则质心公式：
x(x, y)d y(x, y)d
x = D y = D
(x, y)d ( x, y)d
D D
5.平面薄片的形心 设平面薄片的形心坐标为(x, y)，则平面薄片的形
心公式：
xd xd yd yd
x = D = D y = D = D
1d S 1d S
D D
D D
xar 14 ar
Sp
E y Se
= . = .解题思路——二重积分的计算步骤如下：
1. 先画出积分区域.
2. 根据积分区域的特点，利用奇偶对称性、轮换对称性或者换元进行
化简.
3. 选用合适的坐标系及积分次序进行积分. 如果是 X −型区域或Y −型
区域可以选用直角坐标系积分，注意选择积分序是先考虑积分区域积
分的便利性，再考虑被积函数积分的便利性；如果积分区域由圆或圆
2 2
环类曲线组成或被积函数为 f (x + y )，则可用极坐标积分.
【例11.8】 设 D 是由曲线 y = sin x, y = 1, x = − 围成的闭区域, 计算
2
( )
2 2
1 + ye−x −y sin xdxdy.. "
1
D y=
N
EFAME Y WEE O] rD D21 &/ -D-i
< =- SMX IlD
. . S
I
Da >
-
* D 5 D2 X =
,
Ex
= / (smx+ Smx y axoy T
.
. X=-
z
*
-dxy
+
(snx+ Sax
.
y . E
2 suxay
+ 2 dX
suxaxay suxaay
= o = =
2/
2/itsm/dx xz -
Smijax -2x +
= = - = =
【例11.9】 已知平面区域D = (x, y) | y − 2 x 4 − y2 ,0 y 2 , 计算
(x − y)2 N
c+
=
I = dxdy. 2 y 4
P
x2 + y2 = Sho-10Y = X+2
D (P 2)
Di =
Da
+
=
2 xay xay
I
Fas
a
pa pa
1050-2cocosmotshal do
1 2 2
=n + C-oSO-SMO( dO
010)
CSO+
-
= 27 - 2
.【例11.10】 设有界区域由直线 y = 1, y = x, y = − x围成，计算二重积分
2 2
x − xy − y
↑
dxdy.
x 2 + y 2 ( ll 4 = 1 (11)
.
D
&
-
-
y Di
(x -
73
= - Plaxay y =-X
T
yY =X
-
x y2
Y
2/ X
2 avay 0
= - = xay
Elaxay 4x axay
(1
1
= 2 - = -
4/jay/
4) y2 arctat ?
75
35 - : = 1 - dX = 1- any
(64 (
01dy -
= 1 4 . - = 135
X
= = ↑
( ll 4 = 1 (11)
.
4/axay
7
1 ->
=
- -
Di
-
y =-X y =X
T
4) also
so
1 e
= -
2 y 1
=
so El PsnO = 1
/
1
=
-
E1 sud
=
sto R
laz I
= -- 00 1 -2 S-m
=
do
&
sio
-
-
=
.题型四：分段函数的二重积分(★★★)
f (x, y), (x, y) D
1 1
解题思路——如果被积函数 f (x, y) = 为二元分段
f (x, y), ( x, y) D
2 2
函数，其中D D = D，则
1 2
f (x, y)d= f (x, y)d+ f (x, y)d. 这种分段函数的二重积分
1 2
D D D
1 2
关键在于要在D内找到 f (x, y)的分界线，从而对 D 正确的划分成D 和
1
D 然后分别积分.
22 2
【例11.11】 计算二重积分 e max{x ,y } dxdy，其中
D
D = {(x, y) | 0 x 1,0 y 1}
(1 1)
X
.
I
y=X
etay
* u2 x
emaxixinaxay = +
↓ ,
e axay i
D2
**
42
D
=
&
*
etaxay Ferixyl
&
e axy I
73 21 evaxay So ax ( + * lo1 exxax
2
2 =
= = e ay
*
=a e
x
=【例11.12】 设D = {(x, y) | x2 + y2 2, x 0, y 0}，[1+ x 2 + y 2 ]表示
不超过1+ x 2 + y 2 的最大整数，计算 xy[1 + x 2 + y 2 ]dxdy.
D
0 =E +Y HE
DIA 1 = H = Y
+
[
, ,
Xya/
=H Y P
In + ] I 1, + 2 E) 0 : , L
: =
Dxty
=1
HY HE1EXTME
Dz
2 = 3
2
,
TB /47 This 1144 Ex y')
= · axay + . + axay
1 x4 axay 112xY
axy
+
=
,
do
↳
not piosopshopap I
I + 2 Posopso Pap
,
=
E k
+
=
