(34)-高数15多元函数微分学的计算笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章 多元函数微分学第二节 多元函数微分学的计算本节要点题型一：多元复合函数的偏导数与全微分(★★★★) 1 外层为多元函数内层为一元函数的情形 U f z X = 设z = f (u,v)，其中u = u(x),v = v(x)，则 v   z(x) = f (u,v) u(x) + f (u,v) v(x). u v 2. 外层为多元函数内层也均为多元函数的情形 U x - f z 设z = f (u,v), u = u(x, y), v = v(x, y)，则 = Xy ~   z (x, y) = f (u,v) u (x, y) + f (u,v) v (x, y), x u x v x   z (x, y) = f (u,v) u (x, y) + f (u,v) v (x, y). y u y v y3. 外层为多元函数，内层既有一元函数 又有多元函数的情形 设z = f (u,v)，u = u(x, y)，v = v( y)，则 U X z f  = z (x, y) = f (u,v) u (x, y), Y x u x   z (x, y) = f (u,v) u (x, y) + f (u,v) v( y). y u y v Y f 4. 外层为一元函数，内层为多元函数的情形 z = u - Y 设z = f (u)，u = u(x, y)，则   z (x, y) = f (u) u (x, y)， z (x, y) = f (u) u (x, y). x x y y fr fu(ur) E fluir) FERT 1273 IE D SEE] 52 : = . Ri JEE EEFEN 1 2 ② . EfI fr ③ f(x xy) 14 T Tit , , ,解题思路——如果求多元复合函数的偏导数或全微分，基本思路是利 用多元复合函数的链式求导法则来计算. 也可以用全微分的形式不变性 求解.x y 【例10.2.1】 设z = f (xy, ) + g( )，其中 y x f , g 有连续二阶偏导数，则 X xY  2z (Fi filf" = x 199 = ______. u , y xy Y frgt 07 fi y + . = 2X 57 [fi fix( *)] y fi [fr. fi ] y x + - - + + x + · = axay : fr( i) 9. (*) 9 + - + - fir-tyrfh-9"-9 fixy fi -E + =( ) 【例10.2.2】 函数u = f x2 + y2 + z2 具有二阶连续导数,则计算 Y  2u  2u  2u + + . (lu x2 y2 z2 f r Y = - Z (2 xi y z V + + = &X au f = 2X 2 Xy + z2 + DX EME -X 5 2 . xy f! 25 f"( X I + = & 8X M x 42 z2 x + y2 + z2 + + 22 f y4z f"x = + - y z2 + (x2 y z'2 + +f : z = f z y + - (x2 y z'2 + + u 2 o f f x + + = Reques (x y2 z4 + + y ju zz fix+ f + = xy z (x y z 2z2 + + + + y zi fi2(X + + 84 an f" : & + = + 2 zi oxs (x y + + 2 f" f x = + yz z + +2 2  f  f 【例10.2.3】 已知 f (u,v)具有二阶连续偏导数,且满足 + = 1,又 2 2 u v  x2 − y2   2g  2g u = XY Y g(x, y) = f xy, ,求 + . 9 f   = 2 x2 y2   x y Y V = 2 = fu fr.x 69 fax - for + & fir (fin -y fix) fr Hin-Y x) Y x + + + + . . fin-y" fir fir x fr xy + 2 + + = 39 (fiax-fy) fr %- Hinx-fir4) X- - = . 2yz fin-x-2 fr firxy fir.y" + = - : xzy2 = fun(x + y + fir ( + yy = fin + ful . ( + +2) =题型二：求多元隐函数的导数、偏导数或全微分(★★★★) 一、隐函数的存在性 1. 二元方程F(x, y) = 0的隐函数存在定理 (Y # au + E Fio EY (14) = =- , , Fy aX + (X) 2. 三元方程F(x, y, z) = 0的隐函数存在定理 E (4 . 77 * Fz + 0 Ez = z (Y) . , =- F2 2X (x 7 . 2Z Fy =- af Fz二、多元隐函数的偏导数计算 情形 1、一个方程型 若F(x, y, z) = 0确定了一个二元隐函数z = f (x, y),则 法一：直接求导法 F(x, y, z) = 0两边对 x 求导，z = z(x, y)要对 x z 复合求导，然后解出 ； x z 同理解出 . y 法二：公式法 ( F) z F z F y 若F  0，则 = − x ， = − . z x F y F z z法三：全微分法 利用全微分的形式不变性，对F(x, y, z) = 0两边同时 求微分，则可以解出 d z z z .又因为dz = dx + dy，则可同时解出 x x z z , . x x z z 注：若求隐函数的二阶偏导数，则只能对 和 用直接求导法. x y情形 2、方程组的情形 u u v v 设有 2 个四元方程F(x, y,u,v) = 0G(x, y,u,v) = 0，求 , , , . x y x y 直接求导法 方程组同时对 x U unx+) V = USxy) = 求偏导，u,v看成 x, y的二元函数， y看成  u v F + F + F = 0,   x u x v x 常数，得方程组： ，随后可解方程组求出 u v  G + G + G = 0.  x u v  x x u v , . 同理，方程组同时对 y求偏导，u,v看成 x, y的二元函数， x 看 x x u v 成常数求出  . y y【例10.2.4】 设有三元方程 xy − z ln y + e xz = 1，根据隐函数存在定 理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程( D ). (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z = z(x, y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y(x, z)和z = z(x, y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z)和z = z(x, y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y, z)和 y = y(x, z) & F(x.. z) xY-zIny + exz - / = #x(0 94z . 1 . 1) = y + z . col 1) = 2 0 => X = X (4 . 2) . # /) * (10 10 . ! . = X - 1 1) = - 1 + 0 = E y = 4 ( , z) . . # (0 . 1 . 1) = - luy + x +* 2 10 1 1) = 0 = TE Z = ZIXY) . .【例10.2.5】 若函数z = z(x, y)由方程ex+2y+3z + xyz = 1确定,则dz = (0,1) _________. E /Ex z10 1) Y = . = - x=0 = . +2y +3z ex /a F(x % z) xyz / 35 - = - . = + - Fx x+24+ 3z 42 I e + / 10 = - -- - 5 27 . 1 . - ) Fz 394 + 24+32 x410 1 -5 + . . 27 Fy + 24+32 2ex Xz 5 + -5) 24 co l = - = - = - . . Fz x+2y+ 32 5) 3 e xy(0 1. - + . delian = x - : =【例10.2.5】 若函数z = z(x, y)由方程ex+2y+3z + xyz = 1确定,则dz = (0,1) _________. E 35 E = = m 3z + + dex d(xyz) => + = 0 + 2y+32d(x => ex +2y+ 3z) + yzdX + Xzdy + Xydz 0 = M + +3z(ax ex => + 2dy + 3dz) + yzdx + Xzay + xydz = 0 5 ↑ xX = 0 y = 1 z = - . , 3dX 5dx => dX + 2x + 3dz - = 0 = + 2dy + 3dz =0 az-dX- =>【例10.2.6】 设z = z(x, y)是由 x 2 − 6xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 + 18 = 0确定的  2z 函数，求 . xy ↑ FIX Y zl X 6xy + 104" - 2yz - 22 + 18 . . = - Fx 5 34 27 2x - x - = - = - = Fz OX 24 22 y+ z - - F 27 - 6X + 201 - 2z - 3x + 104 - z =- = - = al Fz 24 - zz y +z -27 x - 34 - 3x + 104 - z - = - - 2x y+ z y +z 34)(1 =) (4 z) (X + Z - 3 . + - - I 2xay (4+ z)2 104 - 3x + - z) 34)(1 >(4 +z) (x - + - - = y +z z)2 (y+ 2) (x 34)(1(y 3x) 3(4 + - - =- - z13 (4 + u = f (ux,v + y), 【例10.2.7】 设 其中 f , g具有一阶连续偏导数，求 v = g(u − x,v2 y),  u v , . Eu = un - y)V = VW y) x y X GX 1 + G 2X z = D E . , = 24 * 1 27#J25X Gr Xi Dz GriXz = su filex 4) f + + 1ball = E 2X x = 2 9) 1) 92y + = - 2x I x -fr = (1-Xfil G fin => . = & I I - 9 Oh +G-fr (1-Xfil fin O => . = & I 9 C Ry = + fin fu - 9 20yqi-1 fin(2ry -11 frg , 24 + .: = I XX fr 1-Xfi - (1 - x fil (2 Vy92-1) + fr: 9! . 9 20492 of fil 1- ! su 9 , 9, xfil 9 9 fic C1- . - - I &X 1-Xfi fr I - ! (1 Xfi) (2vy92-1) fr ! - + 9 . · 9 20yq-z eXM+ de" e an & = = f(x+ M+3z) = ((x + 2 + 3z)CASE 01