2025第十二章
无穷级数第二节
幂级数第二部分、题型解析
题型一：幂级数的收敛性(★★★)
1.幂级数： a xn = a + a x + a x2 + + a xn + 称为
n 0 1 2 n
n=0
x = 0 处的幂级
数； a ( x − x )n 称为
n 0
n=0
x = x
0
处的幂级数.
2.阿贝尔定理3.收敛半径与收敛区间 如果级数 n
= 0
a
n
x n 不是仅在点 x = 0一点收敛 也
不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 R存在 使得
(1)当 x R时幂级数处处绝对收敛
(2)当 x R 时幂级数处处发散
(3)当 x = R 与 x = − R 时幂级数敛散性不确定 正数 R 通常叫做幂级数
n
= 0
a
n
x n 的收敛半径 开区间 ( − R , R ) 叫做幂级数 n
= 0
a
n
x n 的收敛区间解题思路——求幂级数 n
= 0
a
n
x n 的收敛半径与收敛域
a
第一步：求lim | n+1 |= .
a
n→
n
第二步：求收敛半径 R
a
，如果lim n+1 = 则
a
n→
n
R
1
0 ,
,
,
0
0
=
+
=
=
=
+
.
第三步：判断幂级数在 x = − R , x = R 处的敛散性，从而得到收敛域是
( − R , R ) 或 [ − R , R ) 、 ( − R , R ] 、 [ − R , R ] 之一.
如果求 a ( x − x )n 的幂级数，应先换元
n 0
n=0
t = x − x
0
，然后再计算.结论 1 如果级数为 n
= 0
a
n
x a n + b ，则收敛半径 R
a
1
= .
结论 2 如果级数 n
= 0
a
n
x
0
n 与 n
= 0
a
n
( − x
0
) n 的敛散性不同，则| x |= R.
0
结论 3 如果级数 n
= 0
a
n
x
0
n 条件收敛，则 | x
0
| = R .
结论 4 n
= 0
a
n
x n 的收敛区间关于 x = 0 对称； n
= 0
a
n
( x − x
0
) n 的收敛区间
关于 x = x 对称.
0
【例12.2.1】 已知幂级数 a ( x + 2 )n 在 x = 0处收敛，在 x = −4处发
n
n=0
散，则幂级数
n
= 0
a
n
(
x − 3
) n
的收敛域为 . 【例12.2.2】 设数列 a 单调减少，
n
ln i→ m
a
n
= 0 , S
n
= k
n
= 1
a
k
( n = 1 , 2 , )
无界，则幂级数 n
= 1
a
n
( x − 1 ) n 的收敛域为( ).
(A) ( − 1 , 1 ] (B) [ − 1 , 1 ) (C) [0,2) (D) (0,2]【例12.2.3】 若级数 n
= 0
a
n
x n 在 ( − 4 , 4 ] 上收敛，则级数 n
= 1
a
n
n x n 的收敛半
径及级数 n
= 1
a
n
x 2 n 的收敛域分别为( ).
(A)4,[−2,2]; (B)4,[−2,2); (C) + , ( − 2 , 2 ] ; (D)4,(−2,2].【例12.2.4】 求级数 n
= 1
(
x
n
−
4
2
n
) 2 n
的收敛域.题型二：求幂级数 n
= 0
a
n
x n 的和函数(★★★★★)
1.幂级数和函数的性质
性质 1 幂级数 n
= 0
a
n
x n 的和函数 s ( x ) 在其收敛域 I上处处连续
性质 2
0
x
s ( x ) d x =
0
x
( n
= 0
a
n
x n ) d x = n
= 0
0
x
a
n
x n d x = n
= 0
n
a
+
n
1
x n + 1 , ( x I ) .
性质 3 s ( x ) = ( n
= 0
a
n
x n ) = n
= 0
( a
n
x n ) = n
= 1
n a
n
x n − 1 ( | x | R ).
注：逐项积分或求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径但
在收敛半径的端点处敛散性可能发生变化.2. 一些常见的幂级数的和函数
(1) 等比级数 n
= 0
x n =
1 −
1
x
, ( − 1 x 1 ) .
(2) 泰勒级数
n
= 0
n
1
!
x n = 1 + x +
2
1
!
x 2 +
n
1
!
x n + = e x , ( − x + )
n
= 0
( − 1 ) n
( 2
x
n
2 n
+
+ 1
1 ) !
= x −
x
3
3
!
+
x
5
5
!
− + ( − 1 ) n
( 2
x
n
2 n
+
+ 1
1 ) !
+ = s i n x , ( − x + )
n
= 0
( − 1 ) n
(
x
2 n
2 n
) !
= 1 −
x
2
2
!
+
x
4
4
!
− + ( − 1 ) n
(
x
2 n
2 n
) !
+ = c o s x , ( − x + ) n
= 1
( − 1 ) n − 1
x
n
n
= x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ + ( − 1 ) n − 1
x
n
n
+ = l n ( 1 + x ) , ( − 1 x 1 )
=
n
=
1
0
+
m
m
( m
x
−
+
1
m
)
( m
n
2
!
−
!
( m
1 )
−
x
n
2 +
+ 1 )
+
x n
m ( m − 1 )
n !
( m − n + 1 )
x n + = ( 1 + x ) m , ( − 1 x 1 ) .
解题思路：求幂级数 a xn 的和函数是重要题型，其思路为：
n
n=0
思路 1——如果 a
n
中不含阶乘，应考虑将幂级数转化成等比型幂级
数，方法如下：
第一步：求幂级数 n
= 0
a
n
x n 的收敛域，作为其和函数的定义域.
第二步：令 s ( x ) = n
= 0
a
n
x n .
第三步：通过逐项积分或逐项求导消掉 a
n
中的n，化成等比型幂级数
并求其和函数.思路 2——如果 a
n
分母中含有阶乘，则应考虑消掉 a
n
分子中的 n ，转化
成泰勒级数. 如果 a
n
分母为 n ! ，则将级数凑成 e x 的展开式；如果 a
n
分母
为 ( 2 n + 1 ) ! ，则将级数凑成sin x的展开式；如果a 分母为
n
( 2 n ) ! ，则将
级数凑成 c o s x 的展开式.
思路 3——如果 n
= 0
a
n
x n 不易凑成等比级数也不易凑成泰勒级数或者是
抽象型幂级数，则考虑对s(x) = a xn 求导，找到
n
n=0
s ( x ) 所满足的微分
方程，通过微分方程求解和函数 s ( x ) .【例12.2.5】 求幂级数 n
= 1
n
x
n −
3
1
n
的收敛域及其收敛域上的和函数。【例12.2.6】 求幂级数 n
= 0
4 n 2
2
+
n
4
+
n
1
+ 3
x 2 n 的收敛域与和函数. (n + 1)2
【例12.2.7】 求幂级数 xn 的和函数.
n!
n=04 6 8
x x x
( )
【例12.2.8】 设级数 + + + − x + 的和函
2 4 2 4 6 2 4 6 8
数为 S(x). 求：(I) S ( x ) 所满足的一阶微分方程；(II) S ( x ) 的表达式.【例12.2.9】 设数列 { a
n
} 满足条件：
( n 2 ) , S ( x )
a
0
= 3 , a
1
= 1 , a
n − 2
− n ( n − 1 ) a
n
= 0
是幂级数 n
= 0
a
n
x n 的和函数，证明：(1) S ( x ) − S ( x ) = 0 ,(2)求 S ( x ) 的表达式.题型四、求常数项级数 n
= 0
a
n
b n 的和(★★★)
解题思路：求常数项级数 n
= 0
a
n
b n 的和应将其转化成幂级数求和问题：
第一步：将数项级数通项表达式中的bn 中的 b
换为 x 得到幂级数 a xn
n
n=0
第二步：求出幂级数 a xn 的收敛域
n
n=0
I 与和函数 s ( x ) .
第三步：如果b I , 则常数项级数 n
= 0
a
n
b n 的和即为 s ( b ) .【例12.2.10】 求级数 n
= 1
( − 1 ) n − 1
2
n
n
2
− 1
的和.题型五：函数展开成幂级数(★★★)
解题思路——函数展开成幂级数 如果要将函数 f (x)展开成 x 的麦克劳
林幂级数，有两种方法：
方法 1：直接展开法(了解)
(n)
第一步：求出 f (0)
第二步：代入麦克劳林得
f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) x +
f
2
(
!
0 )
x 2 + +
f ( n
n
) (
!
0 )
x n + .
第三步：求出幂级数的收敛域方法 2：间接展开法(推荐)
1. 如果 f ( x ) 可凑成
1 −
1
x
, e x , s i n x , c o s x , l n ( 1 + x ) , ( 1 + x ) m 类函数，可直
接展开成幂级数.
2. 如果 f ( x ) 不是上述几类函数，可考虑先积分(求导)展开后再求导(积
分).
3. 如果 f ( x ) 要展开成 ( x − x
0
) 的幂级数，先换元 t = x − x
0
，然后将函数
展开成 t 的幂级数，再将t = x − x 回代即可.
0【例12.2.11】 将函数 f ( x ) =
x 2
2
+
x +
x
1
− 2
展开成 x − 2 的幂级数．【例12.2.12】 将函数 f ( x ) =
0
x
l n ( 1
t
+ t )
d t 展开为 x 的幂级数.1 − 2x
【例12.2.13】 将 f (x) = arctan 展成
1 + 2x
x 的幂级数，并求 n
= 0
(
2
−
n
1
+
) n
1
的和．第三节
傅里叶级数（仅数一）第一部分 知识点解析
一、周期为2π的函数展开傅里叶级数
设 f ( x ) 是周期为2的周期函数 则
f ( x ) ~
a
2
0 + k
= 1
( a
n
c o s n x + b
n
s i n n x ) ，其中
a
0
1
f ( x ) d x
=
−
a
n
1
f ( x ) c o s n x d x
=
−
(n=1 2)
1
b = f (x)sinnxdx (n=1 2)
n
−二、利用周期延拓将非周期函数展开成傅立叶级数 设 f (x)只在[−,]
上有定义 可以使它拓广成周期为 2 的周期函数F(x) 在 [ , ] − 内
F ( x ) = f ( x ) ，再展开 F ( x ) .
三、对定义在 [ 0 , π ] 的函数进行奇延拓与偶延拓 设 f ( x ) 仅定义在区间
[ 0 , ] 上，则需要先在 ( , 0 ) − 内补充 f ( x ) 定义 使它在(−,)上成为奇
函数(偶函数)，称为奇延拓(偶延拓)
f ( x )
奇延拓后傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 b sin nx.
n
n=1
f ( x ) 偶延拓后的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
a
0 + a cosnx
n
2
n=1四、周期为 2l的周期函数的傅里叶级数
设 f (x)是周期为 2l的周期函数 则
f ( x ) ~
a
2
0
n 1
( a
n
c o s
n
l
x
b
n
s i n
n
l
x
)
+
=
+ 其中
a
0
=
1
l
−
l
l
f ( x ) d x ,
a
n
1
l
l
l
f ( x ) c o s
n
l
x
d x
=
−
(n= 1 2)
b
n
1
l
l
l
f ( x ) s i n
n
l
x
d x
=
−
(n=1 2)五、狄利克雷收敛定理 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数 如果它满足一
个周期内
①连续或只有有限个第一类间断点;
②只有有限个极值点 则 f ( x ) 的傅里叶级数收敛
并且当 x是 f ( x ) 的连续点时 收敛于 f ( x ) 当 x是 f ( x ) 的间断点时
1
级数收敛于 [ f (x− ) + f (x+ )]
2第二部分、题型解析
题型一、傅里叶级数的收敛性(★★)
解题思路——用狄利克雷收敛定理判断,关键是判断 x 是 f ( x ) 连续点还
是间断点.【例12.3.1】 设 f ( x ) = x 2 , 0 x 1, S ( x )
n 1
b
n
s i n n x =
=
,
− x + ,其中 b
n
2
0
1
f ( x ) s i n n x d x = ( n = 1 , 2 , ),求 S
−
1
2
，
S ( 9 9 ) ， S ( 1 0 0 ) .题型二、 f ( x ) 展开傅里叶级数(★★)
解题思路——先看 f (x)是否需要延拓，并确定 f (x)的周期，再计算
a ,a ,b ，得到傅里叶级数的展开式.
0 n n【例12.3.2】 将函数 f ( x ) = x − 1 ( 0 x 2 ) 展开成周期为 4 的余弦级
数．【例12.3.3】 f ( x ) 1 x 2 ( 0 x ) = − 展开成以 2 为周期的余弦级数，
并求级数
n
= 1
( − 1
n
)
2
n − 1
的和.
