文档内容
2025第十三章
空间解析几何与向量代数第一节
向量与曲线、曲面第一部分 知识点解析
一、 向量的概念
二、 向量的坐标表示法
1. 二维向量 设 M 坐标为 ( x , y ) ，则OM = xi + yj = (x, y).
2. 三维向量 设 M 坐标为 ( x , y , z ) ，则 O M = x i + y j + z k = ( x , y , z ) .
三、向量的线性运算 设有两个三维向量 a = ( x
1
, y
1
, z
1
) 与 b = ( x
2
, y
2
, z
2
) 四、方向角与方向余弦 设 r = ( x , y , z ) 则向量 r 与三个坐标轴的夹角
, , 称为r 的三个方向角，且
c o s
|
x
r |
= c o s
|
y
r |
= c o s
|
z
r |
=
称为则向量 r的方向余弦
向量 ( c o s , c o s , c o s ) 即为与r 同向的单位向量.五、数量积
1.定义: a b = | a | | b | c o s
(
a b
)
=| a | Prj b =| b | Prj a.
a b
2.性质:(1) a a = | a | 2 ( 2 ) a ⊥ b a b = 0 .
3.坐标计算法:设 a =
(
a
x
, a
y
, a
z
)
, b =
(
b
x
, b
y
, b
z
)
,则 a b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
.
( )
4.两向量夹角:设= ab ,则 c o s
|
a
a |
b
b | a 2
x
a
x
a
b
2
y
x
a
a
2
z
y
b
y
b 2
x
a
z
b
b
z
2
y
b 2
z
=
=
+ +
+ +
+ +
.六、两向量的向量积
1.定义: c = a b 是一个向量且
①c的方向与a和b符合右手规则,
②模长 | c | | a | | b | s i n = .
2.性质:(1) a a = 0 (2)a / /b ab = 0.
3.运算律:(1)交换律 a b = − b a
(2)分配律(a + b)c = ac + bc.
(3) ( a ) b a ( b ) ( a b ) ( = = 为常数).4.坐标表示法:设 a = a
x
i + a
y
j + a
z
k , b = b
x
i + b
y
j + b
z
k 则
i j k
a b = a a a .
x y z
b b b
x y z七、混合积
1.定义(ab)c称为向量 a , b , c 的混合积,记作[abc].
2.坐标表示法:设a = a i + a j + a k,b = b i + b j + b k,c = c i + c j + c k 则
x y z x y z x y z
( a b ) c =
a
b
c
x
x
x
a
b
c
y
y
y
a
b
c
z
z
z
3.向量 a , b , c 共面的充要条件是 ( a b ) c = 0 .八、旋转曲面 曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周，得旋转曲面
f ( x 2 + y 2 , z ) = 0 .
九、柱面 只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) = 0 表示母线平行于 z 轴的柱面;十、空间曲线及其方程
F( x, y, z)= 0
1. 空间曲线的一般方程
G(x, y, z) = 0
2. 空间曲线的参数方程
x
y
z =
=
=
z
x
y
(
(
(
t
t
t
)
)
) 3. 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程为
F
G
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
=
=
0
0
,
如果要求 C 在 xOy面上的投影曲线方程，则
第一步：一般方程中消去变量 z 得H(x, y) = 0
第二步：曲线 C 在 x O y 面上的投影曲线的方程为
H
z =
( x
0
, y ) = 0
十一、平面及其方程
1. 平面的点法式方程 已知平面上的一点 M
0
( x
0
, y
0
, z
0
) 及一个法向量
n = ( A , B , C ) ，则平面 的方程就为 A(x − x ) + B( y − y ) + C(z − z ) = 0
0 0 0
2. 平面的一般方程 A x + B y + C z + D = 0
3. 平面的截距式方程 如果平面 与三个坐标轴上的交点为
( a , 0 , 0 ) , ( 0 , b , 0 ) , ( 0 , 0 , c ) ，其中 a b c 0 则平面 的方程就为
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 .4. 两平面的夹角 设平面
1
和
2
的法线向量分别为 n =(A B C )和
1 1 1 1
n =(A B C ) 那么平面
2 2 2 2
1
和
2
的夹角由
c o s | c o s ( n
1
^,
n
2
) |
A 2
1
| A
B
1
A
2
1
2
C
B
2
1
1
B
2
A
C
2
2
1
C
B
2
2
2
|
C 2
2
= =
+ +
+
+
+ +
确定
5.点 P
0
=
(
x
0
, y
0
, z
0
)
到平面 A x + B y + C z + D = 0 的距离公式
Ax + By + Cz + D
0 0 0
d = .
A2 + B2 + C2十二、空间直线及其方程
1. 空间直线的一般方程
A
A
1
2
x
x
+
+
B
B
1
2
y
y
+
+
C
C
1
2
z
z
+
+
D
D
1
=
2
0
= 0
.
2. 空间直线的点向式方程 如果已知直线L通过点 M
0
( x
0
, y
0
, z
0
) 且直线
的方向向量为 s = ( m , n , p ) 则直线L的方程即为
x −
m
x
0 =
y −
n
y
0 =
z −
p
z
0 .
3. 空间直线的参数方程
x
y
z =
=
=
z
x
y
0
0
0
+
+
+
p
m
n
t
t
t
第二部分 题型解析
题型一：向量及其运算(★)
解题思路——根据向量的各种运算方法进行计算.【例13.1.1】 设(a b) c = 2，则 [ ( a + b ) ( b + c ) ] ( c + a ) = ___________.【例13.1.2】 已知 a = ( 1 , 0 , 2 ) ， b = ( 1 , 1 , 3 ) ，d = a +(a b) a. 若 b ∥
d ，则 = ________.题型二、求平面方程(★★)
解题思路：如果要求某平面方程，则
思路 1——找出平面内一点及平面的法向量，用点法式得到平面方程.
其关键是找到平面的一个法向量.
思路 2——如果平面经过原点或某坐标轴，也可用平面的一般式方程
求解.
思路 3——如果已知平面在坐标轴上的截距，可用截距式方程求解.【例13.1.3】 与两直线
y
z
=
x
=
−
=
2
1
1
+
+
t
t
x + 1 y + 2 z − 1
及 = = 都平行，且过
1 2 1
原点的平面方程为____________.【例13.1.4】 求通过点 A ( 3 , 0 , 0 ) 和 B ( 0 , 0 , 1 ) 且与 x o y
面成 角的平面方
3
程.题型三：求直线方程(★★)
解题思路：若求某空间直线的方程，则
思路 1——找出直线上的一点以及直线的方向向量，则可写出直线的
点向式方程.
思路 2——如果直线与两平面都平行，则可通过两平面的法向量的向
量积求出直线的方向向量.【例13.1.5】 求过点 ( − 3 , 2 , 5 ) 且与两平面 x − 4 z = 3 和 2 x − y − 5 z = 1 平
行的直线方程．题型四：判断平面、直线的位置关系(★★)
思路 1——平面与平面之间的关系有相交（垂直是一种特殊的相交）、
平行两种关系，可利用两个平面的法向量之间的关系来判断.
思路 2——平面与直线之间的关系有相交（垂直是一种特殊的相交）、
平行两种关系，可利用平面的法向量和直线的方向向量之间的关系来
判断.思路 3——直线与直线之间的关系有平行、相交、异面三种关系.平行
可用两直线的方向向量的关系来判断，相交和异面可用三向量的向量
积是否为 0 来判断.x − 4 y + 1 z + 2
【例13.1.6】 已知两直线 = = 和
2 3 5
x
−
+
3
1
=
y −
2
1
=
z −
4
3
. 则
它们是( ).
(A)两条相交的直线 (B)两条异面直线
(C)两条平行但不重合的直线 (D)两条重合直线【例13.1.7】 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们
的方程 a
i 1
x + a
i 2
y + a
i 3
z = d
i
( i = 1 , 2 , 3 ) 组成的线性方程组的系数矩阵和
增广矩阵分别记为 A， A ，则( )
(A) r ( A ) = 2 , r ( A ) = 3 (B) r ( A ) = 2 , r ( A ) = 2
(C) r ( A ) = 1 , r ( A ) = 2 (D) r ( A ) = 1 , r ( A ) = 1
