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2025第十二章
无穷级数第一节
常数项级数第二部分、题型解析
题型一：抽象级数敛散性判别的选择题(★★★)
一、级数的概念
1.常数项级数 如果通项u 为常数，则
n
n
= 1
u
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
+ 称为
常数项级数.
2.级数的部分和 s
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
，且u = s − s .
n n n−1
3.级数敛散性 如果lim s = s，则称
n
n→
n
= 1
u
n
收敛；如果lim s 不存在，
n
n→
则称 u 发散.
n
n=1二、级数的性质
性质 1 级数
n
= 1
u
n
与级数 ku (k 0)的敛散性相同
n
n=1
性质 2
n
= 1
u
n
收敛，
n
= 1
v
n
收敛，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 收敛；
n
= 1
u
n
收敛，
n
= 1
v
n
发散，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 发散.
n
= 1
u
n
发散，
n
= 1
v
n
发散，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 不确定.性质 3 级数中增加、去掉或改变有限项 不改变级数的敛散性，但影
响收敛级数的和
性质 4 级数中把括号去掉会使级数易发散；如果级数任意加括号会使
级数易收敛.
性质 5(级数收敛的必要条件)如果 u 收敛 则limu = 0
n n
n→
n=1
逆否命题：如果limu 0，则 u 必然发散.
n n
n→
n=1性质 6
n
= 1
u
n
绝对收敛，
n
= 1
v
n
绝对收敛，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 绝对收敛；
n
= 1
u
n
绝对收敛，
n
= 1
v
n
条件收敛，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 绝对收敛；
n
= 1
u
n
条件收敛，
n
= 1
v
n
条件收敛，则
n
= 1
( u
n
v
n
) 敛散性不确定；
n
= 1
u
n
收敛， v 发散，则
n
n=1
n
= 1
( u
n
v
n
) 敛散性不确定.
n
= 1
u
n
发散， v 发散，则
n
n=1
n
= 1
( u
n
v
n
) 敛散性不确定.三、一些已知敛散性的级数
1.p-级数
n
= 1
n
1
p
2.交错 p-级数
n
= 1
(
− 1
) n
n
1
p
3.等比级数 n
= 1
a q n
1
4.
n(lnn)p
n=2解题思路：在选择题中，经常给定几个抽象级数，来判断其敛散性，
则
思路 1——举反例排除法：可举满足条件的一些具体级数推翻最终的
1
结论，常用举反例的级数有 发散,
n
n=1
n
= 1
1
n
发散, n
= 1
( − 1 ) n
1
n
收敛,
n
= 1
( − 1 ) n
1
n
1
收敛, 发散等.
nln n
n=1
思路 2——利用级数的概念、性质、结论判断：【例12.1.1】 设有两个数列 { a
n
} 、 { b
n
} ．若 ln i→ m
a
n
= 0 ，则( )．
(A)当
n
= 1
b
n
收敛时，
n
= 1
a
n
b
n
收敛 (B)当
n
= 1
b
n
发散时，
n
= 1
a
n
b
n
发散
(C)当 n
= 1
| b
n
| 收敛时， n
= 1
a 2
n
b 2
n
收敛 (D)当 n
= 1
| b
n
| 发散时， n
= 1
a 2
n
b 2
n
发散【例12.1.2】 设级数 n
= 1
u
n
收敛，则必收敛的级数为( )．
u
(A) (−1)n n (B)
n
n=1
n
= 1
u 2
n
(C) n
= 1
( u
2 n − 1
− u
2 n
) (D) n
= 1
( u
n
+ u
n + 1
)题型二：正项级数敛散性的判别(★★★)
1.正项级数
n
= 1
u
n
的通项 u
n
0 .
2.定理 正项级数
n
= 1
u
n
收敛的充分必要条件为它的部分和数列 { s
n
} 有界
3.正项级数的敛散性判别法
正项级数的审敛法 1——积分判别法 设 f ( x ) 为[1,+)的非负单减函
数，那么正项级数 f (n)与
n=1
1
+
f ( x ) d x 同时收敛或同时发散.正项级数审敛法 2——比较审敛法：设
n
= 1
u
n
和
n
= 1
v
n
都是正项级数 则
(1) 当u v 时，若
n n
n
= 1
v
n
收敛 则
n
= 1
u
n
收敛 但若
n
= 1
v
n
发散 则
n
= 1
u
n
敛散性判断不出.
(2) 当 u
n
v
n
时，若
n
= 1
v
n
发散 则
n
= 1
u
n
发散；但若
n
= 1
v
n
收敛 则 u
n
n=1
敛散性判断不出.正项级数审敛法 3——比较审敛法的极限形式：设
n
= 1
u
n
和
n
= 1
v
n
都是正
u
项级数，若lim n = l ，且
v
n→
n
(1) 如果l 0, 则
n
= 1
u
n
与
n
= 1
v
n
同敛散；
(2) 如果 l = 0
, 则 v 收敛，则
n
n=1
n
= 1
u
n
收敛；
(3) 如果 l = + 且
n
= 1
v
n
发散，则
n
= 1
u
n
发散正项级数审敛法 4——比值审敛法 设
n
= 1
u
n
为正项级数，如果
ln i m
u
u
n
n
1
→
+ = 则
(1) 1时级数收敛
(2) 1(或 ln i→ m
u
u
n +
n
1 = )时级数发散
(3)= 1时失效，需找其它方法
当 u
n
中含有an,nn,n!时，常用比值审敛法判别敛散性.正项级数审敛法 5——根值审敛法 若正项级数
n
= 1
u
n
满足 ln i m n u
n
→
=
则
(1) 当 1时级数收敛
(2) 当 1 时级数发散
(3) 当 1 = 失效，需找其它方法
当级数中含 a n , n n 时，可考虑根植审敛法.解题思路——若
n
= 1
a
n
为正项级数，则
第一步、若lima 不为零，则级数发散；若为零则需要进一步判定；
n
n→
第二步、根据一般项的特点选择相应的判定法判定：
1.若一般项中含有 n ! 或者 a n , n n ，通常选用比值判别法；
2.若一般项中含有以n为指数幂的因式，通常选用根值判别法；
3.若一般项可作等价无穷小代换，通常用比较判别法的极限形式；
4.若一般项将n化作 x 转换成反常积分后容易判别，可用积分判别法；
5.如果以上方法都行不通，通常选用比较判别法.【例12.1.3】 判别下列级数的敛散性
2n n!
(1)
nn
n=1 1 1
(2) (1 + )n 2
3n n
n=1(3) n
= 1
( n n 2
1
+ 1 − 1 )(4)
n
= 1
n ( 1 +
1
l n 2 n )【例12.1.4】 设函数 n
= 2
s i n
1
n
− k l n ( 1 −
1
n
)
收敛，则 k = ( )
( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) − 1 ( D ) − 2题型三：交错级数与任意项级数敛散性的判别(★★★)
1.交错级数：正项和负项交错的级数，一般形式为
(−1)n−1u
或
n
n=1
n
= 1
( − 1 ) n u
n
其中 u
n
0 .
2.交错级数的审敛法——莱布尼兹定理 如果交错级数 n
= 1
( − 1 ) n − 1 u
n
满足
条件
(1) n 从某项开始有 u
n
u
n − 1
(2) ln i→ m
u
n
= 0 , 则级数收敛.3. 任意项级数：
n
= 1
u
n
的通项中正项和负项任意出现的级数称为任意项
级数.
4. 绝对收敛与条件收敛 若级数
n
= 1
| u
n
| 收敛 则称级数
n
= 1
u
n
绝对收敛
若级数
n
= 1
| u
n
| 发散 但级数
n
= 1
u
n
收敛则称级数
n
= 1
u
n
条件收敛
定理 如果级数 u 绝对收敛 则级数 u 必定收敛
n n
n=1 n=1解题思路:对于交错级数与任意项级数，其敛散性的判别思路如下：
思路 1——如果是交错级数，则首先用莱布尼兹判别法判别. 需要注意
莱布尼兹判别法是充分不必要条件，所以当级数不符合莱布尼兹判别
法的条件时，应改用级数敛散性的定义或性质来进行判别.思路 2——如果是判别任意项级数
n
= 1
u
n
绝对收敛、条件收敛还是发
散，则
第一步、先判断
n
= 1
| u
n
| 的敛散性，如果收敛则
n
= 1
u
n
绝对收敛，否则进
入第二步.
第二步、再判断
n
= 1
u
n
的敛散性，如果收敛则
n
= 1
u
n
条件收敛，否则
n
= 1
u
n
发散.【例12.1.5】 判别下列级数的敛散性，若收敛进一步判别是条件收敛
还是绝对收敛
1
(1) (−1)n
ln(1 + n)
n=1(2)
n
= 1
n
2
3
n
s i n n(3)
n
= 2
n
( −
+
1
(
)
−
n
1 ) n(4) n
= 1
( − 1 ) n
l n (
1
1
+
+
n
n )【例12.1.6】 设常数 0
| a |
，且 a2 收敛，则 (−1)n n ( ).
n
n2 +
n=1 n=1
(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关题型四：抽象级数敛散性的证明题(★★★)
解题思路——对于抽象级数
n
= 1
u
n
敛散性的证明问题，应
第一步、判断级数的类型是正项级数、交错级数还是任意项级数，以
正项级数居多.
第二步、根据级数的类型与特点，选用合适的判别法进行判别. 这种题
又以考查正项级数的比较判别法居多，对 u
n
放缩到已知敛散性的级数
上来判别.【例12.1.7】 设有方程 x n + n x − 1 = 0 , 其中 n 为正整数. 证明：方程有
唯一的正实根 x
n
，并证明当 1 时，级数
n 1
x
n
=
收敛.【例12.1.8】 设 a
n
0
4 t a n n x d x
=
(1)求 n
= 1
a
n
+
n
a
n + 2 的值； a
(2)证明： 0， n 收敛.
n
n=1
