文档内容
2025第十二章
无穷级数第一节
常数项级数第二部分、题型解析
题型一：抽象级数敛散性判别的选择题(★★★)
一、级数的概念
1.常数项级数 如果通项u 为常数，则 u = u + u + + u + 称为
n n 1 2 n
n=1
常数项级数.
2.级数的部分和 s = u + u + + u ，且u = s − s .
n 1 2 n n n n−1
3.级数敛散性 如果lim s = s，则称 u 收敛；如果lim s 不存在，
n n n
n→ n→
n=1
RISA : (Un-unt)
Lunt Un)
则称 u 发散. -
n
n=1二、级数的性质
性质 1 级数 u 与级数 ku (k 0)的敛散性相同
n n
n=1 n=1
性质 2 u 收敛， v 收敛，则 (u v )收敛；
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 收敛， v 发散，则 (u v )发散.
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 发散， v 发散，则 (u v )不确定.
n n n n
n=1 n=1 n=1性质 3 级数中增加、去掉或改变有限项 不改变级数的敛散性，但影
响收敛级数的和
性质 4 级数中把括号去掉会使级数易发散；如果级数任意加括号会使
级数易收敛.
=
性质 5(级数收敛的必要条件)如果 u 收敛 则limu = 0
n n
n→
n=1
逆否命题：如果limu 0，则 u 必然发散.
n n
n→
n=1
性质 6 u 绝对收敛， v 绝对收敛，则 (u v )绝对收敛；
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 绝对收敛， v 条件收敛，则 (u v )绝对收敛；
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 条件收敛， v 条件收敛，则 (u v )敛散性不确定；
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 收敛， v 发散，则 (u v )敛散性不确定.
n n n n
n=1 n=1 n=1
u 发散，
v 发散，则
(u v )敛散性不确定.
n n n n
n=1 n=1 n=1三、一些已知敛散性的级数
1 1 4
P
>
1.p-级数 ↑
np
n=1 *
Pl
1 UEX
( )n Pio
2.交错 p-级数 −1 S
np
n=1
P
191) UEX
3.等比级数
aqn &
n=1 19131
1 P 1 Y 2 EX nin
I >
4.
n(lnn)p
n=2
PE解题思路：在选择题中，经常给定几个抽象级数，来判断其敛散性，
则
思路 1——举反例排除法：可举满足条件的一些具体级数推翻最终的
1 1 1
结论，常用举反例的级数有
发散,
发散,
(−1)n
收敛,
n n n
n=1 n=1 n=1
1 1
(−1)n
收敛,
发散等.
n nln n
n=1 n=1
思路 2——利用级数的概念、性质、结论判断：【例12.1.1】 设有两个数列{a }、{b }．若lima = 0，则( )．
C
n n n
n→
(A)当 b 收敛时， a b 收敛 (B)当 b 发散时， a b 发散
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
(C)当 | b |收敛时， a2b2 收敛 (D)当 | b |发散时， a2b2 发散
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
?
(A) 5293 : Gn El bu E12 T ankn A
= = =
T
= =**
(B) (BI) : ER an = br Gnbn
=
anb=
Ean kn UED
(P)(11)
: =【例12.1.1】 设有两个数列{a }、{b }．若lima = 0，则( C )．
n n n
n→
(A)当 b 收敛时， a b 收敛 (B)当 b 发散时， a b 发散
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
(C)当 | b |收敛时， a2b2 收敛 (D)当 | b |发散时， a2b2 发散
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
BUR#35 TSEXJURX
RIUn
[Un -
35
= =
UFEX
↑ EE vE [Un . Un
.
(C) Van
: 0
=
bla
.
At
: n + c
【例12.1.2】 设级数 u 收敛，则必收敛的级数为( D )．
n
n=1
u
-(A) (−1)n n ( 1 B) u2 (C) (u − u ) (D) (u + u )
n 2n−1 2n n n+1
n
n=1 n=1 n=1 n=1
②
E
S2131
(A) = ER Un =
I
=
(1)
(B) Q1 ↑
Un
: =
N
(12/11 = (e) Es [ + () n- 1 Un Un 71 An
. , =
I
=
【例12.1.2】 设级数 u 收敛，则必收敛的级数为( D )．
n
n=1
u
(A) (−1)n n (B) u2 (C) (u − u ) (D) (u + u )
n 2n−1 2n n n+1
n
n=1 n=1 n=1 n=1
: i
35 (A) EXEIF CHE
=: un
- =
n= 1n
= FEE
un
(B) un Un =
-
=
(Uzn-1-Uzul (un-2Umn)
(C)
d -
-
↓
Fur ·
Chan U
= +
& *
Ex题型二：正项级数敛散性的判别(★★★)
1.正项级数 u 的通项u 0.
n n
n=1
2.定理 正项级数 u 收敛的充分必要条件为它的部分和数列{s }有界
n n
n=1
3.正项级数的敛散性判别法
正项级数的审敛法 1——积分判别法 设 f (x)为[1,+)的非负单减函
+
数，那么正项级数 f (n)与 f (x)dx同时收敛或同时发散.
1
n=1
正项级数审敛法 2——比较审敛法：设 u 和 v 都是正项级数 则
n n
n=1 n=1
(1) 当u v 时，若 v 收敛 则 u 收敛 但若 v 发散 则 u
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
敛散性判断不出.
(2) 当u v 时，若 v 发散 则 u 发散；但若 v 收敛 则 u
n n n n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
敛散性判断不出.
正项级数审敛法 3——比较审敛法的极限形式：设 u 和 v 都是正
n n
n=1 n=1
u
项级数，若lim n = l ，且
v
n→
n
(1) 如果l 0, 则 u 与 v 同敛散； Un Um
or
n n
n=1 n=1
(2) 如果l = 0, 则 v 收敛，则 u 收敛；
n n
n=1 n=1
(3) 如果l = +且 v 发散，则 u 发散
n n
n=1 n=1
正项级数审敛法 4——比值审敛法 设 u 为正项级数，如果
n
n=1
u
lim n+1 = 则
u
n→
n
(1) 1时级数收敛
u
(2) 1(或lim n+1 = )时级数发散
u
n→
n
(3)= 1时失效，需找其它方法
当u
中含有an,nn,n!时，常用比值审敛法判别敛散性.
n
正项级数审敛法 5——根值审敛法 若正项级数 u 满足lim n u =
n n
n→
n=1
则
(1) 当 1时级数收敛
(2) 当 1时级数发散
(3) 当= 1失效，需找其它方法
当级数中含an,nn
时，可考虑根植审敛法.
解题思路——若 a 为正项级数，则
n
n=1
第一步、若lima 不为零，则级数发散；若为零则需要进一步判定；
n
n→
第二步、根据一般项的特点选择相应的判定法判定：
1.若一般项中含有 n ! 或者an,nn ，通常选用比值判别法；
2.若一般项中含有以n为指数幂的因式，通常选用根值判别法；
3.若一般项可作等价无穷小代换，通常用比较判别法的极限形式；
4.若一般项将n化作 x 转换成反常积分后容易判别，可用积分判别法；
5.如果以上方法都行不通，通常选用比较判别法.【例12.1.3】
判别下列级数的敛散性
2n n!
(1)
nn
n=1
2
-I Cu --! nu (n)"
2n Ha 2
P Am
= 2 =
-
1 un utco (h+ ) "
(n+
M
em
2
=
-
=
45/2 !
: 1 1
(2) (1 + )n 2
3n n
n=1
=
M
P
(i) en
Fi
I FE I 45 en
:
, .
-
zu zu1
(3) (nn 2 +1 − 1)
n=1
em
=
~ Er = I
0AJ ~
n+ nz
, n= 1 n2 n=1
. 42 af 1
(4)
n(1 + ln2 n)
n=1
I
I
Uz
#
33-
=
n+ nCHin)
min
.
n
.
/xix 1 Hix
15 = alax crsemlux
=:
=
x
= z 1 1
【例12.1.4】 设函数 sin − k ln(1 − ) 收敛，则
n n
n=2
k = ( C )
(A)1 (B)2 (C)−1 (D) − 2
Af
h+
- sm 5
Sma-k(n(1-)
+
+...
=
m )
k)(h) z( 5) )
- - - + - +...
* m 5
* 5)
(
= CH + k) . + = + . +...
12 AnD : 1 + k =0 . k = -题型三：交错级数与任意项级数敛散性的判别(★★★)
1.交错级数：正项和负项交错的级数，一般形式为
(−1)n−1u
或
n
n=1
(−1)n u 其中u 0.
n n
n=1
2.交错级数的审敛法——莱布尼兹定理 如果交错级数
(−1)n−1u
满足
n
n=1
( )
条件
(1)n从某项开始有u u (2)limu = 0, 则级数收敛.
n n−1 n
n→
3. 任意项级数： u 的通项中正项和负项任意出现的级数称为任意项
n
n=1
级数.
3
4. 绝对收敛与条件收敛 若级数 | u |收敛 则称级数 u 绝对收敛
n n
n=1 n=1
若级数 | u |发散 但级数 u 收敛则称级数 u 条件收敛 33.
n n n
n=1 n=1 n=1
定理 如果级数 u 绝对收敛 则级数 u 必定收敛
n n
n=1 n=1解题思路:对于交错级数与任意项级数，其敛散性的判别思路如下：
思路 1——如果是交错级数，则首先用莱布尼兹判别法判别. 需要注意
莱布尼兹判别法是充分不必要条件，所以当级数不符合莱布尼兹判别
法的条件时，应改用级数敛散性的定义或性质来进行判别.
思路 2——如果是判别任意项级数 u 绝对收敛、条件收敛还是发
n
n=1
散，则
第一步、先判断 | u |的敛散性，如果收敛则 u 绝对收敛，否则进
n n
n=1 n=1
入第二步.
第二步、再判断 u 的敛散性，如果收敛则 u 条件收敛，否则
n n
n=1 n=1
u 发散.
n
n=1【例12.1.5】
判别下列级数的敛散性，若收敛进一步判别是条件收敛
还是绝对收敛
1
(1)
(−1)n
ln(1 + n)
n=1
= main
& incr *
.
↓
mains
GE
②
=0
,
In6th)
o
MEX
.
EIFUE7
· n3
(2) sin n
2n
n=1
s m
·
n= 1 zu
1)3
(n+ 3 Cut
Hu
Ma =
P = 1 125X
= +
-2
u+y
243 .
MER
EX]
. (−1)n
(3)
n + (−1)n
n=2
" I
(, Hi
22 *
=
M + 4)" +
C
y Z
↳
I I f
....
"
·
M ( 1) N + 1 3
+
D EGIG
=
)
z =
-
nin 1
n -
Eux- *
I W
T
↓ AM
=
M
n- 1 --
M ln(1 + n)
(4)
(−1)n
1 + n
n=1
knlth) = min) ,
. im **
E
,
1th
Itr
WMG
2
In (Hx) fix = + X) - (nG + N)1 (n( x)
fix - +
&
-
=
,
1 X ( + x)2 C + X)"
EX = e - #J fix =o Ex-e + At fixco fixd
,
,
Math)
↓ E1F4R
At ·
: R32
.
1+h . | a |
【例12.1.6】 设常数 0，且 a2 收敛，则 (−1)n n ( C ).
n
n2
+
n=1 n=1
(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关
=
=
H
n=
X
= (ant EEXTURER
↑
↓
En knz
+题型四：抽象级数敛散性的证明题(★★★)
解题思路——对于抽象级数 u 敛散性的证明问题，应
n
n=1
第一步、判断级数的类型是正项级数、交错级数还是任意项级数，以
正项级数居多.
第二步、根据级数的类型与特点，选用合适的判别法进行判别. 这种题
又以考查正项级数的比较判别法居多，对 u
n
放缩到已知敛散性的级数
上来判别.【例12.1.7】 设有方程 xn + nx − 1 = 0, 其中 n 为正整数. 证明：方程有
唯一的正实根 x ，并证明当 1时，级数 x 收敛.
n n
n=1
fix Efix(0 * *
GEDA /2 =+x-1 ) -
+
=
, .
fit)
fil
-10 = + r
=
~ GE fix Plo To Fe
= 0 .
,
fix x EXE(0.
) #J
fix 10 fix ↑
= n - + n , + .
,
: fix = 0 10 Tc) # 2 # RE - ** E Xn
. , .#
FiE Xn <
flu n.t -1 (a
(a
f() -0
35- : = 0 = + =
,
fix +
At
it XE 10 + c)
. ,
>
: Xn
.
-&
Xm
H Xn 1 0 i Xn
3 + . + = . =
= =
,
End
It 2
·
n= 1 .
·: U !
,T
【例12.1.8】 设a = 4 tann xdx
n
0
a + a
(1)求 n n+2 的值；
n
n=1
1 taxax
= I
trixax Tax ( +aix)
111 an antz + = + ax
+
E
= twix seix 1. twix a n+1 I
ax I deax
, = ImX =
↳ n+1
S
I
An Cnth =
· + \n +
= )
-
R n(n +) n
my
Se * * 3 5 k m +
= 1 - + - + - + + - = 1 -
n
# aut anth
Un Sn In (1 m
· 1
=
n = -
=
U
n=1 a
(2)证明： 0， n 收敛.
n
n=1
trixuxc0E
=
an
:
=
trxax
+ antz
aut Anth = > 0
:
n
I I
L
Cm <
1
N
n+ 1
:
o
I
z
=
+
u=1 nx n=
=
&
Fx70 U第十二章
无穷级数第二节
幂级数第二部分、题型解析
题型一：幂级数的收敛性(★★★)
1.幂级数： a xn = a + a x + a x2 + + a xn + 称为 x = 0处的幂级
n 0 1 2 n
n=0
数； a ( x − x )n 称为 x = x 处的幂级数.
n 0 0
n=0
o
2.阿贝尔定理 -* # an xo u (x) 10) #BURR
Gn = <
&
an
IXk NolBIB
= FER
3.收敛半径与收敛区间 如果级数 a xn 不是仅在点 x = 0一点收敛 也
n
n=0
不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 R存在 使得
(1)当 x R时幂级数处处绝对收敛
(2)当 x R时幂级数处处发散
(3)当 x = R与 x = −R时幂级数敛散性不确定 正数 R 通常叫做幂级数
a xn 的收敛半径 开区间(−R, R)叫做幂级数 a xn 的收敛区间
n n
n=0 n=0
T
Ent
x
7 -
-
F SE
42
O , O 3
R R
-
解题思路——求幂级数 a xn 的收敛半径与收敛域
n
n=0
a
第一步：求lim | n+1 |= .
a
n→
n
第二步：求收敛半径 R
+,= 0
a 1
，如果lim n+1 = 则R = ,= 0 .
a
n→
n
0,= +
第三步：判断幂级数在 x = −R, x = R处的敛散性，从而得到收敛域是
(−R, R)或[−R, R)、(−R, R]、[−R, R]之一.
如果求 a ( x − x )n 的幂级数，应先换元t = x − x ，然后再计算.
n 0 0
n=0 1
结论 1 如果级数为 a xan+b ，则收敛半径R = .
n
a
n=0
an X n
=
结论 2 如果级数 a x n 与 a (− x )n 的敛散性不同，则| x |= R.
n 0 n 0 0
n=0 n=0
结论 3 如果级数 a x n 条件收敛，则| x |= R.
n 0 0
n=0
结论 4 a xn 的收敛区间关于 x = 0对称； a ( x − x )n 的收敛区间
n n 0
n=0 n=0
T ↳
关于 x = x 对称.
0 X
x
7 -
-
F SE
42
F
O , O 3
R R
-
【例12.2.1】 已知幂级数 a ( x + 2 )n 在 x = 0处收敛，在 x = −4处发
n
n=0
( )n
散，则幂级数 a x − 3 的收敛域为 .
n
n=0
z 2) T = X+ 2 ant
(x
an +
n= 0
0 AI t 2 Ei X = -4 At = t . . - R = 2
X= =
,
s
Ue] (2
[ ant" 2]
: ,
= 0
: (x-3)" URL
(1 53
an
.
·n
【例12.2.2】 设数列 a 单调减少，lima = 0,S = a (n = 1,2, )
n n n k
n→
k=1
无界，则幂级数 a ( x − 1)n 的收敛域为( C ).
n
n=1
(XA) (−1,1] /&(B)[−1,1) (C) [0,2) (D) (0,2]
-an(x-1)" UAE X= FJ5
=
A B(x)
.
A an FRE and C U
0
EX 0AJ =
= , , ,
an = Su T
Ex #J
=2
.
[0
2)
. a
【例12.2.3】 若级数 a xn 在(−4,4]上收敛，则级数 n xn 的收敛半
n
n
n=0 n=1
径及级数 a x2n 的收敛域分别为( A ).
n
n=1
(A)4,[−2,2]; (B)4,[−2,2); (C)+,(−2,2]; (D)4,(−2,2].
(x Xan
anxI
=
,
X =
n=
R 4
= =
"
#an =
an(x
Ex
At 42 E
: =4
=
X = 2 [ -2 2]
,( )2n
x − 2
【例12.2.4】
求级数
的收敛域.
n4n
n=1
(2+
X - 2
=
,
=
T
I
I Un U = R p 2
P : = =
-
=
c
(u
+
) .
44
n- no 4(+ )
E
Et = 2 E = -At
2n
:
t MEXTE(-2 TE ULE
2) 10 4)
:
.
.
h= 1
44
n-
