(38)-高数18无穷级数1笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十二章 无穷级数第一节 常数项级数第二部分、题型解析 题型一：抽象级数敛散性判别的选择题(★★★) 一、级数的概念   1.常数项级数 如果通项u 为常数，则 u = u + u + + u + 称为 n n 1 2 n n=1 常数项级数. 2.级数的部分和 s = u + u + + u ，且u = s − s . n 1 2 n n n n−1   3.级数敛散性 如果lim s = s，则称 u 收敛；如果lim s 不存在， n n n n→ n→ n=1  RISA : (Un-unt)  Lunt Un) 则称 u 发散. - n n=1二、级数的性质     性质 1 级数 u 与级数 ku (k  0)的敛散性相同 n n n=1 n=1       性质 2 u 收敛， v 收敛，则 (u  v )收敛； n n n n n=1 n=1 n=1       u 收敛， v 发散，则 (u  v )发散. n n n n n=1 n=1 n=1       u 发散， v 发散，则 (u  v )不确定. n n n n n=1 n=1 n=1性质 3 级数中增加、去掉或改变有限项 不改变级数的敛散性，但影 响收敛级数的和 性质 4 级数中把括号去掉会使级数易发散；如果级数任意加括号会使 级数易收敛. =   性质 5(级数收敛的必要条件)如果 u 收敛 则limu = 0 n n n→ n=1   逆否命题：如果limu  0，则 u 必然发散. n n n→ n=1      性质 6 u 绝对收敛， v 绝对收敛，则 (u  v )绝对收敛； n n n n n=1 n=1 n=1       u 绝对收敛， v 条件收敛，则 (u  v )绝对收敛； n n n n n=1 n=1 n=1       u 条件收敛， v 条件收敛，则 (u  v )敛散性不确定； n n n n n=1 n=1 n=1       u 收敛， v 发散，则 (u  v )敛散性不确定. n n n n n=1 n=1 n=1     u 发散，  v 发散，则  (u  v )敛散性不确定. n n n n n=1 n=1 n=1三、一些已知敛散性的级数  1 1 4 P  > 1.p-级数 ↑ np n=1 * Pl  1 UEX ( )n Pio 2.交错 p-级数 −1 S np n=1 P  191) UEX 3.等比级数  aqn & n=1 19131  1 P 1 Y 2 EX nin  I > 4. n(lnn)p n=2 PE解题思路：在选择题中，经常给定几个抽象级数，来判断其敛散性， 则 思路 1——举反例排除法：可举满足条件的一些具体级数推翻最终的  1  1  1 结论，常用举反例的级数有  发散,  发散,  (−1)n 收敛, n n n n=1 n=1 n=1  1  1  (−1)n 收敛,  发散等. n nln n n=1 n=1 思路 2——利用级数的概念、性质、结论判断：【例12.1.1】 设有两个数列{a }、{b }．若lima = 0，则( )． C n n n n→         (A)当 b 收敛时， a b 收敛 (B)当 b 发散时， a b 发散 n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1     (C)当  | b |收敛时，  a2b2 收敛 (D)当  | b |发散时，  a2b2 发散 n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 ? (A) 5293 : Gn El bu E12 T ankn A = = = T = =** (B) (BI) : ER an = br Gnbn = anb= Ean kn UED (P)(11) : =【例12.1.1】 设有两个数列{a }、{b }．若lima = 0，则( C )． n n n n→         (A)当 b 收敛时， a b 收敛 (B)当 b 发散时， a b 发散 n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1     (C)当  | b |收敛时，  a2b2 收敛 (D)当  | b |发散时，  a2b2 发散 n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 BUR#35 TSEXJURX RIUn [Un - 35 = = UFEX ↑ EE vE [Un . Un . (C) Van : 0 = bla . At : n + c 【例12.1.2】 设级数  u 收敛，则必收敛的级数为( D )． n n=1  u    -(A)  (−1)n  n ( 1 B)  u2 (C)  (u − u ) (D)  (u + u ) n 2n−1 2n n n+1 n n=1 n=1 n=1 n=1 ② E S2131 (A) = ER Un = I = (1) (B) Q1 ↑ Un : = N (12/11 = (e) Es [ + () n- 1 Un Un 71 An . , = I = 【例12.1.2】 设级数  u 收敛，则必收敛的级数为( D )． n n=1  u    (A)  (−1)n  n (B)  u2 (C)  (u − u ) (D)  (u + u ) n 2n−1 2n n n+1 n n=1 n=1 n=1 n=1 : i 35 (A) EXEIF CHE =: un - = n= 1n = FEE un (B) un Un = - = (Uzn-1-Uzul (un-2Umn) (C) d - - ↓ Fur · Chan U = + & * Ex题型二：正项级数敛散性的判别(★★★)   1.正项级数 u 的通项u  0. n n n=1   2.定理 正项级数 u 收敛的充分必要条件为它的部分和数列{s }有界 n n n=1 3.正项级数的敛散性判别法 正项级数的审敛法 1——积分判别法 设 f (x)为[1,+)的非负单减函  +  数，那么正项级数 f (n)与 f (x)dx同时收敛或同时发散. 1 n=1    正项级数审敛法 2——比较审敛法：设 u 和 v 都是正项级数 则 n n n=1 n=1         (1) 当u  v 时，若 v 收敛 则 u 收敛 但若 v 发散 则 u n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 敛散性判断不出.         (2) 当u  v 时，若 v 发散 则 u 发散；但若 v 收敛 则 u n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 敛散性判断不出.    正项级数审敛法 3——比较审敛法的极限形式：设 u 和 v 都是正 n n n=1 n=1 u 项级数，若lim n = l ，且 v n→ n   (1) 如果l  0, 则  u 与  v 同敛散； Un Um or n n n=1 n=1     (2) 如果l = 0, 则 v 收敛，则 u 收敛； n n n=1 n=1     (3) 如果l = +且 v 发散，则 u 发散 n n n=1 n=1  正项级数审敛法 4——比值审敛法 设 u 为正项级数，如果 n n=1 u lim n+1 =  则 u n→ n (1) 1时级数收敛 u (2) 1(或lim n+1 = )时级数发散 u n→ n (3)= 1时失效，需找其它方法 当u 中含有an,nn,n!时，常用比值审敛法判别敛散性. n  正项级数审敛法 5——根值审敛法 若正项级数 u 满足lim n u =  n n n→ n=1 则 (1) 当 1时级数收敛 (2) 当 1时级数发散 (3) 当= 1失效，需找其它方法 当级数中含an,nn 时，可考虑根植审敛法.  解题思路——若 a 为正项级数，则 n n=1 第一步、若lima 不为零，则级数发散；若为零则需要进一步判定； n n→ 第二步、根据一般项的特点选择相应的判定法判定： 1.若一般项中含有 n ! 或者an,nn ，通常选用比值判别法； 2.若一般项中含有以n为指数幂的因式，通常选用根值判别法； 3.若一般项可作等价无穷小代换，通常用比较判别法的极限形式； 4.若一般项将n化作 x 转换成反常积分后容易判别，可用积分判别法； 5.如果以上方法都行不通，通常选用比较判别法.【例12.1.3】 判别下列级数的敛散性  2n n!  (1) nn n=1 2 -I Cu --! nu (n)" 2n Ha 2 P Am = 2 = - 1 un utco (h+ ) " (n+ M em 2 = - = 45/2 ! : 1 1 (2)  (1 + )n 2 3n n n=1 = M P (i) en Fi I FE I 45 en : , . - zu zu1  (3)  (nn 2 +1 − 1) n=1 em = ~ Er = I 0AJ ~ n+ nz , n= 1 n2 n=1 . 42 af 1  (4) n(1 + ln2 n) n=1 I I Uz # 33- = n+ nCHin) min . n . /xix 1 Hix 15 = alax crsemlux =: = x = z  1 1  【例12.1.4】 设函数  sin − k ln(1 − ) 收敛，则   n n   n=2 k = ( C ) (A)1 (B)2 (C)−1 (D) − 2 Af h+ - sm 5 Sma-k(n(1-) + +... = m ) k)(h) z( 5) ) - - - + - +... * m 5 * 5) ( = CH + k) . + = + . +... 12 AnD : 1 + k =0 . k = -题型三：交错级数与任意项级数敛散性的判别(★★★)  1.交错级数：正项和负项交错的级数，一般形式为  (−1)n−1u 或 n n=1   (−1)n u  其中u  0. n n n=1  2.交错级数的审敛法——莱布尼兹定理 如果交错级数  (−1)n−1u 满足 n n=1 ( ) 条件 (1)n从某项开始有u  u  (2)limu = 0, 则级数收敛. n n−1 n n→  3. 任意项级数： u 的通项中正项和负项任意出现的级数称为任意项 n n=1 级数. 3     4. 绝对收敛与条件收敛 若级数 | u |收敛 则称级数 u 绝对收敛 n n n=1 n=1       若级数 | u |发散 但级数 u 收敛则称级数 u 条件收敛 33. n n n n=1 n=1 n=1     定理 如果级数 u 绝对收敛 则级数 u 必定收敛 n n n=1 n=1解题思路:对于交错级数与任意项级数，其敛散性的判别思路如下： 思路 1——如果是交错级数，则首先用莱布尼兹判别法判别. 需要注意 莱布尼兹判别法是充分不必要条件，所以当级数不符合莱布尼兹判别 法的条件时，应改用级数敛散性的定义或性质来进行判别.  思路 2——如果是判别任意项级数 u 绝对收敛、条件收敛还是发 n n=1 散，则     第一步、先判断 | u |的敛散性，如果收敛则 u 绝对收敛，否则进 n n n=1 n=1 入第二步.     第二步、再判断 u 的敛散性，如果收敛则 u 条件收敛，否则 n n n=1 n=1   u 发散. n n=1【例12.1.5】 判别下列级数的敛散性，若收敛进一步判别是条件收敛 还是绝对收敛  1 (1)  (−1)n  ln(1 + n) n=1 = main & incr * . ↓ mains GE ② =0 , In6th) o MEX . EIFUE7 · n3  (2) sin n 2n n=1 s m · n= 1 zu 1)3 (n+ 3 Cut Hu Ma = P = 1 125X = + -2 u+y 243 . MER EX] . (−1)n  (3) n + (−1)n n=2 " I (, Hi 22 * = M + 4)" + C y Z ↳ I I f .... " · M ( 1) N + 1 3 + D EGIG = ) z = - nin 1 n - Eux- * I W T ↓ AM = M n- 1 -- M ln(1 + n) (4)  (−1)n 1 + n n=1 knlth) = min) , . im ** E , 1th Itr WMG 2 In (Hx) fix = + X) - (nG + N)1 (n( x) fix - + & - = , 1 X ( + x)2 C + X)" EX = e - #J fix =o Ex-e + At fixco fixd , , Math) ↓ E1F4R At · : R32 . 1+h .  | a | 【例12.1.6】 设常数 0，且  a2 收敛，则  (−1)n n ( C ). n n2 +  n=1 n=1 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关 = = H n= X = (ant EEXTURER ↑ ↓ En knz +题型四：抽象级数敛散性的证明题(★★★)   解题思路——对于抽象级数 u 敛散性的证明问题，应 n n=1 第一步、判断级数的类型是正项级数、交错级数还是任意项级数，以 正项级数居多. 第二步、根据级数的类型与特点，选用合适的判别法进行判别. 这种题 又以考查正项级数的比较判别法居多，对 u n 放缩到已知敛散性的级数 上来判别.【例12.1.7】 设有方程 xn + nx − 1 = 0, 其中 n 为正整数. 证明：方程有  唯一的正实根 x ，并证明当 1时，级数  x 收敛. n n n=1 fix Efix(0 * * GEDA /2 =+x-1 ) - + = , . fit) fil -10 = + r = ~ GE fix Plo To Fe = 0 . , fix x EXE(0. ) #J fix 10 fix ↑ = n - + n , + . , : fix = 0 10 Tc) # 2 # RE - ** E Xn . , .# FiE Xn < flu n.t -1 (a (a f() -0 35- : = 0 = + = , fix + At it XE 10 + c) . , > : Xn . -& Xm H Xn 1 0 i Xn 3 + . + = . = = = , End It 2 · n= 1 . ·: U ! ,T  【例12.1.8】 设a =  4 tann xdx n 0  a + a (1)求  n n+2 的值； n n=1 1 taxax = I trixax Tax ( +aix) 111 an antz + = + ax + E = twix seix 1. twix a n+1 I ax I deax , = ImX = ↳ n+1 S I An Cnth = · + \n + = ) - R n(n +) n my Se * * 3 5 k m + = 1 - + - + - + + - = 1 - n # aut anth Un Sn In (1 m · 1 = n = - = U n=1 a (2)证明： 0，  n 收敛. n n=1 trixuxc0E = an : = trxax + antz aut Anth = > 0 : n I I L Cm < 1 N n+ 1 : o I z = + u=1 nx n= = & Fx70 U第十二章 无穷级数第二节 幂级数第二部分、题型解析 题型一：幂级数的收敛性(★★★)  1.幂级数：  a xn = a + a x + a x2 + + a xn + 称为 x = 0处的幂级 n 0 1 2 n n=0  数；  a ( x − x )n 称为 x = x 处的幂级数. n 0 0 n=0 o 2.阿贝尔定理 -* # an xo u (x) 10) #BURR Gn = < & an IXk NolBIB = FER 3.收敛半径与收敛区间 如果级数  a xn 不是仅在点 x = 0一点收敛 也 n n=0 不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 R存在 使得 (1)当 x  R时幂级数处处绝对收敛 (2)当 x  R时幂级数处处发散 (3)当 x = R与 x = −R时幂级数敛散性不确定 正数 R 通常叫做幂级数    a xn 的收敛半径 开区间(−R, R)叫做幂级数  a xn 的收敛区间 n n n=0 n=0 T Ent x 7 - - F SE 42 O , O 3 R R - 解题思路——求幂级数  a xn 的收敛半径与收敛域 n n=0 a 第一步：求lim | n+1 |= . a n→ n 第二步：求收敛半径 R +,= 0  a  1 ，如果lim n+1 =  则R =  ,= 0 . a  n→  n  0,= +  第三步：判断幂级数在 x = −R, x = R处的敛散性，从而得到收敛域是 (−R, R)或[−R, R)、(−R, R]、[−R, R]之一.  如果求  a ( x − x )n 的幂级数，应先换元t = x − x ，然后再计算. n 0 0 n=0 1 结论 1 如果级数为  a xan+b ，则收敛半径R = . n a  n=0 an X n =   结论 2 如果级数  a x n 与  a (− x )n 的敛散性不同，则| x |= R. n 0 n 0 0 n=0 n=0  结论 3 如果级数  a x n 条件收敛，则| x |= R. n 0 0 n=0   结论 4  a xn 的收敛区间关于 x = 0对称；  a ( x − x )n 的收敛区间 n n 0 n=0 n=0 T ↳ 关于 x = x 对称. 0 X x 7 - - F SE 42 F O , O 3 R R - 【例12.2.1】 已知幂级数  a ( x + 2 )n 在 x = 0处收敛，在 x = −4处发 n n=0   ( )n 散，则幂级数 a x − 3 的收敛域为 . n n=0 z 2) T = X+ 2 ant (x an + n= 0 0 AI t 2 Ei X = -4 At = t . . - R = 2 X= = , s Ue] (2 [ ant" 2] : , = 0 : (x-3)" URL (1 53 an . ·n 【例12.2.2】 设数列  a  单调减少，lima = 0,S =  a (n = 1,2, ) n n n k n→ k=1  无界，则幂级数  a ( x − 1)n 的收敛域为( C ). n n=1 (XA) (−1,1] /&(B)[−1,1) (C) [0,2) (D) (0,2] -an(x-1)" UAE X= FJ5 = A B(x) . A an FRE and C U 0 EX 0AJ = = , , , an = Su T Ex #J =2 . [0 2) .  a 【例12.2.3】 若级数  a xn 在(−4,4]上收敛，则级数  n xn 的收敛半 n n n=0 n=1  径及级数  a x2n 的收敛域分别为( A ). n n=1 (A)4,[−2,2]; (B)4,[−2,2); (C)+,(−2,2]; (D)4,(−2,2]. (x Xan anxI = , X = n= R 4 = = " #an = an(x Ex At 42 E : =4 = X = 2 [ -2 2] ,( )2n  x − 2 【例12.2.4】 求级数  的收敛域. n4n n=1 (2+ X - 2 = , = T I I Un U = R p 2 P : = = - = c (u + ) . 44 n- no 4(+ ) E Et = 2 E = -At 2n : t MEXTE(-2 TE ULE 2) 10 4) : . . h= 1 44 n-