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𝟏.设𝜶 ,𝜶 ,𝜷 ,𝜷 为3维向量，𝑨 = (𝜶 ,𝜶 ,𝜷 )，𝑩 = (𝜶 ,𝜶 ,𝜷 )，且|𝑨| = 3，|𝑩| = 2，求
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870)
|𝟐𝑨+𝟑𝑩|.𝟐.设𝑨为𝑛阶矩阵，且满足𝑨𝑨(cid:2904) = 𝑬，若|𝑨| = −1，则|𝑨+𝑬| = .𝟑.设𝑨,𝑩为3阶矩阵，且|𝑨| = 3，|𝑩| = 2，(cid:3627)𝑨(cid:2879)𝟏 +𝑩(cid:3627) = 2，求(cid:3627)𝑨+𝑩(cid:2879)𝟏(cid:3627).𝟒.设3 阶矩阵𝑨的特征值为−1,2,3，则|𝑨+𝑨∗| = .0 1 0 0
1
⎛0 0 0⎞
2
⎜ ⎟
𝟓.已知矩阵𝑨 = 1 ，则|𝑨|中的所有代数余子式之和为 .
⎜ ⎟
0 0 0
⎜ 3⎟
1
0 0 0
⎝4 ⎠−1 2 1
𝟔.设矩阵𝑨 = (cid:3438) 3 −6 −3(cid:3442)，则𝑨𝒏 = .
2 −4 −25 2 0 0
⎛2 1 0 0 ⎞
𝟕.设4阶方阵𝑨 = ，则𝑨的逆矩阵𝑨(cid:2879)(cid:2869) = .
⎜ ⎟
0 0 1 −2
⎝0 0 1 −1⎠𝟖.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，𝜶为𝑛维列向量，𝑏为常数，记分块矩阵
𝑬 𝟎 𝑨 𝜶
𝑷 = (cid:3436) (cid:3440)，𝑸 = (cid:4672) (cid:4673)，其中𝑨∗为𝑨的伴随矩阵，𝑬为𝑛阶单位矩阵.
−𝜶(cid:2904)𝑨∗ |𝑨| 𝜶(cid:2904) 𝑏
(1)计算并化简𝑷𝑸；(2)证明：矩阵𝑸可逆的充分必要条件是𝜶(cid:2904)𝑨(cid:2879)(cid:2869) 𝜶 ≠ 𝑏.𝟗.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，交换𝑨的第1行与第2行得到矩阵𝑩，𝑨∗,𝑩∗分别为𝑨,𝑩的伴随矩阵，则
( )
(A)交换𝑨∗的第 1列与第2 列得到𝑩∗. (B)交换𝑨∗的第1 行与第2 行得到𝑩∗.
(C)交换𝑨∗的第1 列与第2列得到−𝑩∗. (D)交换𝑨∗的第1 行与第2 行得到−𝑩∗.1 0 0
𝟏𝟎.设𝑨为3阶矩阵，𝑷为3阶可逆矩阵，且𝑷(cid:2879)(cid:2869)𝑨𝑷 = (cid:3438)0 1 0(cid:3442).
0 0 2
若𝑷 = (𝜶 ,𝜶 ,𝜶 )，𝑸 = (𝜶 +𝜶 ,𝜶 ,𝜶 )，则𝑸(cid:2879)(cid:2869)𝑨𝑸 = ( )
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871)
1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0
(A)(cid:3438)0 2 0(cid:3442). (B)(cid:3438)0 1 0(cid:3442). (C)(cid:3438)0 1 0(cid:3442). (D)(cid:3438)0 2 0(cid:3442).
0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1𝟏𝟏.已知3维列向量组𝜶 ,𝜶 ,𝜶 线性无关，若𝜶 −𝜶 ,𝜶 −𝑘𝜶 ,𝜶 −𝜶 也线性无关的充要条
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2871) (cid:2869)
件为 .𝟏𝟐.设𝑨,𝑩为满足𝑨𝑩 = 𝑶的任意两个非零矩阵，则必有( )
(A) 𝑨的列向量组线性相关，𝑩的行向量组线性相关.
(B) 𝑨的列向量组线性相关，𝑩的列向量组线性相关.
(C) 𝑨的行向量组线性相关，𝑩的行向量组线性相关.
(D) 𝑨的行向量组线性相关，𝑩的列向量组线性相关.𝟏𝟑.设𝑨是3阶矩阵，𝜶 ,𝜶 为𝑨分别属于特征值−1,1的特征向量，若向量𝜶 满足 𝑨𝜶 = 𝜶 +𝜶 ，
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2871) (cid:2870) (cid:2871)
证明：𝜶 ,𝜶 ,𝜶 线性无关.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871)𝟏𝟒.设4维列向量𝜶 ,𝜶 ,𝜶 线性无关，且与非零列向量𝜷 ,𝜷 均正交，证明：
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870)
(1)𝜷 ,𝜷 线性相关；(2)𝜶 ,𝜶 ,𝜶 ,𝜷 线性无关.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869)𝟏𝟓.设𝑛维列向量组𝜶 ,𝜶 ,⋯,𝜶 (𝑚 < 𝑛)线性无关，则𝑛维列向量组𝜷 ,𝜷 ,⋯,𝜷 线性无关的
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3040) (cid:2869) (cid:2870) (cid:3040)
充分必要条件为( )
(A)向量组𝜶 ,𝜶 ,⋯,𝜶 可由向量组𝜷 ,𝜷 ,⋯,𝜷 线性表示.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3040) (cid:2869) (cid:2870) (cid:3040)
(B)向量组𝜷 ,𝜷 ,⋯,𝜷 可由向量组𝜶 ,𝜶 ,⋯,𝜶 线性表示.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3040) (cid:2869) (cid:2870) (cid:3040)
(C)向量组𝜶 ,𝜶 ,⋯,𝜶 与向量组𝜷 ,𝜷 ,⋯,𝜷 等价.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3040) (cid:2869) (cid:2870) (cid:3040)
(D)矩阵𝑨 = (𝜶 ,𝜶 ,⋯,𝜶 )与矩阵𝑩 = (𝜷 ,𝜷 ,⋯,𝜷 )等价.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3040) (cid:2869) (cid:2870) (cid:3040)线性方程组、特征值与特征向量、二次型
𝟏.设𝑨是𝑚×𝑛矩阵，非齐次线性方程组𝑨𝒙 = 𝒃有解的充分条件是( )
(A)𝑨的行向量组线性无关. (B)𝑨的行向量组线性相关.
(C)𝑨的列向量组线性无关. (D)𝑨的列向量组线性相关.𝟐.设𝑨是4×5矩阵，且𝑨的行向量组线性无关，下列说法错误的是( )
(A)齐次方程组𝑨(cid:2904)𝒙 = 𝟎只有零解.
(B)齐次方程组𝑨(cid:2904)𝑨𝒙 = 𝟎必有非零解.
(C)非齐次方程组𝑨𝒙 = 𝒃必有无穷多解.
(D)非齐次方程组𝑨(cid:2904)𝒙 = 𝒃必有唯一解.𝟑.设𝑨 = (𝜶 ,𝜶 ,𝜶 ,𝜶 )是4阶矩阵，𝑨∗为𝑨的伴随矩阵，若(1,0,1,0)(cid:2904)是方程
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
组𝑨𝒙 = 𝟎的一个基础解系，则𝑨∗𝒙 = 𝟎的基础解系可为( )
(A)𝜶 ,𝜶 . (B)𝜶 ,𝜶 .
(cid:2869) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870)
(C)𝜶 ,𝜶 ,𝜶 . (D)𝜶 ,𝜶 ,𝜶 .
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)𝟒.设𝑛阶矩阵𝑨的伴随矩阵𝑨∗ ≠ 𝑶，若𝝃 ,𝝃 ,𝝃 ,𝝃 是非齐次线性方程组𝑨𝒙 = 𝒃的互不相等的
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
解，则对应的齐次线性方程组𝑨𝒙 = 𝟎的基础解系( )
(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量.𝟓.已知线性方程组
𝑥 −𝑥 −2𝑥 +3𝑥 = 0,
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
⎧
⎪𝑥 −3𝑥 −5𝑥 +2𝑥 = −1,
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
⎨𝑥 +𝑥 +𝑎𝑥 +4𝑥 = 1,
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
⎪
⎩𝑥 +7𝑥 +10𝑥 +7𝑥 = 𝑏,
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)
讨论参数𝑎,𝑏取何值时，方程组有解、无解；并当有解时，求出方程组的通解.𝟔.设有4阶方阵𝑨满足条件|3𝑬+𝑨| = 0，𝑨𝑨(cid:2904) = 2𝑬，|𝑨| < 0，其中𝑬是4阶单位阵.求矩阵𝑨的
伴随矩阵𝑨∗的一个特征值.𝟕.设𝑨为3阶实对称矩阵，且𝑟(𝑨) = 2，若𝑨(cid:2870) = 𝑨，则𝑨的特征值为___.𝟖.若3维列向量𝜶,𝜷满足𝜶(cid:2904)𝜷 = 2，其中𝜶(cid:2904)是𝜶的转置，则矩阵𝜷𝜶(cid:2904)的三个特征值为_____.𝟗.设𝑨为2阶矩阵，𝜶 ,𝜶 为线性无关的2维列向量，𝑨𝜶 = 𝟎，𝑨𝜶 = 2𝜶 +𝜶 ，则𝑨的非零特
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
征值为 .0 2 −3 1 −2 0
𝟏𝟎.矩阵𝑨 = (cid:3438)−1 3 −3(cid:3442)相似于矩阵𝑩 = (cid:3438)0 𝑏 0(cid:3442).
1 −2 𝑎 0 3 1
(1)求𝑎,𝑏的值；
(2)求可逆矩阵𝑷，使得𝑷(cid:2879)(cid:2869)𝑨𝑷为对角矩阵.𝟏𝟏.设3阶实对称矩阵𝑨的各行元素之和均为3，向量𝜶 = (−1,2,−1)(cid:2904)，
(cid:2869)
𝜶 = (0,−1,1)(cid:2904)是线性方程组𝑨𝒙 = 𝟎的两个解，求正交矩阵𝑸和对角矩阵𝜦，使得𝑸(cid:2904)𝑨𝑸 = 𝜦.
(cid:2870)𝟏𝟐.设二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 𝑎(𝑥(cid:2870) +𝑥(cid:2870) +𝑥(cid:2870))+2𝑥 𝑥 +2𝑥 𝑥 +2𝑥 𝑥 的正负惯性指数分别为
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2871)
1,2，求𝑎的取值范围.𝟏𝟑.用配方法化二次型
𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 2𝑥 𝑥 +4𝑥 𝑥
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2871)
为标准形，并写出所用的坐标变换.𝟏𝟒.已知二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 2𝑥(cid:2870) +3𝑥(cid:2870) +3𝑥(cid:2870) +2𝑎𝑥 𝑥 (𝑎 > 0)通过正交变换化为标准形
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2870) (cid:2871)
𝑓(𝑦 ,𝑦 ,𝑦 ) = 𝑦(cid:2870) +2𝑦(cid:2870) +5𝑦(cid:2870)，求参数𝑎及所用的正交矩阵𝑸.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871)
