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2025第二章
极限与连续题型二、含变限积分的极限(★★★)
解题思路：如果极限中含有变限积分函数，则
思路 1——等价： x → 0 时，如果连续函数 ~ ，则
0
x
d t ~
0
x
d t .
思路 2——必达：
思路 3——积分中值定理：当不能使用洛必达法则和等价无穷小代换
时，也可考虑用积分中值定理去掉积分号.【例2.2.8】 求 l
x
i m→
0
0
x
a
0
r
x
c
a
t
r
a
c
n
s i n
t
(
d
x
t
−
0
x
t
s
)
i
d
n
t
3
2
2
t d t
.【例2.2.9】 设函数 f ( x ) 连续， f ( 0 ) 0 ，求 l
x
i m→
0
x
0
x
(
0
x
x
−
f (
t
x
) f
−
(
t
t
)
)
d
d
t
t
.题型三、含抽象函数的极限(★★★)
解题思路：极限中如果含有抽象函数 f ( x ) ，则
思路 1——如果已知某点可导，计算一个含抽象函数 f ( x ) 的
0
0
极限，
考虑凑导数定义.
思路 2——如果已知 f (0), f (0), f (0), ，求含 f (x)的极限可用麦克劳
林公式展开.思路 3——如果已知一个含 f ( x ) 的极限，求另一个含 f ( x ) 的极限，可
利用无穷小的定义，去掉极限号解出 f ( x ) 再求极限.也可用拼凑法来求
极限.
【注】含抽象函数的极限，不推荐洛必达法则和拉格朗日中值定理.【例2.2.10】 设 f ( x ) 二阶可导， f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) = 1 , f ( 0 ) = 2 ．求
f (x) − x
lim .
x2
x→0【例2.2.11】 若 l
x
i m→
0
s i n 6 x
x
+
3
x f ( x )
= 0 ，则 l
x
i m→
0
6 +
x
f
2
( x )
= ( ).
(A)0 (B)6 (C)36 (D) 题型四、已知极限值，反求参数问题(★★★)
思路 1——利用无穷小或无穷大阶的关系结合洛必达法则及麦克劳林
公式来解参数：
(1) 如果已知 l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= 0 , 且 l i m g ( x ) = 0 , 则必有 f (x)是 g ( x ) 的高阶
无穷小.
f ( x)
(2) 如果已知lim 0, 且
g( x)
l i m g ( x ) = 0 , 则必有 f (x)是 g ( x ) 同阶无
穷小.
(3) 如果已知lim f (x) − g(x) = A且 f ( x ) 为 ，则必有 g ( x ) 是 f ( x ) 的
等价无穷大.思路 2——渐近线法：如果题目属于 lx i→ m
f ( x ) − a x − b
= 0 类型，则说
明 y = a x + b 是 f (x)的一条斜渐近线，则立刻
f (x)
a = lim ; b = lim f (x) − ax .
x
x→ x→【例2.2.12】 设 l
x
i m→
0
e x + a x l n ( 1 +
x
x
3
) + b x 3 − c − x
= 0 ，求常数 a , b , c 的值.【例2.2.13】 设 lim [( x5 + 7x4 + 2)a − x] = b,b 0,试求常数
x→+
a , b 的值.题型五、求曲线的渐近线(★★★)
解题思路——求曲线的渐近线的方法：
1.水平渐近线：先求 lx i→ m
f ( x ) 如果存在，则存在水平渐近线，若极限不
存在则无水平渐近线.
2.铅直渐近线：①找点：找 f ( x ) 的无定义点或分段点 x
0
.
②求极限： lim f (x)，若为
x→x
0
( x
0
左右极限只要有一个
为 即可)，则 x = x
0
为 f ( x ) 的一条铅直渐近线，否则
x = x 不是
0
f ( x ) 的一条铅直渐近线.3.斜渐近线：先求 k = lx i→ m
f (
x
x )
, 再求 b = lx i→ m
f ( x ) − k x
，若极限都存
在，则 y = k x + b 即为 f ( x ) 一条斜渐近线.
注：在 + ( 或 − ) 侧，水平渐近线与斜渐近线不能共存.【例2.2.14】 曲线 y = e x
1
2 a r c t a n
( x
x
−
2
1
+
) (
x
x
+
+
1
2 )
的渐近线有( )
(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 ln x2
, x −1
x + 2
1
−
【例2.2.15】 求曲线 f (x) = e x ,−1 x 0的渐近线.
1
xe x , x 0
第三节
数列极限的计算第二部分、题型解析
题型一、常规型数列极限(★★)
解题思路：常规的数列极限主要思路有如下几个：
思路 1——直接计算法.
思路 2——如果需要洛必达法则等方法，则可函数化后再求极限.
思路 3——利用常见的数列极限结论来求极限.
思路 4——如果无法直接求出极限，可考虑夹逼准则.【例2.3.1】 求极限 ln i→ m
1
1
2
+
2
1
3
+ +
n ( n
1
+ 1 )
n
= .【例2.3.2】 求 ln i m t a n n
4
1
n
→
+
.【例2.3.3】 求极限 ln i→ m
n 1 +
1
2
+
1
3
+ +
1
n
.题型二、 n 项和数列的极限(★★★★)
解题思路： n 项和数列极限有如下思路：
思路 1——由于定积分的定义就是n项和的极限，因此这种问题优先考
虑凑定积分的定义再计算.
思路 2——先求出n项数列的和，再求极限，这种题目考查得不多.
思路 3——如果凑不成定积分的定义也求不出 n 项和，考虑夹逼准则.【例2.3.4】 求 ln i→ m
n
1
2
s i n
1
n
+ 2 s i n
2
n
+ + n s i n
n
n
. 2
sin sin
sin
n n
【例2.3.5】 求lim + + + .
1 1
n + 1
n→
n + n +
2 n 题型三、 n 项数列乘积的极限(★★★)
解题思路：考虑通过指对变形，将n项数列乘积化成 n 项数列和的极限.【例2.3.6】 求极限 ln i→ m
1
n
[ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + n ) ]
1
n .题型四、数列极限存在的证明问题(★★★)
思路 1——应用单调有界准则进行证明，方法如下：
第一步、先由已知条件看能否判断出{x }的单调性，以明确证明方向.
n
第二步、证明有界性(也可以先证明单调性)，
法一：放缩法；
法二：最值法，如果题目为递推型数列 x
n + 1
= f ( x
n
) ，而可证明出
m f ( x ) M ，则 { x
n
} 有界.
法三：数学归纳法；第三步、证明单调性(也可后证有界性)
法一：定义法：将 x
n + 1
与 x
n
作差与 0 比，或作商与 1 比.
法二：当 x − x 与 x − x 同号时，{x }单调.
n+1 n n n−1 n
法三：导数法——如果 x
n + 1
= f ( x
n
) ，则当 f ( x ) 0 时 { x
n
} 有单调
性，且当 x
1
x
2
时单调递增，当 x
1
x
2
时单调递减；当 f ( x ) 0 时 { x
n
}
无单调性.
法四：数学归纳法；思路 2——如果 { x
n
} 不满足单调有界准则，也可以用数列极限的定义
证明，这种类型还没有考过.【例2.3.7】 设 0 x
1
1 , x 2
n + 1
= − x 2
n
+ 2 x
n
( n = 1 , 2 , ) .证明 ln i→ m
x
n
存在,并
求 ln i→ m
x
n
.【例2.3.8】 设 x
0
0 , x
n + 1
=
2 (
2
1
+
+
x
x
n
n
)
, ( n = 0 , 1 , 2 , ) .证明：{x }收敛，并
n
求lim x .
n
n→【例2.3.9】 (1)证明：对任意的正整数 n ，都有
n
1
+ 1
l n ( 1 +
1
n
)
1
n
成
立；(2)设 a
n
= 1 +
1
2
+ +
1
n
− l n n ( n = 1 , 2 , ) ，证明数列
a
n
收敛.
