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25 考研数学基础结课测试卷（数学一）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
x
x2
1. lim =（ ）.
x→∞(x−a)(x+b)
(A)1 (B) e (C)ea−b (D) eb−a
dx
2.不定积分∫ =( ).
x + 3 x
(A) 3 x +ln|3 x +1|+C (B) 63 x研+6ln|3 x +1|+C
(C)2 x −33 x +66 x −6ln|1+ 6 x|+C (D) 36 xarctan6 x +C
3. 已知函数 f(x)满足∫ x f(t)dt =ex2 −考1, 则∫ 1 xf ′(2x)dx =( ).
0 0
7 1 7 1 5 1 5 1
(A) e4 + (B) e4 − (C) e4 + (D) e4 −
4 4 4 4 3 3 3 3
途
4.下列级数中发散的是（ ）
∞ sinn ∞ n−1 ∞ 1 1 ∞ 1
(A) ∑ (B) ∑ (C) ∑ ln(1+ ) (D) ∑(−1)n
n2 2n+1 n n n
n=1 n=1 n=1 n=1
高
1 −1 1
5. 设A= 2 4 a ，且 A的特征值为λ =6,λ =λ = 2.如果 A有三个线性无关的特
1 2 3
−3 −3 5
征向量，则a=( ).
(A)2 (B)−2 (C)4 (D)−4
6. 若向量组α ,α ,,α 线性相关，则下列说法正确的是( ).
1 2 m
(A)任何向量都可由其余向量线性表示 (B)去掉任一向量之后，仍线性相关
(C)某一向量可由其余向量线性表示 (D)添上一个向量以后，就会线性无关
7. 设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为( ).
(A)R(A)=n (B)A的所有特征值非负
(C)A=CCT,(C 是n阶可逆矩阵) (D)A的所有k阶子式都为正
8.在下述函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ）
1 1 1
(A)F(x) = (B)F(x) = arctanx+
1+ x2 π 2
11
(1−e−x), x >0 x +∞
(C)F(x) = 2 (D)F(x) = ∫ f(t)dt，其中∫ f(t)dt =1
−∞ −∞
0, x ≤0
9.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则
(A)P(C)≤P(A)+P(B)−1 (B)P(C)≥P(A)+P(B)−1
(C)
P(C)=P(AB)
(D)
P(C)=P(A∪B)
10.设随机变量X,Y 不相关，且EX =2，EY =1，DX =3，则E[X(X +Y −2)]=（ ）
(A)−3 (B)3 (C)−5 (D)5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分，把答案填在题中横线上）
n k k 研
11．lim∑ ln1+ = __________.
n→∞ n2 n
k=1
12．微分方程ydx+(x−3y2)dy =0满足条件y =1的解为 .
x=1
考
13．若函数z = z(x,y)由方程ez +xyz+x+cosx=2确定，则dz = .
(0,1)
14. 已知曲线L：y = x2(0≤ x ≤ 2)，则∫ xds= .
L
途
15. 二次型 f(x,x ,x )=x2 +x2 +x2 +2xx 的正惯性指数为 .
1 2 3 1 2 3 1 2
16. 袋中有8个球，其中有3个白球5个黑球，现从中任取4个球，如果4个球中2个
白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2
高
个白球2个黑球为止，用X 表示抽取次数，则P{X =k}=__________(k =1,2, ).
三、解答题（本题共6小题，满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）
讨论方程xlnx=k 在(0,+∞)内根的个数.
18. （本题满分12分）
∂z ∂z ∂2z
设函数 f,g均二阶可微,设z= f [xy,lnx+g(xy)],计算 , , .
∂x ∂y ∂x∂y
19.（本题满分12分）
设曲面Σ:z= 4−x2 − y2 的上侧，求曲面积分∫∫xydydz+xdzdx+x2dxdy.
Σ
20.（本题满分12分）
设 f(x) ， g(x) 在区间 [−a,a](a>0) 上连续， g(x) 为偶函数，且 f(x) 满足条件
f(x)+ f(−x)= A（A为常数），
1 π
（1）证明：当x≠0时，arctanx+arctan = 恒成立.
x 2
2（2）证明：∫ a f(x)g(x)dx= A∫ a g(x)dx
−a 0
π
（3）计算定积分∫ 2 sinx arctanexdx
π
−
2
21. （本题满分12分）
1 1 −1 1
设向量组A:α
1
=
2
,α
2
=
a+2
，α
3
=
−b−2
，及向量β=
3
，问a,b何值时？
0 −3a a+2b −3
（1）向量β能由A线性表出且表法唯一；
（2）向量β不能由A线性表出；
研
（3）向量β能由A线性表出，且表法不唯一，并求一般表达式.
22. （本题满分12分）
Ax(1−x)3, 0≤ x≤1
设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 考 .
0, 其它
(1) 求常数A;
(2) 求X 的分布函数;
途
(3) 求Y = X3的概率密度.
高
3
