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兰州一中 2023-2024-2 学期期末考试题
高一数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.）
1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
2. 设等差数列{a}的前n项和为S，若 则S＝（ ）
n n 9
A．-5 B．0 C．5 D．9
3．下列说法中：
（1）某种彩票中奖的概率是 ，因此买100张该种彩票一定会中奖
（2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
（3）若事件 两两互斥，则
（4）若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
正确的说法有（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
a =n2 +λn
4. 已知数列 的通项公式为 n ，且数列 为递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
5．设m、n为空间中两条不同直线， 、 为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若m上有两个点到平面 的距离相等，则m //
B．若 ， ，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
C．若 ， ， ，则
D．若m、n是异面直线， ， ， ， ，则
6．在四面体ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为50°，M，N分别是边BC，AD的中
点，则异面直线MN和AB所成的角为（ ）
A. 25°或50° B. 25°或65° C. 50° D. 65°
7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是
（ ）
A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是
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学科网（北京）股份有限公司C．圆台的高是 D．圆台的体积是
8．已知 是边长为2的正方形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知复数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 在复平面对应的点位于第二象限 B． 的虚部是
C． D．
10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表
示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的 数字是
2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两 次掷出的
数字之和是7”. 则（ ）
A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲 与事件丁
是相互独立事件
C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙 与事件丁
是对立事件
11. 如图，正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ，
， 的中点．则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点 与点 到平面 的距离相等
第Ⅱ卷(非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位
同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为 ．
13．已知 ，则 ．
14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多
面体. 若该多面体的表面积是 ，则该多面体外接球的表面积是 .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．（13分）如图，正方体 的棱长为2．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
16．（15分）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者
的面试成绩并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的
频率相同．
（1）求 、 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然
后再从这5人中选出2人，求选出的两个人来自同一组的概率．
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学科网（北京）股份有限公司17. （15分）已知△ABC的面积为12，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求 ；
（2）若D在边BC上且 ， ，求AD的长.
18. （17分）已知点 是边长为2的菱形 所在平面外一点，且点 在
底面 上的射影是 与 的交点 ，已知 ，△PDB是等
边三角形.
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线 与
平面 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值
时线段 的长.
19. （17分）如果数列 满足： 且 则
称 为n阶“归化”数列.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若某3阶“归化”数列 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化”数列 是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若 为n阶“归化”数列，求证
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