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第八章 立体几何初步
（A 基础卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】
由 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，知：
在A中，若 ， ，则 与 相交、平行或 ，故A错误；
在B中，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若 ， ，则 与 平行、异面，故C错误；
在D中，若 ， ，易知 ，故D正确．
故选：D．
2．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．90
【答案】D
【详解】
因长方体的长、宽、高分别是6，5，3，所以该长方体的体积为 .
故选：D
3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为 的正方形，所以 ， ，
所以 ，
所以圆柱的体积为 .
故选：C.
4．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【详解】
由图可知平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，两直线 交于点 ，所以用符号语言可表示为
， ， ，
故选：A
5．如图所示，三棱台 截去三棱锥 后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体
【答案】C
【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.
故选：C.
6．在正四棱锥 中， ，且PA与底面所成的角为60°，则该四棱锥的体积为（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】B
【详解】
该四棱锥的高 ， ，则该四棱锥的体积为
.
故选：B
7．如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的
底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需
要涂胶100克，则共需胶（ ）克
A．340π B．440π C．4600π D．6600π
【答案】C
【详解】
由题意圆锥的母线长为 ，
所以台灯表面积为 ，
需胶重量为 （克）．
故选：C．
8．已知圆锥的高为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设底面半径为 ，母线长为 ，侧面展开是一个半圆
，即 ，
，
， ，
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
【答案】ACD
【详解】
一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C错
误；
过一个平面内任意一点作交线的垂线， 该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，
若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误；
因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确.
故选：ACD
10． ， ， 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， ， 共面 D． ， ， 共点 ， ， 共面
【答案】ACD【详解】
解：由 ， ，则 、 平行、异面都有可能，故A错误；
由 ， 得 ，故B正确；
当 时， ， ， 不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；
当 ， ， 共点时， ， ， 不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；
故选：ACD.
11．四面体 的每个顶点都在球 的表面上， 是球 的一条直径，且 ， ，现有下面
四个结论，其中所有正确结论的编号是（ ）
A．球 的表面积为 B．若 ，则
C． 上存在一点 ，使得 D．四面体 体积的最大值为
【答案】AD
【详解】
对于A，因为 是球 的一条直径，所以 ， ，所以 ．
球的半径为 ，球 的表面积为 ，A正确；
对于B，若 ，则 ，B错误；
对于C，因为 与平面 相交，所以 上找不到一点 ，使得 ，C错误；
对于D，因为 到平面 的距离的最大值为球的半径，所以四面体 体积的最大值为
．D正确．
故选：AD
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
底面ABCD，M为PA的中点，则下列叙述中正确的是（ ）A．PC//平面MBD
B． 平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
【答案】CD
【详解】
设 ，则E不是 中点，假设 平面
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为M为 中点，所以E是 中点，与题意矛盾，所以A错；
假设 平面 ，则 ，
因为直角梯形ABCD所， ，
所以知 与 不垂直，与假设矛盾，故B错；
因为 ，所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角，为 ，
因为 是等腰直角三角形，所以 ，
故异面直线 与 所成的角是 ，所以C对．
因为 底面 ，
所以直线 与底面 所成的角为 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以D对．故选：CD．
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．在棱长为1的正方体 中，点 到平面 的距离为______．
【答案】
【详解】
由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面 面 ，又△ 为等腰直角三角形，
∴△ 斜边上的高，即为 到平面 的距离，又正方体棱长为1，
∴ 到平面 的距离为 .
故答案为： .
14．我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖
臑.”彆臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥 是一个鳖臑，且平面ABC， ，则 ___________.
【答案】
【详解】
由题设，△ 、△ 、△ 、△ 均为直角三角形，
又 ，
∴ ， ，则 ，
∴ .
故答案为： .
15．阿基米德是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，
且内切球的表面积也是圆柱表面积的 ”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，
则该圆柱的内切球体积为___________.
【答案】
【详解】
设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r，
又因为其表面积为 ，
所以 ，
解得 ， ，
所以圆柱的体积为 ，所以该圆柱的内切球体积为 ，
故答案为：
16．一个与球心距离为 的平面截球所得的圆周长为 ，则球的表面积为___________.
【答案】36π
【详解】
因为截面圆的周长为 ，
所以截面圆的半径为： ,
又因为球心到截面的距离为 ，
所以球的半径为： ，
所以球的表面积为 ，
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．如图，在四棱锥 中， 底面 是直角梯形， ，
，点 在线段 上且 .（1）证明直线 平面 ;
（2）证明直线 平面 .
【答案】（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ,
∵ ， ,
∴△ ∽△ ,即 ，
又∵ ，
∴
∴
又∵ 、
∴
（2）
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又∵ ，且 是直角梯形，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，且 平面 ，
∴ 平面 .
18．在三棱锥 中， 分别为 的中点，且 .（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，证明： .
【答案】（1）证明:因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）证明：因为 ， 为 的中点， ，
又平面 平面
平面 平面 ，
所以 平面
又 平面 .
所以 .
19．在直三棱柱 中， ， .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
（2）若 与平面 所成角为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）∵ ，∴ 为异面直线 与 所成的角(或其补角).
由 ， ，得 .
因此异面直线 与 所成角的大小为 .（2）∵ 平面 ，∴ 为 与平面 所成角，即 .
由 ， ，得 ，于是 .
因此三棱锥 的体积 .
20．如图，在直三棱柱 中， ， ， 与 交于点 ， 为 的中点，
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
【答案】（1）在直三棱柱 中， ，
且四边形 为平行四边形，又 ，
则 为 的中点，又 为 的中点，
故 ，即： ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
则 ，且 ， ， 平面 ，
故 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又在平行四边形 中， ，
则四边形 为菱形，所以 ，且 ，
平面 ，故 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .
21．如图，在直三棱柱 中， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，由题意， ， 分别是 ， 的中点，所以
，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，在直三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以
，又 ， ，所以 平面 ，因为 ， 是 ， 的中点，所以，且 ，所以 平面 ，又因为平面 为矩形， ，所
以 ，所以
22．如图所示，在直三棱柱 中， ，设D为 的中点，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ，所以 ，又因
为 ，D为 的中点，所以 ，因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ， ， ，， ，
四边形 是平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理可证： 平面 ，
又 ，
平面 平面 ，又 平面 ，
平面 ．
因此点 到平面 的距离等于点A到平面 的距离，设该距离为h，
则由 ，得 ，
所以 ，由题意 ，
，所以 ，所以 为直角三角形，所以
.
