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成人高考专升本高等数学公式大全
导数公式：
1
2 (arcsin x)
(tgx) sec x
2
1 x
2
(ctgx) csc x
1
(arccos x)
(secx) secx tgx
2
1 x
(cscx) cscx ctgx
1
(arctgx)
x x
(a ) a ln a 2
1 x
1 1
(log x) (arcctgx )
a 2
xln a 1 x
基本积分表：
dx
tgxdx lncosx C 2
sec xdx tgx C
2
cos x
ctgxdx ln sin x C
dx
2
csc xdx ctgx C
2
secxdx ln secx tgx C sin x
secx tgxdx secx C
cscxdx lncscx ctgx C
cscx ctgxdx cscx C
dx 1 x
arctg C
a 2 x 2 a a a x
x
a dx C
dx 1 x a
ln a
ln C
2 2
x a 2a x a
shxdx chx C
dx 1 a x
ln C chxdx shx C
2 2
a x 2a a x
dx x dx
2 2
ln( x x a ) C
arcsin C
a 2 x 2 a x 2 a 2
2 2
n 1
n n
I sin xdx cos xdx I
n n 2
n
0 0
2
x a
2 2 2 2 2 2
x a dx x a ln( x x a ) C
2 2
2
x a
2 2 2 2 2 2
x a dx x a ln x x a C
2 2
2
x a x
2 2 2 2
a x dx a x arcsin C
2 2 a
三角函数的有理式积分：
2
2u 1 u x 2du
sin x ， cosx ， u tg ， dx
2 2 2
1 u 1 u 2 1 u一些初等函数： 两个重要极限：
x x
e e sin x
双曲正弦 : shx lim 1
2 x 0 x
x x 1
e e x
双曲余弦 : chx lim (1 ) e 2.718281828459045...
2 x x
x x
shx e e
双曲正切 : thx
x x
chx e e
2
arshx ln( x x 1）
2
archx ln( x x 1)
1 1 x
arthx ln
2 1 x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
sin cos tg ctg
角 A
-α -sin α cos α -tg α -ctg α
90°-α cos α sin α ctg α tg α
90°+α cos α -sin α -ctg α -tg α
180°-α sin α -cos α -tg α -ctg α
180°+α -sin α -cos α tg α ctg α
270°-α -cos α -sin α ctg α tg α
270°+α -cos α sin α -ctg α -tg α
360°-α -sin α cos α -tg α -ctg α
360°+α sin α cos α tg α ctg α
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin( ) sin cos cos sin sin sin 2sin cos
2 2
cos( ) cos cos sin sin
sin sin 2cos sin
tg tg
tg( ) 2 2
1 tg tg
cos cos 2cos cos
ctg ctg 1
2 2
ctg( )
ctg ctg
cos cos 2sin sin
2 2
. .·倍角公式：
sin 2 2sin cos
2 2 2 2 sin3 3sin 4sin 3
cos2 2cos 1 1 2sin cos sin
2 cos3 4cos 3 3cos
ctg 1
ctg2
3
2ctg 3tg tg
tg3
2
2tg 1 3tg
tg2
2
1 tg
·半角公式：
1 cos 1 cos
sin cos
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin
tg ctg
2 1 cos sin 1 cos 2 1 cos sin 1 cos
a b c
·正弦定理： 2R ·余弦定理： c 2 a 2 b 2 2ab cosC
sin A sin B sin C
·反三角函数性质： arcsin x arccosx arctgx arcctgx
2 2
高阶导数公式——莱布尼兹（ ）公式：
n
(n) k (n k) (k)
(uv) C u v
n
k 0
n(n 1) n(n 1) (n k 1)
(n) (n 1) (n 2) (n k) (k) (n)
u v nu v u v u v uv
2! k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b) f (a) f ( )(b a)
f (b) f (a) f ( )
柯西中值定理：
F (b) F (a) F ( )
当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
2
弧微分公式： ds 1 y dx,其中 y tg
平均曲率：K . : 从M点到 M 点，切线斜率的倾角变 化量； s：MM 弧长。
s
d y
M点的曲率： K lim .
s 0 s ds 2 3
(1 y )
直线： K 0;
1
半径为 a的圆： K .
a定积分的近似计算：
b
b a
矩形法： f (x) (y y y )
0 1 n 1
n
a
b
b a 1
梯形法： f (x) [ ( y y ) y y ]
0 n 1 n 1
n 2
a
b
b a
抛物线法： f ( x) [( y y ) 2(y y y ) 4(y y y )]
0 n 2 4 n 2 1 3 n 1
3n
a
定积分应用相关公式：
功：W F s
水压力： F p A
m m
1 2
引力： F k ,k为引力系数
2
r
b
1
函数的平均值：y f (x)dx
b a
a
b
1
2
均方根： f (t)dt
b a
a
空间解析几何和向量代数：
2 2 2
空间2点的距离： d M M (x x ) (y y ) (z z )
1 2 2 1 2 1 2 1
向量在轴上的投影：Pr j AB AB cos , 是AB与u轴的夹角。
u
Pr j (a a ) Pr ja Pr ja
u 1 2 1 2
a b a b cos a b a b a b ,是一个数量 ,
x x y y z z
a b a b a b
x x y y z z
两向量之间的夹角：cos
2 2 2 2 2 2
a a a b b b
x y z x y z
i j k
c a b a a a , c a b sin .例：线速度： v w r .
x y z
b b b
x y z
a a a
x y z
向量的混合积：[abc] (a b) c b b b a b c cos , 为锐角时，
x y z
c c c
x y z
代表平行六面体的体积 。平面的方程：
1、点法式： A( x x ) B( y y ) C(z z ) 0，其中 n { A, B,C}, M (x , y ,z )
0 0 0 0 0 0 0
2、一般方程： Ax By Cz D 0
x y z
3、截距世方程： 1
a b c
Ax By Cz D
0 0 0
平面外任意一点到该平 面的距离： d
2 2 2
A B C
x x mt
0
x x y y z z
0 0 0
空间直线的方程： t,其中 s { m,n, p}; 参数方程： y y nt
0
m n p
z z pt
0
二次曲面：
2 2 2
x y z
1、椭球面： 1
2 2 2
a b c
2 2
x y
2、抛物面： z（, p,q同号）
2 p 2q
3、双曲面：
2 2 2
x y z
单叶双曲面： 1
2 2 2
a b c
2 2 2
x y z
双叶双曲面： （1 马鞍面）
2 2 2
a b c
多元函数微分法及应用
z z u u u
全微分： dz dx dy du dx dy dz
x y x y z
全微分的近似计算： z dz f (x, y) x f (x, y) y
x y
多元复合函数的求导法 ：
dz z u z v
z f [u(t),v(t)]
dt u t v t
z z u z v
z f [u(x, y),v(x, y)]
x u x v x
当u u(x, y)，v v(x, y)时，
u u v v
du dx dy dv dx dy
x y x y
隐函数的求导公式：
2
dy F d y F F dy
隐函数 F(x, y) 0， x ， ( x )＋ ( x )
2
dx F dx x F y F dx
y y y
z F z F
x y
隐函数 F(x, y,z) 0， ，
x F y F
z zF F
F (x,y,u,v) 0 (F,G) F F
u v u v
隐函数方程组： J
G(x,y,u,v) 0 (u,v) G G G G
u v
u v
u 1 (F,G) v 1 (F ,G)
x J ( x,v) x J (u,x)
u 1 (F,G) v 1 (F ,G)
y J ( y,v) y J (u, y)
微分法在几何上的应用：
x (t)
x x y y z z
空间曲线 y (t)在点M (x ,y , z )处的切线方程： 0 0 0
0 0 0
(t ) (t ) (t )
0 0 0
z (t)
在点M处的法平面方程： (t )(x x ) (t )( y y ) (t )(z z ) 0
0 0 0 0 0 0
F (x,y,z) 0 F F F F F F
y z z x x y
若空间曲线方程为： ,则切向量 T { , , }
G(x, y,z) 0 G G G G G G
y z z x x y
曲面F ( x, y,z) 0上一点 M (x , y ,z )，则：
0 0 0
1、过此点的法向量： n {F (x , y , z ), F (x ,y ,z ), F ( x , y ,z )}
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
2、过此点的切平面方程 ：F (x ,y ,z )(x x ) F (x ,y , z )( y y ) F ( x ,y ,z )( z z ) 0
x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0
x x y y z z
0 0 0
3、过此点的法线方程：
F (x ,y ,z ) F (x , y ,z ) F (x , y , z )
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
方向导数与梯度：
f f f
函数z f (x, y)在一点 p(x,y)沿任一方向 l的方向导数为： cos sin
l x y
其中 为x轴到方向 l的转角。
f f
函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度： gradf (x,y) i j
x y
f
它与方向导数的关系是 ： grad f (x,y) e，其中 e cos i sin j ，为l 方向上的
l
单位向量。
f
是gradf (x,y)在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法：设f (x ,y ) f (x , y ) 0，令： f (x , y ) A, f (x , y ) B, f (x ,y ) C
x 0 0 y 0 0 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
A 0,(x ,y )为极大值
2 0 0
AC B 0时，
A 0,(x , y )为极小值
0 0
2
则： AC B 0时， 无极 值
2
AC B 0时, 不确定
重积分及其应用：
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D D
2 2
z z
曲面 z f (x, y)的面积 A 1 dxdy
x y
D
x (x, y)d y (x, y)d
M M
平面薄片的重心： x x D , y y D
M ( x, y)d M (x, y)d
D D
2 2
平面薄片的转动惯量： 对于x轴I y ( x, y)d , 对于 y轴I x (x, y)d
x y
D D
平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a),(a 0)的引力： F {F ,F ,F }，其中：
x y z
(x, y) xd (x, y)yd ( x, y) xd
F f ， F f ， F fa
x 3 y 3 z 3
D (x 2 y 2 a 2 )2 D ( x 2 y 2 a 2 ) 2 D ( x 2 y 2 a 2 ) 2
柱面坐标和球面坐标：
x r cos
柱面坐标： y r sin , f ( x, y,z)dxdydz F (r , ,z)rdrd dz,
z z
其中： F (r , ,z) f (r cos ,r sin ,z)
x r sin cos
2
球面坐标： y r sin sin ， dv rd r sin d dr r sin drd d
z r cos
2 r( , )
2 2
f (x,y,z)dxdydz F(r, , )r sin drd d d d F (r , , )r sin dr
0 0 0
1 1 1
重心： x x dv, y y dv, z z dv， 其中 M x dv
M M M
2 2 2 2 2 2
转动惯量： I ( y z ) dv， I (x z ) dv， I (x y ) dv
x y z
曲线积分：第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：
x (t)
设f (x,y)在L上连续， L的参数方程为： , ( t ),则：
y (t)
x t
2 2
f (x,y)ds f[ (t), (t)] (t) (t)dt ( ) 特殊情况：
y (t)
L
第二类曲线积分（对坐 标的曲线积分）：
x (t)
设L的参数方程为 ，则：
y (t)
P( x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
L
两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds，其中 和 分别为
L L
L上积分起止点处切向量 的方向角。
Q P Q P
格林公式： ( )dxdy Pdx Qdy格林公式： ( )dxdy Pdx Qdy
x y x y
D L D L
Q P 1
当P y,Q x，即： 2时，得到 D的面积： A dxdy xdy ydx
x y 2
D L
·平面上曲线积分与路径 无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
Q P
2、P(x,y)，Q( x,y)在G内具有一阶连续偏导数 ，且 ＝ 。注意奇点，如 (0,0)，应
x y
减去对此奇点的积分， 注意方向相反！
·二元函数的全微分求积 ：
Q P
在 ＝ 时，Pdx Qdy才是二元函数 u(x,y)的全微分，其中：
x y
(x,y)
u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy，通常设 x y 0。
0 0
(x ,y )
0 0
曲面积分：2 2
对面积的曲面积分： f (x, y,z)ds f[x, y,z(x,y)] 1 z (x,y) z (x,y)dxdy
x y
D
xy
对坐标的曲面积分： P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y, z)dxdy，其中：
R( x, y,z)dxdy R[x,y,z(x, y)]dxdy，取曲面的上侧时取正 号；
D
xy
P( x, y,z)dydz P[x(y,z), y,z]dydz，取曲面的前侧时取正 号；
D
yz
Q(x,y,z)dzdx Q[x,y(z,x), z]dzdx，取曲面的右侧时取正 号。
D
zx
两类曲面积分之间的关 系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds
高斯公式：P Q R
( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cos Rcos )ds
x y z
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
P Q R
散度： div ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失 ...
x y z
通量： A nds A ds (P cos Q cos Rcos )ds，
n
因此，高斯公式又可写 成： div Adv A ds
n
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
R Q P R Q P
( )dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz
y z z x x y
dydz dzdx dxdy cos cos cos
上式左端又可写成：
x y z x y z
P Q R P Q R
R Q P R Q P
空间曲线积分与路径无 关的条件： ， ，
y z z x x y
i j k
旋度： rotA
x y z
P Q R
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量： Pdx Qdy Rdz A tds
常数项级数：
n
1 q
2 n 1
等比数列：1 q q q
1 q
(n 1)n
等差数列：1 2 3 n
2
1 1 1
调和级数：1 是发散的
2 3 n
级数审敛法：1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判 别法）：
1时，级数收敛
设： lim n u ，则 1时，级数发散
n
n
1时，不确定
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
U
n 1
设： lim ，则 1时，级数发散
n U
n
1时，不确定
3、定义法：
s u u u ; lim s 存在，则收敛；否则发 散。
n 1 2 n n
n
交错级数 u u u u (或 u u u ,u 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理：
1 2 3 4 1 2 3 n
u u
n n 1
如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和 s u ,其余项 r 的绝对值 r u 。
lim u 0 1 n n n 1
n
n
绝对收敛与条件收敛：
(1)u u u ，其中 u 为任意实数；
1 2 n n
(2) u u u u
1 2 3 n
如果(2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；
如果(2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。
n
1 ( 1)
调和级数： 发散，而 收敛；
n n
1
级数： 收敛；
2
n
1 ｐ １时发散
p级数：
p
n p 1时收敛
幂级数：1
x 1时，收敛于
2 3 n
1 x x x x 1 x
x 1时，发散
2 n
对于级数 (3)a a x a x a x ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全
0 1 2 n
x R时收敛
数轴上都收敛，则必存 在R，使 x R时发散 ，其中 R称为收敛半径。
x R时不定
1
0时， R
a
求收敛半径的方法：设 lim n 1 ，其中 a ，a 是(3)的系数，则 0时， R
n n 1
n a
n
时， R 0
函数展开成幂级数：
(n)
f ( x ) f (x )
0 2 0 n
函数展开成泰勒级数： f (x) f ( x )( x x ) (x x ) ( x x )
0 0 0 0
2! n!
(n 1)
f ( )
n 1
余项： R (x x ) , f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim R 0
n 0 n
(n 1)! n
(n)
f (0) f (0)
2 n
x 0时即为麦克劳林公式： f (x) f (0) f (0)x x x
0
2! n!
一些函数展开成幂级数：
m(m 1) m(m 1) (m n 1)
m 2 n
(1 x) 1 mx x x ( 1 x 1)
2! n!
3 5 2n 1
x x x
n 1
sinx x ( 1) ( x )
3! 5! (2n 1)!
欧拉公式：
ix ix
e e
cosx
2
ix
e cosx i sinx 或
ix ix
e e
sin x
2
三角级数：
a
0
f (t) A A sin(n t ) (a cosnx b sinnx)
0 n n n n
2
n 1 n 1
其中， a aA ，a A sin ，b A cos ， t x。
0 0 n n n n n n
正交性：1,sin x,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在[ , ]
上的积分＝ 0。
傅立叶级数：a
0
f (x) (a cosnx b sin nx)，周期 2
n n
2
n 1
1
a f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )
n
其中
1
b f ( x)sinnxdx (n 1,2,3 )
n
2 2
1 1 1 1 1
1 1 （相加）
2 2 2 2 2
3 5 8 2 3 4 6
2 2
1 1 1 1 1 1
1 （相减）
2 2 2 2 2 2
2 4 6 24 2 3 4 12
2
正弦级数： a 0，b f (x)sin nxdx n 1,2,3 f (x) b sin nx是奇函数
n n n
0
2 a
余弦级数： b 0，a f ( x) cosnxdx n 0,1,2 f ( x) 0 a cosnx是偶函数
n n n
2
0
周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：a n x n x
0
f (x) (a cos b sin )，周期 2l
n n
2 l l
n 1
l
1 n x
a f (x) cos dx (n 0,1,2 )
n
l l
l
其中
l
1 n x
b f (x) sin dx (n 1,2,3 )
n
l l
l
微分方程的相关概念：
一阶微分方程： y f (x, y) 或 P(x,y)dx Q(x, y)dy 0
可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为g( y)dy f (x)dx的形式，解法：
g( y)dy f (x)dx 得： G( y) F (x) C称为隐式通解。
dy y
齐次方程：一阶微分方 程可以写成 f (x, y) ( x, y)，即写成 的函数，解法：
dx x
y dy du du dx du y
设u ，则 u x ，u (u)， 分离变量，积分后将 代替u，
x dx dx dx x (u) u x
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1、一阶线性微分方程： P(x) y Q(x)
dx
P(x)dx
当Q(x) 0时,为齐次方程， y Ce
P(x)dx P(x)dx
当Q(x) 0时，为非齐次方程， y ( Q(x)e dx C)e
dy
n
2、贝努力方程： P(x) y Q(x) y ，(n 0,1)
dx
全微分方程：
如果P(x, y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即：
u u
du(x, y) P(x, y)dx Q( x,y)dy 0，其中： P(x,y)， Q(x,y)
x y
u(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。
二阶微分方程：
d 2 y dy f (x) 0时为齐次
P( x) Q(x)y f (x)，
2
dx dx f (x) 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y py qy 0，其中 p,q为常数；
求解步骤：
2 2
1、写出特征方程： ( )r pr q 0，其中 r ，r的系数及常数项恰好是 (*) 式中 y , y , y的系数；
2、求出 ( )式的两个根 r ,r
1 23、根据 r ,r 的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
1 2
(*) 式的通解
r ，r 的形式
1 2
两个不相等实根 ( p 2 4q 0) y c e r 1 x c e r 2 x
1 2
2 rx
两个相等实根 (p 4q 0) y (c c x)e1
1 2
一对共轭复根 (p 2 4q 0) y e x (c cos x c sin x)
1 2
r i ，r i
1 2
2
p 4q p
，
2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f (x)，p,q为常数
x
f (x) e P (x)型， 为常数；
m
x
f (x) e [ P (x)cos x P ( x)sin x]型
l n
