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直角三角形问题
一阶 方法突破练
1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在所给网格中确定格点C，使得 △ABC是以 AB 为直角边的直角三角
形.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A(3,0),B(0,4),点P为y轴上一点,当 △PAB为
直角三角形时，求点P的坐标.
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3.如图，已知抛物线 y= x2− x−5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.若在抛物线上存在一点 P，使
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得 △BCP是以 BC为直角边的直角三角形，求出点P的坐标.
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二阶 设问进阶练
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例 已知抛物线L: y=− x2+x+4与 x 轴交于点 A(−2,0),B(4,0),与y轴交于点 C,顶点为D.
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(1)如图①,若点 E 是y轴上一点,且. ∠AEB=90°,,求点 E 的坐标；
(2)如图②，连接BD，在x轴上是否存在一点G，使得 △BDG为直角三角形?若存在，求出点G的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图③，连接AC，在抛物线的对称轴上存在一点 F，使得 △ACF是以AC为直角边的直角三角形，求出
点 F的坐标；
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(4)如图④，点N是第一象限抛物线上的一点，连接AN，若点N到x轴的距离为d，点C关于x轴的对称点为
C',直线 BC' 上是否存在一点 H，使得. △ANH为直角三角形，且 Rt△ANH的面积为3d，若存在，请求出点H的
坐标；若不存在，请说明理由；
(设问源自2022遂宁中考)
(5)如图⑤，将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线. L' 与原抛物线交于点 C.记新抛物线的顶点为M，连
接AM，在y轴上是否存在一点 Q，使得 △AMQ为直角三角形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理
由.
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综合强化练
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1. 创新题·规律探究 如图，已知抛物线 C :y =− x2+x+2n(n为正整数)与x轴交于 Mₙ , Aₙ (bₙ ,0)两点
n n n
(点 Mₙ 在点 Aₙ 的左侧).
(1)抛物线y₂y₂的顶点坐标为 ；抛物线yn的顶点坐标为 ( 用含 n 的代数式表 yₙ 示);
(2)求证: Aₙ A₋ₙ₁=Aₙ₋₁Aₙ₋₂;
(3)若设抛物线( Cₙ 的顶点坐标为 Pₙ ,，是否存在n使得 △M₃Pₙ A是ₙ直角三角形，若存在，请求出n的值；
若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
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2.如图，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与y轴交于点
C,OB=OC,抛物线的对称轴l为直线. x=1.
(1)求a,b的值;
(2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接AC，CP，AP，当 △ACP的周长最小时，求点 P的坐标；
(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点Q，使得以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形?
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
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3.如图，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为
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y=− x+3,且 AB=CB,点M是线段BC的中点,连接AC,AM.
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(1)求抛物线的解析式；
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(2)创新题·重叠图形面积关系 将 △ACM沿x轴向右平移 m(0
