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中考数学一轮复习 解答题
一．解答题（共25小题）
1．（2024•绵阳）如图，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于
点 ，连接 和 ，点 在抛物线上运动，连接 ， 和 ．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点 在抛物线上从点 运动到点 的过程中（点 与点 ， 不重合），作点 关于 轴的
对称点 ，连接 ， ，记△ 的面积为 ，记△ 的面积为 ，若满足 ，求△
的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024•绵阳）如图，在正方形 中， ，对角线 与 相交于点 ，点 在线段
上（与端点不重合），线段 绕点 逆时针旋转 到 的位置，点 恰好落在线段 上，
，垂足为 ．
（1）求证：△ △ ；
（2）设 ，求 的最小值．
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3．（2024•绵阳）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
4．（2024•凉山州模拟）如图，在 △ 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 长．
5．（2024•新吴区二模）如图，在 与 中， 与 交于点 ，且 ，
．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数．
6．（2024•柳州一模）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点分别为 ，
， ．
（1）若△ 与 关于 轴对称，请写出点 、 的坐标．
（2）画出 绕原点逆时针旋转 后的△ ，并写出点 的坐标．
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7．（2024•连山区一模）【问题初探】
（1）如图 1， 是 的中线， 交 于点 ，交 于点 ，且 ，求证：
．
小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，构造 ；
②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图 3，过点 作
交 延长线于点 ，于是得到 ；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等边 中， 为 边上一动点，连接 ，将 绕若 顺时针旋转 得到
，连接 ，取 中点 ，连接 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图5，已知 中， ， ，点 是斜边 上的一点，且 ，连
接 ，将线段 绕 点顺时针旋转 ，得到线段 ，连接线段 ，点 为线段 的中点，
连接 ．若 ， ，求线段 的长度．
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8．（2024•息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的
知识探索相应的数学问题．如图①， 是正方形 边 上一点 点不与 ， 重合），连接
，将 绕点 顺时针旋转到 ，使 ，连接 ．
（1）【问题探究】
在 上截取 ，连接 ，此时 ，则 等于 度；
（2）【拓展延伸】
当正方形 变为菱形时，若 ，其余条件不变，如图②，请写出 与 的
数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当 时，若 ，求 的长．
9．（2024•扬州）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点．
（1）求 、 的值；
（2）若点 在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点 的坐标．
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10．（2024•重庆）如图1，在 中， ， ，点 为 上一点， ，过点 作
交 于点 ．点 ， 的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
（1）请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
．
11．（2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院
每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元 张）之间满足一次函数关系 ，
且 是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价 （元 张） 40 50
164 124
售出电影票数量 （张
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
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（2）设该影院每天的利润（利润 票房收入 运营成本）为 （单位：元），求 与 之间的函数
关系式；
（3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
12．（2024•六盘水二模）观察甲、乙两组数据：
甲：90，90，100，80，80，70；乙：75，80，80，90，90，95
回答下列问题：
（1）甲组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
（2）你认为哪组数据更稳定，用统计知识来说明你的观点．
13．（2024•惠州二模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是 ，看这栋楼底的
俯角为 ，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
14．（2024•铜梁区一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，其中 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）如图1，连接 ，点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴交 于点 ，
过点 作 轴，垂足为点 ，求 的最大值并求出此时点 的坐标；
（3）如图2，点 在抛物线上，且满足在（2）中求出的点 的坐标，连 ，将该抛物线向右平移，
使得新抛物线 恰好经过原点，点 的对应点是 ，点 是新抛物线 上一点，连接 ，当
时，请直接写出所有符合条件的点 的坐标．
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15．（2024•武威三模）如图，以四边形 的对角线 为直径作圆，圆心为 ，过点 作
的延长线于点 ，已知 平分 ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的半径和 的长．
16．（2024•内江）已知关于 的一元二次方程 为常数）有两个不相等的实数根 和
．
（1）填空： ， ；
（2）求 ， ；
（3）已知 ，求 的值．
17．（2024•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
（3）如图2，连接 、 、 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记
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、 、 的面积分别为 ， ， 当 取得最大值时，求 的值．
18．（2024•泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点
恰好落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ． 与 相交于点 ．同学们
发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2， 是平行四边形纸片 的
一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线
上，折痕分别是 和 ．将纸片展平，连结 ， ， ．同学们探究后发现，若
，那么点 恰好是对角线 的一个“黄金分割点”，即 ．请你判断同学
们的发现是否正确，并说明理由．
19．（2024•龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头
盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售
72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
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（2）若此种头盔的进价为30元 个，商家经过调查统计，当售价为40元 个时，月销售量为500个，
若在此基础上售价每上涨1元 个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可
能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
20．（2024•烟台一模）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
．
（1）求证： 为圆的直径；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，若 ， ，求此圆半径的长．
21．（2024•工业园区模拟）苏州的魅力不仅仅只在于园林，还有着隐藏在阳澄湖上的一座宁静的寺
庙，那就是重元寺．重元寺被赞誉为“水天佛国”，给人一种宁静、祥和的感觉．小希用无人机测
量重元寺 的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面 的 点，测得重元
寺顶端 的俯角为 ；再将无人机沿重元寺的方向水平飞行 到达点 ，测得重元寺底端 的
俯角为 ，求重元寺 的高度．（结果精确到 ；参考数据： ， ，
22．（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗
圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木
栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留 1米宽的门（门不用木栏），修建所用
木栏总长28米，设矩形 的一边 长为 米．
（1）矩形 的面积为 ，求出 的长．
（2）矩形 的面积能否为 ，若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
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23．（2024•凉州区三模）一张长为 ，宽 的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角
各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2所示，如果折成
的长方体纸盒的底面积为 ，求剪掉的正方形纸片的边长．
24．（2024•深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100
本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低 1元时，那
么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价 元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含 的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本
画册应降价多少元？
25．（2024•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建
筑物底端 在同一水平线上的 点出发，沿斜坡 行走130米至坡顶 处，再从 处沿水平方向
继续前行若干米后至点 处，在 点测得该建筑物顶端 的仰角为 ，建筑物底端 的俯角为
，点 、 、 、 、 在同一平面内，斜坡 的坡度 ．根据小颖的测量数据，求
建筑物 的高度．（参考数据：
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中考数学一轮复习 解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．（2024•绵阳）如图，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于
点 ，连接 和 ，点 在抛物线上运动，连接 ， 和 ．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点 在抛物线上从点 运动到点 的过程中（点 与点 ， 不重合），作点 关于 轴的
对称点 ，连接 ， ，记△ 的面积为 ，记△ 的面积为 ，若满足 ，求△
的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，顶点坐标为： ；
（3） ；
（3）存在， ， 或 ， ．
【考点】二次函数综合题
【专题】分类讨论；代数几何综合题；解直角三角形及其应用；推理能力
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（ 3 ） 由 ， 同 理 可 得 ：
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，求出点 的坐标，进而求
解；
（3）当点 在点 的上方时，则 ，用解直角三角形的方法求出 ，即可求解；点
在点 下方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
则 ，则 ，
则抛物线的表达式为： ，
该抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，即顶点坐标为： ；
（3）由抛物线的表达式知，点 ，
设点 ，则点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，则点 ，
同理由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
连接 交 于点 ，设直线 交 轴于点 ，则点 ，
则 ，
同理可得： ，
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解得： （舍去）或 ，
即点 ， ；
则△ 的面积 ；
（3）存在，理由：
由（2）知， ， ；
由点 、 的坐标得， ；
当点 在点 的上方时，则 ，
由点 、 的坐标得， ，
过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
则 ，
解得： ，
则 ， ，
则 ，
则 ，
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即点 ， ；
当点 在点 下方时，
同理可得： ，
则点 ， ；
综上， ， 或 ， ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形
结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间
的关系．
2．（2024•绵阳）如图，在正方形 中， ，对角线 与 相交于点 ，点 在线段
上（与端点不重合），线段 绕点 逆时针旋转 到 的位置，点 恰好落在线段 上，
，垂足为 ．
（1）求证：△ △ ；
（2）设 ，求 的最小值．
【答案】（1）证明见解答；
（2） 的最小值是 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】（1）根据 证明△ △ 即可；
（2）根据△ △ ，得 ， ，根据△ 是等腰直角三角形得：
，最后计算 ，配方后可解答．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
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，
，
，
，
，
由旋转得： ， ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ；
（2）解： 四边形 是正方形，
， ， ，
△ △ ，
， ，
，
，
，
点 在线段 上（与端点不重合），
，
当 时， 的最小值是 ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质等知识；
熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2024•绵阳）（1）计算： ；
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（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）0；
（2） ， ．
【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；分式的化简求值；二次根式的混合运算
【专题】分式；运算能力
【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各
数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，
熟知以上知识是解题的关键．
4．（2024•凉山州模拟）如图，在 △ 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 长．
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【答案】（1）见解析；
（2） ．
【考点】垂径定理；切线的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理
【专题】推理能力；几何直观；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算
【分析】（1）连接 ， ，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得
，从而可得 ，然后根据切线的判
定定理分析证明；
（2）结合含 的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解．
【解答】（1）证明：连接 ， ，如图，
是 的直径，
，
，
在 △ 中， 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
为半径， ，
是 的切线；
（2）解： ，
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，
在 △ 中， ，
， ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，
， ，
，
同理在 △ 中，设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，即 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识．
正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．（2024•新吴区二模）如图，在 与 中， 与 交于点 ，且 ，
．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数．
【考点】 ：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）利用“角角边”证明 和 全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据邻补角的定义求出 ，然后根据等腰三
角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，
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；
（2） ，
，
又 ，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌
握三角形全等的判断方法是解题的关键．
6．（2024•柳州一模）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点分别为 ，
， ．
（1）若△ 与 关于 轴对称，请写出点 、 的坐标．
（2）画出 绕原点逆时针旋转 后的△ ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）作图见解答过程； ， ；
（2）作图见解答过程； ．
【考点】作图 轴对称变换；作图 旋转变换
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【专题】几何直观；作图题；平移、旋转与对称
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，△ 即为所求．
点 、 的坐标分别为 ， ；
（2）如图2，△ 即为所求．
点 的坐标为 ．
【点评】本题考查作图 旋转变换、轴对称，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关
键．
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7．（2024•连山区一模）【问题初探】
（1）如图 1， 是 的中线， 交 于点 ，交 于点 ，且 ，求证：
．
小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，构造 ；
②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图 3，过点 作
交 延长线于点 ，于是得到 ；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等边 中， 为 边上一动点，连接 ，将 绕若 顺时针旋转 得到
，连接 ，取 中点 ，连接 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图5，已知 中， ， ，点 是斜边 上的一点，且 ，连
接 ，将线段 绕 点顺时针旋转 ，得到线段 ，连接线段 ，点 为线段 的中点，
连接 ．若 ， ，求线段 的长度．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
（3） ．
【考点】三角形综合题
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的全等；推理能力
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【分析】（1）方法一：延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，由全
等三角形的性质可得出 ， ，根据等腰三角形的判定与性质则可得出结论；
方法二：过点 作 交 延长线于点 ，证明 ，得出 ，则
可得出结论；
（2）连接 并延长至 ，使 ，先证得 ，进而证得 ，进一
步得 ， ，从而得出结论；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ， ，由相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：方法一：延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
方法二：过点 作 交 延长线于点 ，
，
是 的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
；
（2）解： ．
理由：延长 至 ，使 ，
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ， ，
点 是 中点，点 是 中点，
是 的中位线，
，
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作 ，垂足为 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 上取点 ，使 ，则 ，
，
，
在 中， ，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
8．（2024•息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的
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知识探索相应的数学问题．如图①， 是正方形 边 上一点 点不与 ， 重合），连接
，将 绕点 顺时针旋转到 ，使 ，连接 ．
（1）【问题探究】
在 上截取 ，连接 ，此时 ，则 等于 13 5 度；
（2）【拓展延伸】
当正方形 变为菱形时，若 ，其余条件不变，如图②，请写出 与 的
数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当 时，若 ，求 的长．
【答案】（1）135．
（2） ，理由见解答．
（3） ．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力
【分析】（1）利用正方形的性质可知 ，根据题意，求出 ，即可解答．
（2）在 上截取 ，连接 ，则 ，证明 ，表示出 ，
即可解答．
（3）在 上截取 ，连接 ，利用菱形的性质得性质，证明 ，过点
作 ，垂足为 ，利用直角三角形中特殊角的函数值，即可解答．
【解答】解：（1） 正方形 ，
，
，
，
，
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，
，
故答案为：135．
（2） ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，在 上截取 ，连接 ，
是等腰三角形，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
， ，
又 ，
，
在 和 中，
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，
，
．
过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
在 △ 中， ，
又 ，
，
．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与
判定，掌握这些性质是解题的关键．
9．（2024•扬州）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点．
（1）求 、 的值；
（2）若点 在该二次函数的图象上，且 的面积为6，求点 的坐标．
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【答案】（1） ， ；
（2） 或 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】（1）把 ， 代入 ，解方程组求出 ， 的值；
（2）由（1）得出抛物线解析式为 ，设点 坐标为 ，根据三角形的面
积列出关于 的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得： ，
解得 ；
（2）由（1）知，二次函数解析式为 ，
设点 坐标为 ，
的面积为6， ，
，
，
即 或 ，
解得 或 ，
或 ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物
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线解析式．
10．（2024•重庆）如图1，在 中， ， ，点 为 上一点， ，过点 作
交 于点 ．点 ， 的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
（1）请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
．
【答案】（1） ， ；
（2）图象见解析过程； 的图象性质：在 ， 随 的增大而增大， 的图象性质：
在 ， 随 的增大而减小；
（3） ．
【考点】三角形综合题
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；图形的相似；推理能力；应用意识
【分析】（1）通过证明 ，可得 ， ，即可解；
（2）根据解析式画出图象即可；
（3）根据题意列出不等式，可求解．
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【解答】解：（1） ，
，
， ，
， ，
，
点 为 上一点，
， ；
（2）图象如图所示：
的图象性质：在 ， 随 的增大而增大，
的图象性质：在 ， 随 的增大而减小；
（3） ，
，
，
（舍去）， ，
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．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，反比例函
数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11．（2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院
每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元 张）之间满足一次函数关系 ，
且 是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价 （元 张） 40 50
164 124
售出电影票数量 （张
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润 票房收入 运营成本）为 （单位：元），求 与 之间的函数
关系式；
（3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ，且 是整数）；
（2） ；
（3）该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【考点】二次函数的应用
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出 与 之间的函数关系式；
（2）根据利润 票房收入 运营成本和（1）中的结果，可以写出 与 之间的函数关系式；
（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和 的取值范围，可以求得该影
院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设 与 之间的函数关系式是 ，
由表格可得， ，
解得 ，
即 与 之间的函数关系式是 ，且 是整数）；
（2）由题意可得，
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，
即 与 之间的函数关系式是 ；
（3）由（2）知： ，
，且 是整数，
当 或41时， 取得最大值，此时 ，
答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【点评】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，
求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
12．（2024•六盘水二模）观察甲、乙两组数据：
甲：90，90，100，80，80，70；乙：75，80，80，90，90，95
回答下列问题：
（1）甲组数据的平均数是 8 5 ，中位数是 ，众数是 ；
（2）你认为哪组数据更稳定，用统计知识来说明你的观点．
【答案】（1）85；85；90、80．
（2）乙组数据更稳定，理由见解答．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数
【专题】数据分析观念；数据的收集与整理
【分析】（1）分别根据扫解放，中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的计算公式和意义解答即可．
【解答】解：（1）甲组数据的平均数是 ，中位数是 ，
众数是90、80．
故答案为：85；85；90、80．
（2）乙组数据更稳定，理由如下：
乙组数据的平均数是 ，
，
，
，
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乙组数据更稳定．
【点评】本题主要考查众数、平均数、中位数和方差，掌握众数、平均数、中位数以及方差的定义
及其意义是解题的关键．
13．（2024•惠州二模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是 ，看这栋楼底的
俯角为 ，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
【答案】这栋楼的高度 约为 米．
【考点】解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识
【分析】在直角三角形 中和直角三角形 中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得
和 的长，从而可以求得 的长，本题得以解决．
【解答】解：如图，
由题意可得，
， ， 米， ，
在 中， ， 米，
（米 ，
在 中， ， 米，
（米 ，
（米 ，
即这栋楼的高度 约为 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
14．（2024•铜梁区一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，
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与 轴交于点 ，其中 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）如图1，连接 ，点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴交 于点 ，
过点 作 轴，垂足为点 ，求 的最大值并求出此时点 的坐标；
（3）如图2，点 在抛物线上，且满足在（2）中求出的点 的坐标，连 ，将该抛物线向右平移，
使得新抛物线 恰好经过原点，点 的对应点是 ，点 是新抛物线 上一点，连接 ，当
时，请直接写出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】（1） ， ．
（2） 的最大值为4，此时 ．
（3） ．
【考点】二次函数综合题
【专题】应用意识；二次函数的应用
【分析】（1）将 ， 代入 中，再计算即可．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为 ，得直线 的解析式为 ，设
，则 ，故 ，当 时， 的最大
值为4，此时 ；
（3）先求平移后的抛物线解析式为 ，再证明 为等腰 △，由
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，得 ，过 作 ，交移动后的抛物线于 ．当 时，
，故 ．
【解答】解：（1）将 ， 代入 中，
，
， ．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为 ，
， ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为4，此时 ；
（3）设抛物线向右平移 个单位，
平移后的抛物线解析式为 ，
抛物线平移后经过原点，
，
解得 或 （舍 ，
平移后的抛物线解析式为 ，
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，
， ，
，
，
，
，
，
为等腰 △，
，
，
，
过 作 ，交移动后的抛物线于 ．
当 时，
，
．
【点评】本题考查了二次函数综合题，掌握求二次函数解析式的方法，会利用配方法求最值，是解
题关键．
15．（2024•武威三模）如图，以四边形 的对角线 为直径作圆，圆心为 ，过点 作
的延长线于点 ，已知 平分 ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的半径和 的长．
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【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；角平分线的性质
【专题】圆的有关概念及性质；证明题；与圆有关的计算；推理能力；运算能力
【分析】（1）连接 ，根据已知条件证明 即可解决问题；
（2）取 中点 ，连接 ，根据垂径定理可得 ，所以四边形 是矩形，利用勾股
定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，
，
．
平分 ，
，
又 ，
，
，
，
是 切线；
（2）解：如图，取 中点 ，连接 ，
于点 ．
四边形 是矩形，
，
．
在 中， ，
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，
在 中， ， ，
，
的长是 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌
握切线的判定与性质．
16．（2024•内江）已知关于 的一元二次方程 为常数）有两个不相等的实数根 和
．
（1）填空： ， ；
（2）求 ， ；
（3）已知 ，求 的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；
（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；
（3）把已知变形后代入可得 的方程，解出 值后再检验即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得： ， ，
故答案为： ，1；
（2） ， ，
；
关于 的一元二次方程 为常数）有两个不相等的实数根 和 ，
，
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，即 ；
（3）由根与系数的关系得： ， ，
，
，
，
解得： ， ，
当 时，△ ；
当 时，△ ；
．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的
关键．
17．（2024•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
（3）如图2，连接 、 、 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记
、 、 的面积分别为 ， ， 当 取得最大值时，求 的值．
【答案】（1） ；
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（2） ；
（3） ．
【考点】二次函数综合题
【专题】推理能力；二次函数图象及其性质
【分析】（1）将点 ， 代入解析式中，求出 和 的值，得到抛物线解析式为
；
（ 2 ） 设 ， 则 ， ，
，根据 ，得出 ，
解得 ， （不合题意舍去），得出 ，得到 ；
（ 3 ） 设 ， 则 ， ， 先 求 出
，得出最大值，再证明 ，得出
，得到 ．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
解得： ，
抛物线解析式为 ；
（2） 当 时， ，
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，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
轴于点 ，
， ，
，
，
，
，
解得 ， （此时 ， 重合，不合题意舍去），
，
；
（3） ，
，
，
， ，
，
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作 交 轴于 ，作 轴交 于 ，
直线 的解析式为 ， ，
直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
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当 时， 有最大值 ，
此时 ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的
判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
18．（2024•泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点
恰好落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ． 与 相交于点 ．同学们
发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
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【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2， 是平行四边形纸片 的
一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线
上，折痕分别是 和 ．将纸片展平，连结 ， ， ．同学们探究后发现，若
，那么点 恰好是对角线 的一个“黄金分割点”，即 ．请你判断同学
们的发现是否正确，并说明理由．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；几何直观
【分析】（1）作 于点 ，证△ △ 即可得证；
（2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．
【解答】解：（1） 正确，理由如下，
作 于点 ，
，
，
．
，
，
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又 ，
△ △ ．
．
是矩形， ，
四边形 是矩形．
．
．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
，
， ，
由折叠知 ，
．
．
，
由平行四边形及折叠知 ， ，
，
即点 为 的一个黄金分割点．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质
等知识，掌握相关知识是解题的关键．
19．（2024•龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头
盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售
72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元 个，商家经过调查统计，当售价为40元 个时，月销售量为500个，
若在此基础上售价每上涨1元 个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可
能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销
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售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为 元，根据利润 （售价 进价） 销售量列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，
依题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）设该品牌头盔每个售价为 元，
依题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以 不合题意，舍去．
所以 ．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
20．（2024•烟台一模）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
．
（1）求证： 为圆的直径；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【专题】推理能力；与圆有关的计算
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【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等 ，即可得到 ，根据角平分
线的定义得到 ，根据圆内接四边形对角互补得到 ，从而证得
，根据三角形内角和定理求出 ，最后根据 的圆周角所对的弦是
直径即可得证；
（2）先证 是等边三角形，即可求出 ，再根据平行线的性质求出 的度数，根
据含 角的直角三角形的性质得出 的长，再在 中求出 的长，即可得出圆的半径．
【解答】（1）证明： ，
又 ，
，
平分 ，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
，
即 ，
，
为圆的直径；
（2）解： 平分 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
为直径，
，
， ，
，
，
圆的半径长为4．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理及推论，等边三角形的判定与性质，含
角的直角三角形的性质，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
21．（2024•工业园区模拟）苏州的魅力不仅仅只在于园林，还有着隐藏在阳澄湖上的一座宁静的寺
庙，那就是重元寺．重元寺被赞誉为“水天佛国”，给人一种宁静、祥和的感觉．小希用无人机测
量重元寺 的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面 的 点，测得重元
寺顶端 的俯角为 ；再将无人机沿重元寺的方向水平飞行 到达点 ，测得重元寺底端 的
俯角为 ，求重元寺 的高度．（结果精确到 ；参考数据： ， ，
【考点】解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力
【分析】延长 交 于点 ．在 △ 中利用等腰三角形的性质和判定先求出 的长，再
利用线段的和差关系求出 的长，用含 的代数式表述出 ，再在 △ 中，利用边角间
关系得关于 的方程，求解即可．
【解答】解：延长 交 于点 ．
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由题意知： ， ， ．
在 △ 中，
，
．
， ．
设 ，则 ．
在 △ 中，
，
．
．
．
答：重元寺 的高度为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质与判定是解
决本题的关键．
22．（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗
圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木
栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留 1米宽的门（门不用木栏），修建所用
木栏总长28米，设矩形 的一边 长为 米．
（1）矩形 的面积为 ，求出 的长．
（2）矩形 的面积能否为 ，若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
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【考点】根的判别式；一元二次方程的应用
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识
【分析】（1）设 ，则 ，根据矩形 的面积为 ，可列出关于
的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）矩形 的面积不能为 ，假设矩形 的面积能为 ，设 ，则
，根据矩形 的面积为 ，可列出关于 的一元二次方程，由根的判别
式△ ，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形 的面积不能为
．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答： 的长为 ；
（2）矩形 的面积不能为 ，理由如下：
假设矩形 的面积能为 ，设 ，则 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
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△ ，
原方程没有实数根，
假设不成立，即矩形 的面积不能为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出一元二次方程；（2）牢记“当△ 时，方程没有实数根”．
23．（2024•凉州区三模）一张长为 ，宽 的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角
各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2所示，如果折成
的长方体纸盒的底面积为 ，求剪掉的正方形纸片的边长．
【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体
【分析】设剪去的正方形边长为 ，那么长方体纸盒的底面的长为 ，宽为 ，
然后根据底面积是 即可列出方程求出即可．
【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为 ．
由题意，得 ．
整理，得 ．
解方程，得 ， （不符合题意，舍去）．
答：剪掉的正方形的边长为 ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利
用题目的数量关系列出方程．
24．（2024•深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100
本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低 1元时，那
么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价 元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含 的代数式表示）；
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（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本
画册应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用
【专题】一元二次方程及应用
【分析】（1）由题意即可求出结论；
（2）根据公式“每件的销售利润 每天的销售数量 销售利润”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为 本．
故答案为： ．
（2）由题意可得，
，
整理得 ，
解得 ， ，
要求每本售价不低于55元，
符合题意．
故每本画册应降价4元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
25．（2024•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建
筑物底端 在同一水平线上的 点出发，沿斜坡 行走130米至坡顶 处，再从 处沿水平方向
继续前行若干米后至点 处，在 点测得该建筑物顶端 的仰角为 ，建筑物底端 的俯角为
，点 、 、 、 、 在同一平面内，斜坡 的坡度 ．根据小颖的测量数据，求
建筑物 的高度．（参考数据：
【答案】 米．
【考点】解直角三角形的应用 坡度坡角问题；解直角三角形的应用 仰角俯角问题
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【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识
【分析】过 作 于 ，延长 交 于 ．则四边形 是矩形，得 ，在
中求出 ，再解直角三角形求出 、 的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过 作 于 ，延长 交 于 ．
则四边形 是矩形，
，
在 中， 米， ，
（米 ，
（米 ，
在 中， ，
是等腰直角三角形，
（米 ，
在 中， ， ，
（米 ，
（米 ．
答：建筑物 的高度为 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
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