❤重难点06相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接型）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 重难点突破 06 相交线与平行线的 5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型 01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系. 已知 图示 结论（性质） E 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、 直线AB、CD被直线 ∠3与∠7、∠4与∠8； 2 1 B EF所截，且AB与CD 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； A 3 4 不平行 3）同旁内角有 2组，如：∠3与∠6、∠4与 6 5 ∠5； C D 7 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、 8 ∠5与∠7、∠6与∠8. F E 1 ） 同 位 角 相 等 ： ∠ 1=∠ 5 、 ∠ 2=∠ 6 、 ∠3=∠7、∠4=∠8； 2 1 直线AB、CD被直线 A B 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； EF所截，且AB∥CD 3 4 3 ） 同 旁 内 角 互 补 ： ∠ 3+∠ 6=180° 、 C 6 5 D ∠4+∠5=180°； 7 8 4 ） 对 顶 角 相 等 ： ∠ 1=∠ 3 、 ∠ 2=∠ 4 、 F ∠5=∠7、∠6=∠8. 【快速判断同位角、内错角与同旁内角】 【针对训练】 例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错 角分别是（ ） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 【答案】B 【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出 答案． 【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截， ∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义． 变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ） A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4 【答案】B 【分析】根据同旁内角的概念求解即可． 【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角， ∠1与∠2是内错角， ∠4与∠2是同位角， 故选：B． 【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本 题的关键． 变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 的两个角，解答即可． 【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义． 例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ） A．120° B．122° C．132° D．148° 【答案】B 【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可 求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解． 【详解】解：设CD与EF交于G， ∵AB∥CD ∴∠1=∠C=58° ∵BC∥FE， ∴∠C+∠CGE=180°， ∴∠CGE=180°-58°=122°， ∴∠2=∠CGE=122°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键 变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重 合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ） 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可； 【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC， ∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D=30°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（ ） A．70° B．110° C．130° D．150° 【答案】C 【分析】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1=∠4=100°，再根据三角形 的外角和定理 即可求解． 【详解】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，如图， 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵m∥n，∠1=100°， ∴∠1=∠4=100°， ∵∠2=30°，∠2与∠5互为对顶角， ∴∠5=∠2=30°， ∴∠3=∠4+∠5=100°+30°=130°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为 （ ） A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】C 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵AC⊥BC于点C， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠1=90°， 又∠1=30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵m∥n， ∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°． 故选：C． 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠ABC的度数． 题型 02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B+∠C+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） AB∥DE ∠B+∠M+∠N+∠E= 540° ∠ A1+∠ A2+... +∠ An-1+∠ An=180°× （ n-1 ） a∥b =180°×（拐点数+1） 【针对训练】 例3如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°． 【答案】见解析 【分析】过点P作PQ∥AB，根据同旁内角互补，可得出结论． 【详解】解：过点P作PQ∥AB，如图， ∵AB∥CD 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AB∥CD∥PQ ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180° ∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠APC+∠PCD=360° 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补． 变式1如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【分析】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，如图， ∵AB∥CD，EM∥CD，FN∥CD， ∴AB∥FN，EM∥FN， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线EM∥CD， FN∥CD是解答本题的关键． 变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而 可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出 ∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °； 问题迁移： （1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α， ∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接 写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠a−∠β， 理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°． （1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE， ∠β=∠CPE，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质 得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°， ∴∠APC=50°+60°=110°， 故答案为：110； （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α； 理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β． 理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β． 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的 关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 变式3 如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝ ； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 变式4（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结果） 1 2 1 2 3 （2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果） 1 2 1 2 3 4 （3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果） 1 2 1 2 3 4 5 （4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠A＝_______．（直接写出结果） 1 2 1 2 n 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 ° 【分析】（1）过点A 作AB∥l，根据平行线的性质，即可求解； 2 2 1 （2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，根据平行线的性质，即可求解； 2 2 1 3 3 1 （3）根据平行线的性质，即可求解； （4）根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）过点A 作AB∥l， 2 2 1 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵l∥l， 1 2 ∴AB∥l∥l， 2 1 2 ∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°， 1 1 2 3 3 2 ∴∠A+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB=180°+180°=360°， 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2 故答案是：360°； （2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l， 2 2 1 3 3 1 ∵l∥l， 1 2 ∴AC∥AB∥l∥l， 3 2 1 2 ∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，∠BAA+∠CA A=180°， 1 1 2 4 4 3 2 3 3 2 ∴∠A+∠A1AA+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB+∠BAA3+∠CA A 1 2 3 2 3 4 4 1 1 2 4 4 3 2 3 2 =180°+180°+180°=540°， 故答案是：540°； （3）同理可得：∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°+180°+180°+180°=720°， 1 2 3 4 5 故答案是：720°； （4）同理可得：∠A+∠A+…+∠A＝（n-1）180 °， 1 2 n 故答案是：（n-1）180 °． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键． 题型 03 锯齿型模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 【针对训练】 例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本 题得以解决． 【详解】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成 证明． 已知：如图，AB∥CD． 求证：∠AEC=∠A+∠C 方法二 方法一 证明：如图，延长AE，交CD于点 证明：如图，过点E作MN∥AB F． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可． 【详解】方法一 证明：如图，过点E作MN∥AB ， ∴∠A=∠AEM． ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠C=∠CEM． ∵∠AEC=∠AEM+∠CEM， ∴∠AEC=∠A+∠C． 方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠AFC． ∵∠AEC=∠AFC+∠C， 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠AEC=∠A+∠C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD= ． 【答案】150°/150度 【分析】过点F作FH∥AB，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD，FH∥AB， ∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH,∠HFG+∠FGD=180°， ∵∠EFG−∠AEF=30°， ∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=∠EFG−∠AEF=30°， ∴∠FGD=180°−∠HFG=180°−30°=150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题主要考查平行的性质，理解并掌握构造平行线，平行线的性质是解题的关键． 变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数． 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得 ∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． (1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、 ∠β之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，M A ∥N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息， 1 n 1 1 2 n−1 n 把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A+∠A+…+∠An=∠B+∠B+…+∠B 1 2 1 2 n−1 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A，A…，An 作直线∥AM，过B，B，…，Bn 作直线∥AM，根据平行线的判 2 3 -1 1 1 2 -1 1 定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A，A…，An 作直线∥AM，过B，B，…，Bn 作直线∥AM， 2 3 -1 1 1 2 -1 1 由平行线的性质和角的和差关系得∠A+∠A+…+∠An=∠B+∠B+…+∠B ． 1 2 1 2 n−1 故答案为：∠A+∠A+…+∠An=∠B+∠B+…+∠B ． 1 2 1 2 n−1 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注 意分类思想的运用． 变式4．如图1，四边形 为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ ），则 __________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ ），则 __________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ ），则 ___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 ____________°． 【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4） ． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的 三倍； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于 180°的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴AB∥CD， 又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键， 总结规律求解是本题的难点． 变式5（1）如图1，AM∥CN，求证： ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1） •180°，证明详见解析 【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝ 180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质， 即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n 个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°． 【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN， ∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得： 所有角的和为（n+1）•180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得 出结论． 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型 04 翘脚模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠1=∠2+∠3 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） E AB∥DE 1 2 ∠1+∠3-∠2=180° A B 3 D C 【针对训练】 例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题： 如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE? 小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面 的作图与填空： 解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）． ∵∠DAM=∠D， ∴①_____________ ∵∠D−∠DAB=20° ∴∠BAM=②_________°， ∵∠B=160°， ∴∠B+∠BAM=③__________°， ∴④_____________ ∴BC∥DE． 所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE． 【答案】①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可． 【详解】解：如图，通过尺规作图得：∠DAM=∠D， ∵∠DAM=∠D， ∴①DE∥AM， ∵∠D−∠DAB=20°， ∴∠BAM=②20°， ∵∠B=160°， ∴∠B+∠BAM=③180°， ∴④BC∥AM， ∴BC∥DE． 所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE． 故答案为：①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的 熟练掌握是解题关键． 变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，则∠F= °． 【答案】40 【分析】由AB∥CD得到∠FEB=∠C=70°，再利用三角形的外角定理可以求出∠F． 【详解】∵AB∥CD，∠C＝70°， ∴∠FEB=∠C=70°， 又∵∠FEB＝∠A＋∠F，而∠A＝30°， ∴∠F＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°， 故答案为：40． 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到∠F＝∠FEB－∠A是解题关 键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 变式3 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图 3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则 ．以上结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EF AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1 ﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线 是解答此题的关键． 变式4．①如图1，AB CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图 3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是 （ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线 ，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°； ④先过点P作直线 ，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误； ②过点E作直线 ， 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C， ∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确； ③过点E作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P作直线 ， ∵ ，∴ ， ∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC， ∵∠FPA=∠FPC+∠CPA， ∴∠1＝∠C＋∠CPA， ∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度 数． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角 相等，即可求解； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； （3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB， ∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； （2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB， 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ， ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD， ∴∠APO=90°， 由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°， 又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA= ∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD= ∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN= ∠PDC， 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC) =180°- (180°+∠APD) =180°- (180°+90°) =45°， 即∠AND=45°． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想 的应用． 题型 05 三角板拼接模型 【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以 得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数.. 【针对训练】 例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】C 【分析】由题意得：∠ACB=45°，∠F=30°，利用平行线的性质可求∠DCB=30°，进而可求解． 【详解】解：如图，∠ACB=45°，∠F=30°， 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵BC//EF， ∴∠DCB=∠F=30°， ∴∠1=45°−30°=15°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°， EF∥BC，则∠BND= °． 【答案】105 【分析】根据平行线的性质可得∠FAN=∠B=45°，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】∵∠B=∠C=45°，EF∥BC， ∴ ∠FAN=∠B=45°， ∵∠E=60°， ∴∠F=30°， ∴∠BND=∠ANF=180°−∠F−∠BAF=105° 故答案为：105 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中 ∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠≝=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ） 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到∠AMF=∠E=45°，再根据三角形的内角和定理 求出结果． 【详解】解：设AB与EF交于点M， ∵AB//DE， ∴∠AMF=∠E=45°， ∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∴∠AFM=180°−30°−45°=105°, ∵∠EFD=90°, ∴∠AFD=15°， 故选：A． ． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键． 变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 （ ） 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案． 【详解】如图： ∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=30°， ∠D=45°，且AC∥DE，则∠BCD= 度． 【答案】45 【分析】首先根据AC∥DE得到∠ACD=∠D，再根据余角的知识求出∠BCD的度数． 【详解】∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠D=45°， ∵∠ACB=90°， 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和余角的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等． 变式5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则 ∠1= °． 【答案】105 【分析】根据平行性的性质可得∠2=45°，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵DE∥AC， ∴∠2=∠A=45°， ∵∠E=30°，∠F=90°， ∴∠D=60°， ∴∠1=∠2+∠D=45°+60°=105°， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题 的关键． 变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且 AB//EF，则∠ADE= 度． 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】75 【分析】直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案． 【详解】解：由三角板的特点得出∠DAB=45°+30°=75°， ∵AB//EF， ∴∠DAB=∠ADE=75°． 故答案为：75． 【点睛】本题考查两直线平行，内错角相等、三角板的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关 键． 变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E在边BC的延长线上， BE∥DF,∠B=∠≝=90°，则∠CDE的度数为 ． 【答案】15°/15度 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠CDF=60°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠F=45°，∠BAC=30°， ∵∠BAC=30°，∠B=90° ∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=60°， 同理：∵∠F=45°，∠≝=90° ∴∠EDF=180°−∠F−∠≝=45°， ∵BE∥DF， ∴∠CDF=∠ACB=60°， ∴∠CDE=∠CDF−∠EDF=60°﹣45°=15°． 故答案为15°． 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键． 【36淘宝店铺：向阳百分百】