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专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论： .
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论： .
例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说
法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段 ，长度为2的线段 在线段 上运动，
分别取线段 、 的中点 、 ，则 ．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点 是 的中点，点 是 的中点，现给出下列等
式：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的等式序号是
．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段 ， 是 的中点， 是 的中点， 是 的
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中点， 是 的中点，依此类推……，线段的 长为 ．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中 ， ，M、N
分别是 、 的中点则 的长是 ．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M是 的中点，点N是 的中
点．
(1)若 ，求 的长；(2)若 ， ，求 的长；(3)若 ，求 的长．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点 在线段 上， ， ，点 、
分别是 、 的中点．
(1)求线段 的长；(2)若点 在线段 的延长线上，且满足 ，其它条件不变，你能猜想
的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点 在线段 上，且 时，我们称 为点
在线段 上的点值，记作 ．如点 是 的中点时，则 ，记作 ；反过来，当
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时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与 具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 __________；若 ，则 ____________；
(2)如图2，已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，运动速度均为 ，
当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，设运动时间为 ，请用含有 的式子表示 和 ，并判
断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，若点 、 的运动
速度分别为 和 ，点 到达点 后立即以原速返回，点 到达点 时，点 、 同时停止运动，
设运动时间为 ．则当 为何值时，等式 成立．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点
M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC
＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速
度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一
个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点
的线段的中点时，直接写出时间t．
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模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论： .
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论： .
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC；
1 2
结论： .
例1．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图， 是 内部的一条射线， 、 分别是
、 的角平分线．若 ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线 在 内部， 平分 平分
平分 ，以下四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的结论有 （填序号）．
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线，
分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…，
分别是 和 的平分线，则 的度数是 ．
例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD
的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
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A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、
分别平分 、 ，求 的度数；(2)若 ， 是平面内两个角， ，
， 、 分别平分 、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示）
例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在 的内部画射线 ，射线
把 分成两个角，分别为 和 ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线
为 的“3等分线”．
(1)若 ，射线 为 的“3等分线”，则 的度数为__________．
(2)如图2，已知 ，过点O在 外部作射线 ．若 三条射线中，一条射线恰好
是以另外两条射线为角的“3等分线”，求 的度数（ ）．
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例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠
．
（1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数；
（2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠ 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠ 和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取 ，再截取 ，则
的中点 与 的中点 之间的距离为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段 ，点 是直线 上一点， ，若 是
的中点， 是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段 上两点，M、N分别是线段 的中
点，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；
④ ．
其中正确的结论是（ ）
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A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段 （点B在
点C的左侧）在直线 上运动，且 ．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时， ；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段 延长线上的点，则 ；
丙：在线段 运动过程中，若M，N为线段 的中点，则线段 的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点
为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕，
若 ，则 （ ）．
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A． B． C． D．
7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，
分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．
若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图， 是 内的一条射线， 平分 ， 平分
， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分
∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（ 、
），将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且 ，有下列四
个结论：
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①在图1的情况下，在 内作 ，则 平分 ；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次；
④ 的角度恒为 ．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点 、 、 表示的数分别是 ， ，1，且点
为线段 的中点，点 为原点，点 在数轴上，点 为线段 的中点． 、 为数轴上两个动点，点
从点 向左运动，速度为每秒1个单位长度，点 从点 向左运动，速度为每秒3个单位长度， 、
同时运动，运动时间为 ．
有下列结论：①若点 表示的数是3，则 ；②若 ，则 ；③当 时， ；④当
时，点 是线段 的中点；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知 、 是 内部的两条射线， 平分
， 平分 ，①若 ， ，则 的度数为 度；②若
， ，则 的度数为 度(用含x的代数式表示)．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段 的三等分点，
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D、E分别为线段 中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在
右）的长为a，长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，M为 的中点，N为
的中点，线段 的长为b，则线段 的长为 （用a，b的式子表示）．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段 上，P，Q分别是 的中点，
若 ，则 ．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线 上，线段 ，动点 从 出发，以每秒
2个单位长度的速度在直线 上运动， 为 的中点， 为 的中点，设点 的运动时间为 秒．
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(1)若点 在线段 上运动，当 时， ；(2)若点 在射线 上运动，当 时，
求点 的运动时间 的值；(3)当点 在线段 的反向延长线上运动时，线段 、 、 有怎样的数量
关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；
反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，则 ________．
(2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以
3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一
点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的值；
②t为何值时， ．
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20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．
(1)根据题意，小明求得 ______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，
于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______．
②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长．
③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ．
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(1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且
，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若
， ，求 的度数．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知 内部有三条射线， 平分 ，
平分 ，若 ，求 的度数；
（2）若将（1）中的条件“ 平分 ， 平分 ”改为“ ，
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”，且 ，求 的度数；
（3）如图2，若 、 在 的外部时， 平分 ， 平分 ，当 ，
时，猜想： 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ．
(1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ，
求 的度数；(3)当 和 的位置如图3时，求 的度数．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E，F 分别是 ，
的中点．(1)若 ，则 ；(2)当线段 在线段 上运动时，试判断 的长
度是否发生变化？如果不变，请 求出 的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知 在 内部转动， ， 分
别平分 和 ，若 度， 度，求 ．
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25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM
和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若 ，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知 ，动点P从点A出发，以 速度沿AB向点B匀速移动，
点 从点B出发，以 的速度沿BA向点A匀速移动，点P、 同时出发，当其中一点到达终点时，运
动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段
的“奇妙点”．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、
∠BOD．
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（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同
一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过
程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在 的内部，图中共有3个角： 、
、 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是 的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若 ，且射线PQ是 的“定分线”，则 ________(用含a的代数式表
示出所有可能的结果）；（3）如图2，若 =48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速
度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆
时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是 的“定分线”时，求t的值．
17
