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专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论： .
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论： .
例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说
法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 是 的中点， 是 的中点，分别求得 ， ，
，再根据线段的和与差，计算即可判断．
【详解】解：∵ 是 的中点， 是 的中点，且 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同
情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题．
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例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段 ，长度为2的线段 在线段 上运动，
分别取线段 、 的中点 、 ，则 ．
【答案】7
【分析】先求解 ，再证明 ， ，再利用线段
的和差可得答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵线段 、 的中点为 、 ，∴ ， ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点 是 的中点，点 是 的中点，现给出下列等
式：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的等式序号是
．
【答案】①②③
【分析】根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①点 是 的中点， ， ，故①正确；
②点 是 的中点， ，又 点 是 的中点， ．故②正确；
③点 是 的中点， ． ，故③正确；
④ ，故④错误．故正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题
的关键．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段 ， 是 的中点， 是 的中点， 是 的
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中点， 是 的中点，依此类推……，线段的 长为 ．
【答案】
【分析】先分别求出 、 、 的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：因为线段 ， 是 的中点，所以 ；
因为 是 的中点，所以 ；
因为 是 的中点，所以 ； ，
所以 ，所以 ，答案为： ．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出
规律是解此题的关键．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中 ， ，M、N
分别是 、 的中点则 的长是 ．
【答案】 或
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确
画出的图形解题．
【详解】解：第一种情况：B在线段 上，如图，
则 ；
第二种情况：B在身线 上，在线段 外，如图，
则 ．
答：线段MN的长是 或 ．故答案为：1或7
【点睛】本题考查线段的和差，由于B的位置有两种情况，所以本题 的值就有两种情况，做这类题时
学生一定要思维细密．
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例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M是 的中点，点N是 的中
点．
(1)若 ，求 的长；(2)若 ， ，求 的长；(3)若 ，求 的长．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据线段中点的定义可得 ，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得 ， ，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得 ，即可求出结果．
【详解】（1）解： 点M是 的中点，点N是 的中点， ， ，
， ∵ ，
又 ， ， ．
（2）解： 点M是 的中点，点N是 的中点， ， ，
∵
， ， ， ， ．
（3）解： 点M是 的中点，点N是 的中点， ， ，
∵ ， ，
又 ， ， ．
【点睛】本题考查了线段中点的定义和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点 在线段 上， ， ，点 、
分别是 、 的中点．
(1)求线段 的长；(2)若点 在线段 的延长线上，且满足 ，其它条件不变，你能猜想
的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1) (2) ，详见解析
【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算；
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（2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算．
【详解】（1）解：点 在线段 上， ， ，点 、 分别是 、 的中点，
， ，
；
（2）解：如图所示，
点 在线段 的延长线上，且满足 ，
又 点 、 分别是 、 的中点， ， ，
， 的长度 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点 在线段 上，且 时，我们称 为点
在线段 上的点值，记作 ．如点 是 的中点时，则 ，记作 ；反过来，当
时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与 具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 __________；若 ，则 ____________；
(2)如图2，已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，运动速度均为 ，
当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，设运动时间为 ，请用含有 的式子表示 和 ，并判
断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，若点 、 的运动
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速度分别为 和 ，点 到达点 后立即以原速返回，点 到达点 时，点 、 同时停止运动，
设运动时间为 ．则当 为何值时，等式 成立．
【答案】(1) ， (2) ， ，
(3)存在 和 使等式 成立
【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；
（2）根据题意，得出 ， ，相加即可求解；
（3）分在点 到达点 之前，在点 到达点 返回之后，两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）根据定义可得：∵ ，则 ；
∵ ，∴ ,则 ；故答案为：． ， ；
（2）∵ ∴
∵ ∴ ∴ ∴
（3）①在点 到达点 之前 ∵ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
②在点 到达点 返回之后 ∵ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴存在 和 使等式 成立．
【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点
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M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC
＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速
度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一
个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点
的线段的中点时，直接写出时间t．
【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN= a+ b；（3）所求时间t为4或 或 ．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①
当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点；③当 ＜t≤6时，Q为线段
PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC=5厘米，CN= BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC= a，CN= BC= b，∴MN=MC+CN= a+ b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤ 时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t= ；
③当点Q在线段BC上，即 ＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t= ；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题
关键，要分类讨论，以防遗漏．
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模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论： .
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论： .
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC；
1 2
结论： .
例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图， 是 内部的一条射线， 、 分别是
、 的角平分线．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】根据 、 分别是 、 的角平分线，可得 ，
，根据 ，可得 ，再结合 ，可得
，问题随之得解．
【详解】∵ 、 分别是 、 的角平分线，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的
关键．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线 在 内部， 平分 平分
平分 ，以下四个结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据 平分 ， 平分 ， 平分 ，得出 ，
， ，求出 ，即可得出结论；②根据
角度之间的关系得出 ，得出 ，即可得
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出结论；③无法证明 ；④根据 ，得出 ，
，即可得出结论．
【详解】解：①∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ， ，
， ，
即 ，故①正确；
②∵
， ，
∴ ，故②正确；③ 与 不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出 是解题的关
键．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线，
分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…，
分别是 和 的平分线，则 的度数是 ．
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【答案】
【分析】由角平分线性质推理得 ， ， ，据此规律可解答．
【详解】解： ， 、 分别是 和 的平分线，
， ，
、 分别是 和 的平分线， ，
，
、 分别是 和 的平分线， ，
，…，
由此规律得： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD
的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
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【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当
∠AOE= ∠AOB=20°，②当∠BOE′= ∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE= ∠AOB，②当
∠BOE′= ∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE= ∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′= ∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE= ∠AOB=30°- α°，∴∠BOE=90°-α-（30- α）°=60°- α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°- α°，
②当∠BOE′= ∠AOB=30°- α°，∴∠DOE′=90°+30°- α°=120°- α°，
综上所述，∠EOD的度数为150°- α°或120°- α°，故答案为：150°- α°或120°- α°；
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【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、
分别平分 、 ，求 的度数；
(2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分
、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示）
【答案】(1) (2)所以当射线 在 的内部时， ；当射线 在 的外部
时， ．
【分析】（1）根据角平分线定义求出 和 度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线
的位置，所以需要分类讨论：若射线 在 的内部时，根据角平分线定义得出 ，
，求出 ；若射线 在 的外部时，根据角平分线定义得
出 ， ，求出 ，代入求出即可．
【详解】（1） ， 平分 ，
∵ ∴
分别平分 ， ．
∵ ∴
．
∴
（2）若射线 在 的内部，如图2
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∵ ， ， 、 分别平分 、 ．
∴ ∴ ．
所以当射线 在 的内部时， ．
若射线 在 外部时，如图3
∵ ， ， 、 分别平分 、 ．
∴ ∴ ．
所以当射线 在 的外部时， ．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在 的内部画射线 ，射线
把 分成两个角，分别为 和 ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线
为 的“3等分线”．
(1)若 ，射线 为 的“3等分线”，则 的度数为__________．
(2)如图2，已知 ，过点O在 外部作射线 ．若 三条射线中，一条射线恰好
是以另外两条射线为角的“3等分线”，求 的度数（ ）．
【答案】(1) 或 (2) 或 或 或
【分析】（1）根据“3等分线”的定义分 和 两种情况求解即可；
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（2）分 为 的“3等分线”和 为 的“3等分线”两种情况求解即可．
【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得， 或
∵ ∴ 或 故答案为： 或
（2）①当OA在 的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得， 或
②当OB在 的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得， 或
此时， 或
综上， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠
．
（1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数；
（2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠ 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠ 和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
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【答案】（1）20°；（2） ；（3） ，理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据
即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，
再根据 即可解决．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，∴ ，
∴ ．
（3）结论： ．理由如下：设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
又∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
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课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取 ，再截取 ，则
的中点 与 的中点 之间的距离为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分两种情况B， 在点A同侧时，B， 在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B， 在点A同侧时，如图所示：
是 的中点， 是 的中点， ， ，
．
②B， 在点A两侧时，如图，
是 的中点， 是 的中点， ， ，
．
综上： 与 之间距离为 或 ，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段 ，点 是直线 上一点， ，若 是
的中点， 是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】分点 在点 右侧与点 在点 左侧两种情况画出图形求解．
【详解】解：当点 在点 右侧时，如图 所示．
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， ， ．
是 中点， 是 的中点， ， ， ；
当点 在点 左侧时，如图 所示． ， ， ．
是 中点， 是 的中点， ， ，
．
综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：B．
【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点 在点 右侧与点 在点 左侧两种情况考虑是
解题的关键．
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段 上两点，M、N分别是线段 的中
点，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；
④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，
∴ ，即 ，故①符合题意；
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意；
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∵ ，
∴ ，故③符合题意；
∵ ， ， ∴ ，
∵ ， ， ∴
，故④不符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是
解本题的关键．
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出
的长度，找到 的规律即可求出 的值．
【详解】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
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∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，……由此可得：
，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段 （点B在
点C的左侧）在直线 上运动，且 ．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时， ；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段 延长线上的点，则 ；
丙：在线段 运动过程中，若M，N为线段 的中点，则线段 的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；
乙：画出图形，设点P表示的数为x，则 ，可判断乙的说法；
丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是 ，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．
【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，
，故甲的说法错误；
乙：如图2，当点C与点A重合时，
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设点P表示的数为x，则 ，
∴ ，故乙的说法正确；
丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是 ，
∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段 的中点，
∴点M表示的数是 ，点N表示的数是 ，
∴ ，故丙的说法正确．故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的
关键．
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点
为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕，
若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出 即可解决问题．
【详解】解： 平分 ， ，
， ， ，
， ，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
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7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，
分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．
若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，综合
即可得出答案．
【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线．
∴ 或 ，
∴ ，∴ 的度数为 或 ．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图， 是 内的一条射线， 平分 ， 平分
， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 平分 ， 平分 ，可得 ， ，从而得到
，即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到 是解题的关键．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分
∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
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A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
【答案】C
【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴ ，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意；
∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C
【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解
题的关键．
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（ 、
），将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且 ，有下列四
个结论：
①在图1的情况下，在 内作 ，则 平分 ；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次；
④ 的角度恒为 ．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
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【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得 ，所以 平分 ，①正确；
②当 时，设 ，∵ 平分 ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，设 ，∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故②正确；
③ 时 ， 时 ， 时 故③正确；
④当 时 ，当 时 ，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点 、 、 表示的数分别是 ， ，1，且点
为线段 的中点，点 为原点，点 在数轴上，点 为线段 的中点． 、 为数轴上两个动点，
点 从点 向左运动，速度为每秒1个单位长度，点 从点 向左运动，速度为每秒3个单位长度， 、
同时运动，运动时间为 ．
有下列结论：①若点 表示的数是3，则 ；②若 ，则 ；③当 时， ；④当
时，点 是线段 的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】①①根③据③线①段的中点的定义以及点 、 可确定点 、 表示的数，进而得到 的长度；②由
，分两种情况讨论：点 在点 的右侧时以及点 在点 的左侧时，可得到点 表示的数，由点
为线段 的中点可得点 表示的数，进而得到 的长度；③当 时，可得到 、 的长，从而确
定点 、 ，即可得到 的长；④当 时，可得到 、 的长，从而确定点 、 ，进而判断．
【详解】①若点 表示的数是3，∵点 为线段 的中点， 表示的数是1，
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∴ ， ，即 表示的数是2，∴ ，故①正确；
②若 ，当点 在点 的右侧时，则点 表示的数是4，
∵点 为线段 的中点，∴ ，即 表示的数是 ，∴ ，
当点 在点 的左侧时，则点 表示的数是 ，
∵点 为线段 的中点，∴ ，即 表示的数是 ，
∴ ，综上， ，故②不正确；
③当 时， ， ，
∵ 、 表示的数分别是 ，1，∴ 、 表示的数分别是 ， ，∴ ，故③正确；
④当 时， ， ，∴ 、 表示的数分别是 ， ，
∵点 在 、 的左侧，不可能是线段 的中点故④不正确；故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知 、 是 内部的两条射线， 平分
， 平分 ，①若 ， ，则 的度数为 度；②若
， ，则 的度数为 度(用含x的代数式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分线的定义可得 ， ，易得
，利用 ，可得结果；
②由角的加减可得 ，可得 ，再利用 可
得结果
【详解】解：① ， ， ，
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， 平分 ， 平分 ，
， ， ，
，故答案为120；
② ， ， ，
，
，故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段 的三等分点，
D、E分别为线段 中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
【答案】 或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论① ；② ．设 ，根据直线l上所有线段的
长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出 的长.
【详解】①当 时，如图1
设 ，则 ， ，
，
∵直线l上所有线段的长度之和为91
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②当 时，如图2,
故答案为： 或13
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在
右）的长为a，长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，M为 的中点，N为
的中点，线段 的长为b，则线段 的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】 /
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段 的长度即可．
【详解】解：∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ ， ．
∵线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在右）的长为a，
长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，
∴分以下5种情况说明：
①当 在 左侧时，如图1，
即 ， ，
， ；
②当点D与点A重合时，如图2，
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即
， ；
③当 在 内部时，如图3，
即
， ；
④当点C在点B右侧时，同理可得： ；
⑤当 在 右侧时，同理可得： ；
综上所述：线段 的长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段 上，P，Q分别是 的中点，
若 ，则 ．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出 ， ，又因为 ，利用线段和差即可求得
，
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，代入 即可求解．
【详解】解∶∵，P，Q分别是 ， 的中点，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
，∴ ，故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算 ， 的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算 的长即可可判断．
【详解】解：①∵ ，
∵ ，∴ ，∴ ；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时， ；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段 延长线上的点，
∴ ，∴ ；故③正确；
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④∵M为线段 的中点，N为线段 的中点，
∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段 上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，线段 的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
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【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算 ， 的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算 的长即可可判断．
【详解】解：①∵ ，
∵ ，∴ ，∴ ；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时， ；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段 延长线上的点，
∴ ，∴ ；故③正确；
④∵M为线段 的中点，N为线段 的中点，∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
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；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段 上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，线段 的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线 上，线段 ，动点 从 出发，以每秒
2个单位长度的速度在直线 上运动， 为 的中点， 为 的中点，设点 的运动时间为 秒．
(1)若点 在线段 上运动，当 时， ；
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(2)若点 在射线 上运动，当 时，求点 的运动时间 的值；
(3)当点 在线段 的反向延长线上运动时，线段 、 、 有怎样的数量关系？请写出你的结论，
并说明你的理由．
【答案】(1)3；(2) 或20；(3) ，理由见解析．
【分析】（1）由中点的含义先求解 ，证明 ，再求解 ，从
而可得答案；（2）①当点P在线段 上， ， ②当点P在线段 的延长线上， ，
再建立方程求解即可；（3）先证明 ， ，可得
，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵ 为 的中点， 为 的中点， ，
∴ ， ，∴ ，
∵线段 ，∴ ，∴ ．
（2）①当点P在线段 上， ，如图，
∵ ， 为 的中点，∴ ， 解得
②当点P在线段 的延长线上， ，如图，
同理： ， 解得
综上所述，当 时，点P的运动时间t的值为 或20．
（3）当点P在线段 的反向延长线上时， ，理由如下：
如图，
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∵ ， 为 的中点， 为 的中点，
∴ ， ，
， ．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类
讨论是解本题的关键．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；
反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，则 ________．
(2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以
3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一
点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的值；
②t为何值时， ．
【答案】(1) ， (2)① ；②1或8
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【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为 ，再根据 的值是个定值即可求出 的值；②分点 从点 向点
方向运动时和点 从点 向点 方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
， ，∴ ，
∴ 故答案为： ， ；
（2）①设运动时间为 ，则 ， ，根据“点值”的定义得： ， ，
的值是个定值， 的值是个定值， ；
②当点 从点 向点 方向运动时， ， ， ；
当点 从点 向点 方向运动时， ， ， ，
的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．
(1)根据题意，小明求得 ______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，
于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解
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答．
①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______．
②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长．
③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______．
【答案】(1)3(2)① ；② ；③
【分析】（1）由 ， ，得 ，根据 ， 分别是 ， 的中点，即得
， ，故 ；（2）①由 ， 分别是 ， 的中点，
知 ， ，即得 ，故 ；
②由 ， ，知 ， ，即得
，故 ；③由 ， ，知 ， ，即得
，故 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
， 分别是 ， 的中点， ， ，
；故答案为： ；
（2）解：① ， 分别是 ， 的中点，
， ， ，
， ；故答案为： ；
② ， ， ， ，
， ， ；
③ ， ， ， ，
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，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且
，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若
， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设 ， ，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得 ，
，计算得出 ， 等，再求得 ，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，∴ ；
（2）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∴
= ；
（3）解：设 ， ，
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∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，即 ， ， ，
∵ ， 平分 ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵反向延长射线 得到射线 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ∴ ．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，
利用方程思想解决问题是解本题的关键．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知 内部有三条射线， 平分 ，
平分 ，若 ，求 的度数；
（2）若将（1）中的条件“ 平分 ， 平分 ”改为“ ，
”，且 ，求 的度数；
（3）如图2，若 、 在 的外部时， 平分 ， 平分 ，当 ，
时，猜想： 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1） （2） （3）没有关系， ，理由见解析
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【分析】（1）根据角平分线性质可求 ，根据 即可解答；
（2）由题意可得 进而求出
；
（3）根据角平分线性质可得 ， ，进而求出
．
【详解】解：（1）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）与 的大小无关．理由：∵ ， ，∴ ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ．
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(1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ，
求 的度数；(3)当 和 的位置如图3时，求 的度数．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）求解 ， ，可得答案；
（2）先求解 ， ，再证明 ，
，结合角的和差运算可得答案；（3）设 ，可得 ，
证明 ， ，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， ， 重合， 平分 ， 平分 ．
∴ ， ，∴ ；
（2）∵ 在 内部， ， ，
∴ ， ，∵ 平分 ， 平分 ．
∴ ， ，∴ ．
（3）设 ， ，∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ．，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E，F 分别是 ，
的中点．
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(1)若 ，则 ；(2)当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生
变化？如果不变，请 求出 的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知 在 内部转动， ， 分
别平分 和 ，若 度， 度，求 ．
【答案】(1) (2)不变， ．(3) ．
【分析】（1）根据线段中点分别求解 ， ，从而可得 的长度；
（2）根据 ，再根据中点进行推导即可；
（3）根据 再结合角平分线进行计算．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，∴ ，
∵E，F分别是 ， 的中点，∴ ， ．
∴ ．
（2）EF的长度不变．理由如下：
E，F分别是 ， 的中点，∴ ， ．
∴
（3）∵ ， 分别平分 和 ∴ ， ．
∴
∵
∴
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．
【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中
点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若 ，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知 ，动点P从点A出发，以 速度沿AB向点B匀速移动，点 从点B出发，以
的速度沿BA向点A匀速移动，点P、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为 t，请求出 为何值时，A、P、 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或 ；当点Q为
AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1： ，即N为CD的中点；情况2：
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，即N为靠近C点的三等分点；情况3： ，即N为靠近D点的三等分点，根据以上
三种情况，分别求出CN的长度．（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况
1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情
况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样
根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；
（2） 是线段CD的“奇妙点” 根据定义，此题共分为三种情况．
当 ，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当 ，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当 ，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后， ， ．
当P点是“奇妙点”时， ．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当 时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时， ．
当 时，有 解得
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当 时，有 解得
当 时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时， 或4或 ；
当点Q为AP的“奇妙点”时， 或6或 ．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，
从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举
完全，是解决该题的关键．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、
∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同
一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过
程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3） 或
【分析】（1）根据角平分线定义计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．
（3）根据角的旋转变化列式计算即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，
∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
（2）∵OM、ON分别平分∠AOC，
∴∠MOC＝ ∠AOC， ∠BOD．
∴∠MON＝ （∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝ ．
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（3）当∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上时，∠AOD为平角，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．
30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．
当0≤t≤10时， ，由(2)可知 ．
∴5（30﹣3t）＝75时t＝5．∠AOD＝180﹣3t＝165°．
当10＜t≤30时，∠BOC＝3（t﹣10）°， ，
∴75＝5×3（t﹣10），t＝15，此时∠AOD＝180﹣3t＝135°．
【点睛】本题考查了角平分线相关知识及角的计算，掌握角的和差关系，注意分类讨论是解题的关键．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在 的内部，图中共有3个角： 、
、 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是 的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若 ，且射线PQ是 的“定分线”，则 ________(用含a的代数式表
示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若 =48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与
PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时
停止．当PQ是 的“定分线”时，求t的值．
【答案】（1）是；（2） ；（3）t=2.4，6，4
【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；
（2）∵∠MPN= 分三种情况
①∵射线PQ是 的“定分线”，
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∴ =2 = ，∴ = ，
②∵射线PQ是 的“定分线”，∴ =2 ，
∵∠QPN+∠QPM= ，∴3 = ，∴ = ，
③∵射线PQ是 的“定分线”，∴2 = ，
∵∠QPN+∠QPM= ，∴3∠QPN = ，∴∠QPN = ，∴∠QPM = ，
∴∠MPQ= 或 或 ；故答案为： 或 或 ；
（3）依题意有三种情况：
①∠NPQ= ∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t= （4t+48），解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ= ∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t= （4t+48），解得t=4(秒)；
③∠NPQ= ∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t= （4t+45），解得：t=6(秒)，
故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．
理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．
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