南京市 2023 年初中学业水平考试
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页. 全卷满分 120分. 考试时间为120分钟. 考生答题全部答在答题卡上，答
在本试卷上无效.
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将
自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
3. 答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑. 如需改动，请用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案. 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位
置，在其他位置答题一律无效.
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题(本大题共6小题，每小题2 分，共 12分. 在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底
色, 去年完成造林约 3 830 000 公顷. 用科学记数法表示3830000 是
A. 3.83×10⁶ B. 0.383×10⁶ C. 3.83×10⁷ D.0.383×10⁷
2. 整数a满足 √19<a<√29,则a的值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4.甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 t(单位：h)与
行驶速度 v(单位：km/h) 之间的函数图像是
5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小
斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里. 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大
意： 如图, 在△ABC中, AB=13里, BC=14里, AC=15里, 则 △ABC的面积是
A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里
数学试卷 第1页(共 6页)6.如图，不等臂跷跷板 AB的一端A 碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm； 当AB
的一端B碰到地面时，另一端A 到地面的高度为 90cm，则跷跷板 AB的支撑点 O 到地
面的高度 OH是
A. 36cm B. 40cm C. 42cm D. 45cm
二、填空题(本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上)
7. 计算:
|−2|=;√(−2) 2=.
¯ ¯
1
8. 若式子 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是 ▲ .
x−2
9. 计算 √12×√6−√18的结果是 ▲ .
10. 分解因式 3a²−6a+3的结果是 ▲ .
11. 计算 23×44×
(1) 5
的结果是 ▲ .
8
12. 某校九年级有8个班级, 人数分别为37, a, 32, 36, 37, 32, 38, 34. 若这组数据
的众数为32， 则这组数据的中位数为 ▲ .
13. 甲车从 A 地出发匀速行驶，它行驶的路程y(单位：km) 与行驶的时间x(单位：min)
之间的函数关系如图所示. 甲车出发20 min后，乙车从A 地出发沿同一路线匀速行
驶. 若乙车经过 20min~30min追上甲车,则乙车的速度 v(单位:km/min)的取值范围是
▲ .
k
14. 在平面直角坐标系中，点O为原点，点A 在第一象限，且OA=3. 若反比例函数 y= 的
x
图像经过点A，则k的取值范围是 ▲ .
15. 如图, ⊙O 与正六边形ABCDEF 的边CD, EF 分别相切于点C, F. 若AB=2, 则⊙O
的半径长为 ▲ .
16. 如图, 在菱形纸片 ABCD 中, 点 E 在边 AB 上,将纸片沿 CE 折叠, 点 B 落在
B'处,CB'⊥AD, 垂足为F 若 CF=4cm, FB'=1cm, 则BE= ▲ cm
三、解答题(本大题共11 小题，共88分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤)
( 9 ) x−3
17.(7分) 计算 1− ÷ .
x2 x
数学试卷 第2页(共 6页){2x−1<0,
18.(8分) 解不等式组 x−1 x 并写出它的整数解.
< ,
4 3
19.(7分) 如图,在 ABCD中, 点 M, N 分别在边 BC, AD上, 且AM∥CN, 对角线BD分别交 AM,
▱
CN 于点E, F. 求证BE=DF.
20.(8分) 社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题.
2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图
(1) 下列结论中，所有正确结论的序号是 ▲ .
①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势：
②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大；
③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年，
(2) 请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论.
数学试卷 第3页(共 6页)21.(8分) 某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览.
(1) 选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；
(2) 选取3个景点， 则甲、乙在其中的概率为 ▲ .
22.(8分) 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口. 温水的温度为
30℃, 流速为20ml/s; 开水的温度为100℃,流速为 15ml/s. 某学生先接了一会儿温水，又接了
一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时
间.
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出
的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的
体积X开水降低的温度=温水的体积×温水升高
的温度.
23.(8分) 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B. 无人机悬停在C处，
此时在A 处测得 C的仰角为 36°52';：无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B 处测得 D的
仰角为( 63°26'.AB=10m,点A, B, C, D在同一平面内, A, B两点在 CD的同侧. 求无人机
在 C 处时离地面的高度.
(参考数据：
tan36°52'≈0.75,tan63°26'≈2.00.)
数学试卷 第4页(共 6页)24.(8分) 如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源 O与铅笔
AB所确定的平面垂直于桌面. 在灯光照射下，AB 在地面上形成的影子为 CD(不计折
射)，AB∥CD.
(1) 在桌面上沿着 AB 方向平移铅笔，试说明CD的长度不变.
(2) 桌面上一点P恰在点O的正下方，且( OP=36cm,PA=18cm,AB=18cm,桌面的
高度为 60cm.在点O 与AB 所确定的平面内，将AB绕点A 旋转，使得CD的长度最
大.
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 ▲ cm.
25.(8分) 已知二次函数 y=ax²−2ax+3(a为常数, a≠0).
(1) 若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点.
(2) 若a=-1, 求证: 当-1<x<0时, y>0.
(3) 若该函数的图像与x轴有两个公共点(x₁, 0), (x₂, 0), 且- −1<x₁<x₂<4,则a的
取值范围是 ▲ .
26.(9分) 如图, 在△ABC中, AB=AC, ⊙O 是△ABC的外接圆, 过点 O作 AC的垂线,垂
足为 D，分别交直线BC, AC于点E, F, 射线AF 交直线 BC 于点G.
(1) 求证AC=CG.
(2) 若点 E 在 CB 的延长线上, 且EB=CG, 求∠BAC的度数.
(3) 当BC=6时，随着 CG 的长度的增大，EB 的长度如何变化? 请描述变化过程，并说
明理由.
数学试卷 第5页(共 6页)27.(9分) 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点 A 旋转一个角度( θ(0°<θ<180°),再
将旋转后的多边形以点 A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线
段的比为 k，称这种变换为自旋转位似变换. 若顺时针旋转，记作 T(A，顺θ，k)；
若逆时针旋转, 记作T(A, 逆θ, k).
例如：如图①，先将 △ABC绕点B逆时针旋转. 50°,得到 △A₁BC₁,再将 △A₁BC₁以
1 1
点 B 为位似中心缩小到原来的 ,得到 △A₂BC₂,这个变换记作T(B，逆 50❑∘, ).
2 2
(1) 如图②, △ABC经过 T(C, 顺60°, 2) 得到 △A'B'C,用尺规作出 △A'B'C.(保
留作图痕迹)
(2) 如图③, △ABC经过 T(B, 逆α, k₁) 得到 △EBD,△ABC经过 T(C, 顺β, k₂)
得到 △FDC,连接AE,AF. 求证: 四边形AFDE是平行四边形.
(3) 如图④, 在 △ABC中, ∠A=150°,AB=2,AC=1.若 △ABC经过(2) 中的变换得
到的四边形AFDE 是正方形.
Ⅰ. 用尺规作出点D(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；
Ⅱ. 直接写出AE 的长.
数学试卷 第6页(共 6页)2023 年江苏省南京市中考数学试卷
答案解析
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B D C A
1.【解析】科学记数法的表示为a×10" (1≤a<10, n为整数), 故3830 000可表示为3 3.83×10°..
故选 A.
2.【解析】: √19<√25<√29,∴a=5.故选 C.
3.【解析】
根据三边关系可得0<x<6，则周长的取值范围为6<C<12.故选 B.
100
4.【解析】根据路程=速度×时间，可得 t= (v⟩0,t>0),所以t与v成反比例. 故选 D.
v
5.【解析】
本题考察双勾股定理，过点 A 作 AD⊥BC交BC于点D.
在 Rt△ABD中, AD²=AB²−BD²,在 Rt△ACD中, AD²=AC²−CD².
∴AB²−BD²=AC²−CD².
设BD=x, 则可列方程: 13²−x²=15²−(14−x)², 求得x=5.
1
则AD=12, 所以三角形ABC的面积为 14×12× =84.故选 C.
2
8/166.【解析】设长边OA=a, 短边( OB=b,， O离地面的距离为h，根据相似得：
{ℎ
=
b
,
90 a+b
解得h=36
ℎ b
=
60 a+b
二、解答题
题号 7 8 9 10 11 12
11
答案 2; 2 x≠2 3 3(a-1)² 35
题号 13 14 15 16
答案 1.5≤v≤1.8 0<k≤4.5
7. 【解答】解: 2; 2.
8. 【解答】解: x≠2.
9.【解答】解:
√12×√6−√18
=√72−√18
=6√2−3√2
=3√2
故答案为 3√2
10.【解答】解:
3a²−6a+3
=3(a²−2a+1)
=3(a−1)²
故答案为 3(a−1)²
11.【解答】解:
23×44×|
1
)
5
=23×28×
(1) 15
8 2
=211×
(1) 15
=211×
(1) 11
×
(1) 4
2 2 2
( 1) 11 (1) 4 (1) 4 1
= 2× × = =
2 2 2 16
1
故答案为： .
16
9/1612. 【解答】解: 由题可知a=32
将这组数从小到大排列，由中位数概念可知，中位数为中间两个数34和36 的平均数 35. 故答案为：35.
13.【解答】解:
由函数图像可知甲的速度为18÷20=0.9 (km/min)
追及的路程为0.9×20=18(km)
x=20min时, 甲乙两车速度差为18÷20=0.9(km/min), 此时乙车速度为0.9+0.9=1.8(km/min)
x=30min时, 甲乙两车速度差为18÷30=0.6(km/min), 此时乙车速度为0.9+0.6=1.5(km/min)
所以乙车的速度v的取值范围是1.5≤v≤1.8
14. 【解答】解:
反比例函数如图所示，因为函数经过第一象限，所以k>0，因
为反比例函数关于直线y=x对称，
所以直线 y=x与反比例函数的交点是到原点的距离最小值点，k的
值最小，由k的几何意义可知，k为图像上的点
与坐标轴围成的正方形的面积，此时k=3×3÷2=4.5
所以k的取值范围是0<k≤4.5.
15.【解答】解：如图由正六边形的内角和和对称性可知
CF=4且CF平分∠BCD和∠AFE,
每个内角都为120°
∴∠QCD=60°
过点O作OQ⊥CF, ∴CQ=2
∵OC与圆O相切,
∴∠OCD=90°, ∴∠OCQ=30°
4
∴在直角三角形OCQ中，由三边比例关系可知 CO=2÷√3×2= √3
3
4
∴半径OC 的长为 √3
3
16. 【 解 析 】 由 翻 折 得 : BC=CD=B'C=5,
∠BCE=∠B'CE=45°,∵CD=5, CF=4, ∠CFD=90°,
∴FD=3, 过 点 E 作 EG⊥BC, 设 CG=x, 则
EG=x,BC=5-x, ∵△EGB∽△CFD,∴EG=GB,
20 25
解得 x= ,∴BE= .
7 7
10/16三、解答题
x2−9 x−3
17. 解: ÷
x2 x
x2−9 x
= ⋅
x2 x−3
(x+3)(x−3) x
= .
x2 x−3
x+3
=
x
{2x−1<01˚
18. 解: x−1 x
< 2˚
4 3
1
解不等式①得： x<
2
解不等式②得:x>-3
1
∴−3<x<
2
∵x取整数
∴x取-2,-1,0.
19.【解析】连接AC交BD于点O,
∵□ABCD为平行四边形
∴AO=CO, BO=DO
∵AM ∥CN
∴∠EAC=∠FCA
在△AEO和△CFO中
{∠EAC=∠FCA
AO=CO
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴BE=DF11/1620.【解析】(1) 比重总体呈先下降后稳定的趋势，故①正确；
2011 ~2016 年社会物流总费用的波动范围为2.7,2017 ~2022年社会物流总费用的波动范围为5.7,故
2011 ~2016 年社会物流总费用的波动比 2017 ~2022 年社会物流总费用的波动小，故②错误；
2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年，故③正确.
故答案为: ①③.
(2) 根据统计图可得，
①从2012年到2017年社会物流总费用平稳增长，占GDP的比重却逐年递减；说明我国GDP总量在逐年增长;
②从2017年到2022年社会物流总费用逐年增加，占GDP的比重却趋于稳定，变化不大。说明我国 GDP总量在
逐年增长.
21.【解析】(1) 画树状图如下:
共有12种等可能结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种；
2 1
∴恰好是甲、乙的概率为： = ;
12 6
(2)设“选取3个景点，甲、乙在其中”为事件A，从4个景点中随机选取3个景点的选法有：(甲、乙、丙),
(甲、乙、丁),(甲、丙、丁), (乙、丙、丁).
2 1
共4种等可能结果，其中甲、乙在的结果有2种，
∴P(A)= =
4 2
22.【解析】接温水时间为x秒，接开水时间为y秒，由题意可得：
{ 20x+15 y=280 {x=8
,
解得：
.
15 y(100−60)=20×(60−30) y=8
答：接温水和开水各8秒.
23.【解析】过点C作CM⊥AB于点M, 设BM=xm, 则AM=(10+x)m;
DM DM
在 Rt△BDM 中, ∠DBM=63°26', 则
tan∠DBM=tan63❑∘26'= = =2,
BM x
则 DM=2x, CM=2x-5;
在 Rt△ACM 中 , ∠ACM=36°52', 则
CM 2x−5 3
tan∠ACM=tan36❑∘52'= = = ,解得: x=10, 经检验, x=10是该分式
AM 10+x 4
方程的解.12/16∴CM =2x-5=15m.
答：无人机在C 处时离地面 15m.
24. 【 解 析 】 (1) ∵AB∥CD
AB OA
∴ΔOAB∼ΔOCD,∴ = ;同 理
CD OC
A'B' OA' OA OA' AB A'B'
= , = ;∴ =
C'D' OC' OC OC' CD C'D'
∵A'B'=AB且AB长度不变，
∴C'D'=CD,且长度不变
(2)
∵△APQ∽△OEQ,
x 18
∴ = ,
√x2−182+36 36
解得 x=30,
CD OA OE 36
∵ = = =
AQ OC OF 96
96
∴CD=30× =80
36
25.【解析】(1) 证明: 令y=0, 则( ax²−2ax+3=0
∵a<0,∴b²−4ac=(−2a)²−12a=4a²−12a>0
∴该方程有2个不等实根，即二次函数与x轴有两个交点.
(2) 证明: 方法一:
当a=-1时, 二次函数为: y=−x²+2x+3=−(x−3)(x+1)
抛物线开口向下, 与x轴交于(-1,0), (3,0);
∴当-1<x<0时, y>0
方法二: 当 a=-1时, 二次函数为: y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4
∵-1<x<0, ∴-2<x-1<-1;
13/16∴0<−(x−1)²+4<3即0<y<3; ∴y>0
(3) a>3或a<-1
解析： y=ax²−2ax+3=a(x−1)²+3−a,对称轴为直线x=1, 顶点坐标为(1,3-a)
①当a>0时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在(-1，0)与(4，0)之间(不包含
这两点)，则只需保证顶点在x轴下方, x=-1时y>0, x=4时y>0
{
3−a<0
即 4a+3−a>0解得: a>3;
9a+3−a>0
②当a<0时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在(-1，0)与(4，0)之间(不包含
这两点)，则只需保证顶点在x轴上方, x=-1时y<0, x=4时y<0
{
3−a>0
即 4a+3−a<0解得a<-1
9a+3−a<0
综上，当a>3或a<-1时，二次函数与x轴两个交点在(-1，0)与(4，0)之间(不包含这两点)
26. 【解析】
(1) 连接AO并延长交BC于点H, 连接BO、CO
∵AB=AC,OB=OC,
∴AH 垂直平分 BC
∴∠G+∠GAH =90
∵AO=FO
∴∠GAH =∠AFD
∵DF⊥AC
∴∠FAD+∠AFD=90
∴∠FAD=∠G
(2) 设∠G=a,
∵CG=AC=BE=AB,
易得 ∠AEB=∠EAB=a,∠ACB=2a
∵DF 垂直平分AC,
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ACB=2a14/16在△AEC中, 5a=360°, a=36°
1
(3) 当CG≥6时,
BE= CG2−6,
6
BE 随CG增大而增大，从0开始逐渐增大；
1
当3<CG<6时, BE=6− CG2,
6
BE随CG增大而减小，从4.5开始逐渐减小到接近0；
27. 【解析】
(1)分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，截取 DE=CD;;分别以A、C为圆心,
AC长为半径画弧，两弧交于点 F，截取. FG=FC;△CEG即为所求.
∵△ABC∽△EBG
BE ED BD
= = =k,∠EBD=∠ABC
AB AC BC
∴BE=kc,ED=kb,BD=ka;∠EBA=∠DBC
∵△ABC∽△FDC
FD FC DC
= = =m,∠DFC=∠ACB
AB AC BC
∴DF=mc,FC=mb ,CD=ma;∠FCA=∠DCB
15/16BC BD a
∴ = =
BA BE c
∴△CBD∽△ABE
DC BC a
∴ = =
EA AB c
(3)∵CD=ma
∴AE=mc
∴AE=DF
同理可证AE=DE
∴四边形AEDF是平行四边形
(3) 思路:
∵AEDF 是正方形
∴DE=DF
∴k=2m
BD ka k
∴ = = =2
DC ma m
∵AEDF 是正方形
∴∠AED=90°
∵△ABC△EBD
∴∠BED=∠BAC=150°
∴∠BEA=60°
∵△CBD△ABE
∴∠BEA=∠BDC=60°
∵△BDC两边之比为2, 夹角为60°
∴∠BCD=90°,∠DBC=30°
画图: 作等边△EBC, 作CD⊥BC交圆于 D点;
CD ma √3
∵ = =m= ;
BC a 3
2√3
∴AE=2m=
3
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