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2023 年江苏省南京市中考数学真题
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答
在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将
自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在
其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2 分，共 12分． 在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成
造林约 公顷．用科学记数法表示 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式 为整数)，当原数大
于或等于10时，原数变为 时，小数点向左移动了几位， 的值就是几，由此即可求解．
【详解】解： ，
故选：A．
2. 整数a满足 ，则a的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即
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可求出a的值．
【详解】解： ，
．
故选：C．
3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角
形的定义及三角形的三边关系求解即可．
【详解】解： 等腰三角形的腰长为3，
等腰三角形的底长 ，
即 等腰三角形的底长 ，
等腰三角形的周长 ，
故选：B．
4. 甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v
（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值
范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有： ，
所以 ，
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故 与 之间是反比例函数，其图象在第一象限．
故选：D．
5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，
中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在 中，
里， 里， 里，则 的面积是（ ）
A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破
点．主要利用了勾股定理进行解答．过点 作 ，利用勾股定理求出 的长，再利用三角形的
面积公式求出 的面积即可．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
设 里，则 里，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
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在 中， （里 ，
的面积 （平方里），
故选：C
6. 如图，不等臂跷跷板 的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为 ，当 的一端B碰到
地面时，另一端A到地面的高度为 ，则跷跷板 的支撑点O到地面的高度 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边 ，短边 ，O离地面的距离为h，由相似的性质
得到 、 和 之间的关系并求解，即可解题．
【详解】解：设长边 ，短边 ，O离地面的距离为h，
根据相似得：
，
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由 得： ，解得 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
7. 计算： ____； ____
【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可．
【详解】解： ， ，
故答案为：2，2．
8. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分
式有意义的条件解答即可．
【详解】解： 式子 在实数范围内有意义，
．
．
故答案为： ．
的
9. 计算 结果是___．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为： ．
10. 分解因式 的结果是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解
即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
11. 计算 的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运
算的逆用进行运算，即可求得．
【详解】解：
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故答案为： ．
12. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这
组数据的中位数为__________．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不
清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数
个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32，
∴ ，
把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这
组数据的中位数为 ，
故答案为：35．
13. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关
系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上
甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，
设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范
围，求出v的最小值即可．
【详解】解：由函数图象可知甲的速度为 （km/min），
追及的路程为 （km），
时，甲乙两车速度差为 （km/min），此时乙车速度为 （km/
min），
时，甲乙两车速度差为 （km/min），此时乙车速度为 （km/
min），
所以乙车的速度v的取值范围是 ．
故答案为： ．
14. 在平面直角坐标系中，点 为原点，点A 在第一象限，且 ． 若反比例函数 的图像经
过点 ，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点 为反
比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，由 的几何意义可知， 为图像上的点与坐标轴围成
的正方形的面积，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数如图所示，
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∵函数图像经过第一象限，
∴ ，
当点 为反比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 ．
15. 如图， 与正六边形 的边 ， 分别相切于点C，F．若 ，则 的半径长
为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ， ， ，过点D作 于点G，过点E作 于点H，根据切线的
性质得到 ，求得 ，根据等边三角形的性质得
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，求得 ，根据全等三角形的性质得
，得到 ，求得 ，过点O作 于点M，解直角三角
形即可得出结论．
【详解】连接 ， ， ，过点D作 于点G，过点E作 于点H，
，
是 的切线，
，
多边形 是正六边形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
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， ，
，
，
过点O作 于点M，
，
，
的半径长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的
判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16. 如图， 在菱形纸片 中， 点E在边 上，将纸片沿 折叠， 点B落在 处， ，
垂足为F 若 ， 则 ____
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
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【详解】解：∵ ，
∴ ，
由翻折，菱形的性质，得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点E作 ，
设 ， 则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
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∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解
题的关键．
三、解答题（本大题共11 小题，共88分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算．先计算括号里的减法，再将括号外的除法变为乘法，根据分式的乘法
计算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组 ，并写出它的整数解．
【答案】 ；
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【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组
的解集，进一步求出它的整数解即可．
【详解】解：由 ，得： ；
由 ，得： ；
∴不等式组的解集为 ，
∴它的整数解为： ．
19. 如图，在 中，点M，N分别在边 ，AD上，且 ，对角线BD分别交 ，
于点E，F．求证 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
连接 交BD于O，根据平行四边形的性质得到 ，BO=DO，根据全等三角形的性质得到
，于是得到结论．
【详解】证明：连接 交BD于O，
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∵四边形 是平行四边形，
∴ ，BO=DO，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20. 社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题．
2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ．
①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势：
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②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大；
③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年，
的
（2）请结合上图提供 信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论．
【答案】（1）①③ （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图和条形统计图．熟练掌握拆线统计图和条形 统计图中数据的变化趋势
是解决问题的关键．
（1）根据折线统计图中数据变化趋势判断①；由条形统计图中每个时间段的极差判断②；比较条形统计
图中几个增加较大的年份的增加数据，判断③；
（2）根据2012年到2017年、2017年到2022年，两个时间段社会物流总费用变化占GDP比重的变化，说
明我国GDP总量变化情况．
【小问1详解】
由拆线统计图看出比重总体呈先下降后稳定的趋势，
故①正确；
∵2011 ~2016 年社会物流总费用的波动范围为： ，
2017 ~2022年社会物流总费用的波动范围为： ，
∴2011 ~2016 年社会物流总费用的波动比2017 ~2022年社会物流总费用的波动小，
故②错误；
2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度较大的几个年份：
2012年： ，
2017年： ，
2019年： ，
2021年： ，
2022年： ，
∵ ，
∴其中增加的幅度最大的一年是 2021年，
故③正确．
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故答案为： ①③．
【小问2详解】
根据统计图可得，
①从2012年到2017年社会物流总费用平稳增长，占GDP的比重却逐年递减；说明我国GDP总量在逐年
增长；
②从2017年到2022年社会物流总费用逐年增加，占GDP的比重却趋于稳定，变化不大。说明我国 GDP
总量在逐年增长．
21. 某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览．
（1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率：
（2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
（2）列出所有可能出现的情况，数出符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种；
∴恰好是甲、乙的概率为： ；
【小问2详解】
解：设“选取3个景点，甲、乙在其中”为事件A，
从4个景点中随机选取3个景点的选法有：（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、丙、丁），（乙、
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丙、丁）．
共4种等可能结果，其中甲、乙在的结果有2种，
∴ ．
1
故答案 ：为．
2
22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 ，流
速为 ；开水的温度为 ，流速为 ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得
到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降
低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
【答案】该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温
水的时间为 ，则接温水 ，开水 ，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，
根据题意可得： ，
解得 ，
，
，
，
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该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．
23. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A
处测得C的仰角为 无人机垂直上升 悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为
点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处
时离地面的高度．（参考数据： ）
【答案】
【解析】
【分析】过点C作 于点M， 设 ， 则 ，根据仰角，解直角三角形
计算即可．
本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：过点C作 于点M， 设 ， 则 ，
在 中， ，
则 ，
则 ；
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在 中， ，
则
解得： ，
经检验， 是该分式方程的解．
∴ ．
答：无人机在C处时离地面 ．
24. 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔 所确定 的平面垂直
于桌面．在灯光照射下， 在地面上形成的影子为 （不计折射）， ．
（1）在桌面上沿着 方向平移铅笔，试说明 的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且 ， ， ，桌面的高度为
．在点O与 所确定的平面内，将 绕点A旋转，使得 的长度最大．
①画出此时 所在位置 的示意图；
② 的长度的最大值为 cm．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题
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关键．
（1）设 平移到 ， 在地面上形成的影子为 ．利用平行相似即可；
（2）①以 为圆心， 长为半径画圆，当 与 相切于 时，此时 最大为 ．②先证明
，再利用勾股定理求出 ，由 ，即可求出 的长度的最大值．
【小问1详解】
解：设 平移到 ， 在地面上形成的影子为 ．
，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
沿着 方向平移时， 长度不变．
【小问2详解】
解：①以 为圆心， 长为半径画圆，
当 与 相切于 时，此时 最大为 ．
此时 所在位置为 ．
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② ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，
，
， （舍去），
，
由① ，
，
，
即 的长度的最大值为 ，
故答案为：80．
25. 已知二次函数 （a为常数， ．
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（1）若 ，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若 ，求证：当 时， ．
（3）若该函数的图象与 轴有两个公共点 ， ，且 ，则 的取值范围是．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是
解题的关键．
（1）证明 即可解决问题．
（2）将 代入函数解析式，进行证明即可．
（3）先求得 对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，再对
和 进行分类讨论即可．
【小问1详解】
证明：因为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以该函数的图象与 轴有两个公共点．
【小问2详解】
证明：将 代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线 ，开口向下．
则当 时，
随 的增大而增大，
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又因为当 时， ，
所以 ．
【小问3详解】
对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
①当 时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴下方， 时， ， 时， ，
即 ，解得：
②当 时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两
点），则只需保证顶点在x轴上方， 时， ， 时
即 ，解得 ，
综上，当 或 时，二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两点），
故答案为： 或 ．
26. 如图，在 中， ， 是 的外接圆，过点 O作 的垂线，垂足为 D，分别
交直线 ， 于点E，F，射线 交直线 于点G．
（1）求证 ．
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（2）若点E在 的延长线上，且 ，求 的度数．
（3）当 时，随着 的长度的增大， 的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）当 时， ， 随 增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当 时，
， 随 增大，从0附近开始逐渐增大．
【解析】
【分析】（1）连接 并延长交 于点H, 连接 ，根据线段垂直平分线判断 垂直平分
，得到 ，结合 ， ，即得 ；
（2）连接 ，设 ，得 ，得 ，根据 ， 垂直平分 ，得
到 ，得到 ，根据垂径定理推出 ，得到 ，在
中，推出 , 得到 ，即得 ；
（3）在 和 中，根据 ，得 ，得 ，
结合 ，得 ，当 时， ，
随 增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当 时， ， 随 增大
而增大，从0附近开始逐渐增大．
【小问1详解】
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连接 并延长交 于点H, 连接 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
【小问2详解】
连接 ，设 ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ , 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ,
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，
，
∴ ，
随 增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；
当 时，
，
∴ ，
随 增大而增大，从0附近开始逐渐增大．
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【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性
质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ．
27. 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点 旋转一个角度 ，再将旋转后的多边形以
点 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 ，称这种变换为自旋转位似变换．
若顺时针旋转，记作 ，顺 ， ；若逆时针旋转，记作 ，逆 ， ．
例如：如图①，先将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，再将 以点 为位似中心缩小
到原来的 ，得到 ，这个变换记作 ，逆 ， ．
（1）如图②， 经过 ，顺 ， 得到 ，用尺规作出 ．（保留作图痕迹）
（2）如图③， 经过 ，逆 ， 得到 ， 经过 ，顺 ， 得到 ，
连接 ， ．求证：四边形 是平行四边形．
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（3）如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边
形 是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）旋转 ，可作等边三角形 ， ，从而得出 点和点 对应点 ， ，进而作
出图形；
（2）根据 和 位似， 与 位似得 出 ， ，
，进而推出 ，从而 ，进而得出 ，同理可得： ，
从而推出四边形 是平行四边形；
（ 3 ） 要 使 是 正 方 形 ， 应 使 ， ， 从 而 得 出
，从而得出 ，从而 ，于是作等
边 ，保证 ，作直径 ，保证 ，这样得出作法．
【小问1详解】
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解：如图1，
1．以 为圆心， 为半径画弧，以 为圆心， 为半径画弧，两弧在 的上方交于点 ，分别以
， 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于点 ，
2．延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
则 就是求作的三角形；
【小问2详解】
证明： 和 位似， 与 位似，
， ， ，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
四边形 是平行四边形；
【小问3详解】
解：如图2，
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1．以 为边在 上方作等边三角形 ，
2．作等边三角形 的外接圆 ，作直径 ，连接 ，
3．作 ， ，延长 ，交 于 ，连接 ， ，
则四边形 是正方形，
证明：由上知： ， ，
， ， ， ，
，
要使 是正方形，应使 ， ，
， ，
，
，
，
作等边 ，保证 ，作直径 ，保证 ，这样得出作法；
， ， ，
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．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题
的关键是较强的分析能力．
32 祝大家学业有成！
