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2024 年江苏省无锡市中考试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的．）
1. 4的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：4的倒数是 ，
故选：A．
2. 在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A. x ≠ 3 B. x＞3 C. x＜3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可.
【详解】根据二次根式有意义的条件，得：
，
解得， ，
.
故选：D
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
3. 分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【详解】解： ，
，
，
检验，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
故选：A．
4. 一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A. 34，34 B. 35，35 C. 34，35 D. 35，34
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数是： ，
这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37，
一共有5个数据，
∵中位数为第3位数，即35，
∴故选：C．
5. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 平行四边形 D. 正五边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得．
【详解】解：A、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
D、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
6. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面
积 底面半径 母线长．
【详解】解： ，
故选：B．
7. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大
雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过 天
相遇，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为 ，大雁的速度为 ，设经过
天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．
【详解】解：设经过 天相遇，
可列方程为： ，
故选：A．
8. 如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ．当 落在
上时， 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
由三角形内角和定理可得出 ，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出 ，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
故选：B．
9. 如图，在菱形 中， ， 是 的中点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助
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学科网（北京）股份有限公司线，构造直角三角形求解．
延长 ，过点E作 延长线的垂线，垂足为点H，设 ，易得 ，
则 ，进而得出 ，再得出
，最后根据 ，即可解答．
【详解】解：延长 ，过点E作 延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：C．
10. 已知 是 的函数，若存在实数 ，当 时， 的取值范围是 ．
我们将 称为这个函数的“ 级关联范围”．例如：函数 ，存在 ， ，当
时， ，即 ，所以 是函数 的“2级关联范围”．下列结论：
① 是函数 的“1级关联范围”；
② 不是函数 的“2级关联范围”；
③函数 总存在“3级关联范围”；
④函数 不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出 在 时， ，即 ，即可判断①；推出 在 时， ，
即 ，即可判断②；③设当 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当函数 存在“3级关联范围”时 ，整理得 ，即可判断③；设 ，
则 ，当函数 存在“4级关联范围”时，
，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当 时， ，当 时， ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴ 在 时， ，即 ，
∴ 是函数 的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当 时， ，当 时， ，
∵ 对称轴为y轴， ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴ 在 时， ，即 ，
∴ 是函数 的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵ ，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当函数 存在“3级关联范围”时 ，
整理得： ，
∵ ， ，
∴总存在 ，
∴函数 总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数 的对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
设 ，则 ，
当函数 存在“4级关联范围”时， ，
解得： ，
∴ 是函数 的“4级关联范围”，
∴函数 存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11. 分解因式：x2－9＝______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
为
故答案 ：（x+3）（x-3）.
12. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高
铁营业里程达到 ．数据45000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
值大于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为
a时小数点移动的位数．
为
【详解】解：数据45000用科学记数法表示 ，
故答案为： ．
13. 正十二边形的内角和等于______度．
【答案】 ##1800度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式
进行计算即可．
【详解】解： ，
∴正十二边形的内角和等于 ．
故答案为： ．
14. 命题“若 ，则 ”是______命题．（填“真”或“假”）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】假
【解析】
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据 ，可得出 ，进而可判
断出若 ，则 是假命题．
【详解】解：
∵
，
∴
若 ，则 是假命题，
∴
故答案为：假．
15. 某个函数的图象关于原点对称，且当 时， 随 的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数
表达式：______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．
【详解】解：根据题意有： ，
故答案为： （答案不唯一）
16. 在 中， ， ， ， 分别是 的中点，则 的
周长为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边
的一半．根据三角形的中位线定理得出 ，即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ， 分别是 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：9．
17. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板 摆
放在平面直角坐标系中，使其两条直角边 分别落在 轴负半轴、 轴正半轴上（如图所示），然
后将三角板向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后，小明发现 两点恰好都落在函数
的图象上，则 的值为______．
【答案】2或3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数
的图象上，列出方程求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
设平移后点A、B的对应点分别为 ，
∴ ，
∵ 两点恰好都落在函数 的图象上，
∴把 代入 得： ，
解得： 或 ．
故答案为：2或3．
18. 如图，在 中， ， ，直线 ， 是 上的动点（端点除外），射线
交 于点 ．在射线 上取一点 ，使得 ，作 ，交射线 于点 ．设
， ．当 时， ______；在点 运动的过程中， 关于 的函数表达式为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得 ，则 ，得出 ，代入数据即可求出 ；根据
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学科网（北京）股份有限公司，得出 ，设 ，则 ，通过证明 ，得出
，则 ，进而得出 ，结合 ，可得
，代入各个数据，即可得出 关于 的函数表达式．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
整理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
故答案为：2， ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
等．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）先移项，再用直接开平方法即可求解；
（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”
即可写出不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
解得： ．
（2）解： ，
由①可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
21. 如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 ．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．
（1）根据矩形的性质得出 ，再根据中点的定义得出 ，即可根据
求证 ；
（2）根据全等的性质得出 ，根据等边对等角即可求证．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
【
小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
22. 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球
颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式，即可解答；
（2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球，
∴摸到白球的概率 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意列出表格如下：
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学科网（北京）股份有限公司白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率 ．
23. “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李
在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式
合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整
理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
频
长度
率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
第18页/共36页
学科网（北京）股份有限公司根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的 ______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于 的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】（1） （2） 0.12，频数分布直方图见详解 （3）
③ ①
【解析】
【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频
数分布直方图是解题的关键．
（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在 之间的频数，然
后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于 的麦穗的频率相加即可求解．
【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的 ，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在 之间的频数有： ，
频数分布直方图补全如下：
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学科网（北京）股份有限公司（3） ，
故长度不小于 的麦穗在该试验田里所占比例为 ．
24. 如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点 ，使得 ；（不写作法，保留痕
迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ， ，则 的长是多少？（请直接写出 的
值）
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）作 的角平分线和线段 的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，先利用角平分线的性质定理
证明四边形 为正方形，设 ，则 ， ，以
为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出 ．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：如下图： 即为所求．
【小问2详解】
过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，
则 ，
又∵
∴四边形 为矩形，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵
∴
∴
解得： ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理
的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
25. 某校积极开展劳动教育，两次购买 两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求 两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买 两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且
不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不
变）
【答案】（1）A种型号劳动用品单价 为20元，B种型号劳动用品单价为30元
（2）该校购买这40件劳动用品至少需要1100元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求
解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品 件，根据题意得出 ，
设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
第22页/共36页
学科网（北京）股份有限公司，
解得： ，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
【小问2详解】
解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品 件，
根据题意可得： ，
设购买这40件劳动用品需要W元，
，
∵ ，
∴W随a的增大而减小，
∴当 时，W取最大值， ，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要1100元．
26. 如图， 是 的直径， 内接于 ， ， 的延长线相交于点 ，且
．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
第23页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等
知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出 ，再由等边对等角得出 ，等量代换
可得出 ，又 ，即可得出 ．
（2）连接 ，由直径所对的圆周角等于 得出 ，设 ，即
，由相似三角形的性质可得出 ，再根据圆内接四边形的性质可得出
，即可得出 的值， 进一步即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
【小问2详解】
连接 ，如下图：
∵ 为直径，
∴ ，
设 ，
∴ ，
第24页/共36页
学科网（北京）股份有限公司由（1）知：
∴ ，
∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，
即 ，
解得：
27. 【操作观察】
如图，在四边形纸片 中， ， ， ， ， ．
折叠四边形纸片 ，使得点 的对应点 始终落在 上，点 的对应点为 ，折痕与
分别交于点 ．
【解决问题】
（1）当点 与点 重合时，求 的长；
（2）设直线 与直线 相交于点 ，当 时，求 的长．
【答案】（1）
第25页/共36页
学科网（北京）股份有限公司（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
（1）过点C作 ，则 ， ，再求出 ，根据勾股定理求出 ，
当点 与点A重合时，由折叠的性质可得出 垂直平分 ，N与D重合，
则有 ，设 ，则 ，再利用勾股定理即可得出
．
（2）分两种情况，当点F在 上时和当点F在 的延长线上时，设 ， ，则
，利用 三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段
的和差关系求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点C作 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
，
当点 与点A重合时，由折叠的性质可得出 垂直平分 ，N与D重合，
则有 ，
设 ，则 ，
∵
第26页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴在 中 ，
解得： ，
故
【小问2详解】
如图2，当点F在 上时，如下图：
由(1)可知 ，
∵
∴ ，
设 ， ，则 ，
根据折叠的性质可得出： ， ．
∵ ，
∴ ，
∵
第27页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴在 中， ，
则 ，
解得： ，
如图3，当点F在 的延长线上时，
同上 ，
在 中，
设 ， ， ， ，
在 中，
，
则
解得 ，
则 ，
第28页/共36页
学科网（北京）股份有限公司综上： 的值为： 或 ．
28. 已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）点 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）
（2） 时， ； 时， ； 时，
（3）存在， 或 或 或 或 或
【解析】
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入 ，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达
式；
（2）根据题意得出 ， ，再用作差法得出
，进行分类讨论即可；
（3）求出直线 的函数解析式为 ，然后进行分类讨论：当 为正方形的边时；当 为正方
对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
第29页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ， 都在该二次函数的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
【小问3详解】
解：设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
第30页/共36页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
当 为正方形的边时，
①∵ ，
∴ ，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作 的垂线，垂足为点H，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴点N的纵坐标为 ，
即 ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
②如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： （舍去），
∴ ；
③如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
④如图：构造 ，
第33页/共36页
学科网（北京）股份有限公司和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
当 为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形 ，过点P作 于点K，
易得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
和①同理可得： ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
⑥如图：构造 ，
同理可得： ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
综上： 或 或 或 或 或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
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