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数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球
在 年前仍存在岩浆活动．数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10
5. 如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分
别交 、 于点F、G，则 的周长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问
何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如
果设经过 天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B. C. D.
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7. 如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于A、B两点，点A
的横坐标为 ．当 时， 的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
8. 如图，在 中， ， ， 平分 ， ，E为垂足，则
的值为（ ）
.
A B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 计算： _______．
10. 分解因式： _______．
.
11 如图， ，直线 与射线 相交于点 ．若 ，则 _______ ．
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12. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶端的高度 h 为
_______m．
13. 如图， 是 的内接三角形， ．若 的半径为2，则劣弧 的长为_______．
14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数．当 时， ．则当 时， ________Pa．
15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 是铅球离初始位置的水平距
离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为 ，则铅球掷出的水平距离 为
________ ．
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16. 如图，在菱形 中， ， ， 为线段 上的动点，四边形 为平行四边形，
则 的最小值为_______．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17. 计算 ．
18. 解方程 ．
19. 解不等式组
的
20. 一只不透明 袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；
的
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表
方法，求2次都摸到白球的概率．
21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制
了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
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频 数 （ 人
组别 体重
数）
类
类
类
类
根据以上信息，解答下列问题：
（1） _______， ________；
（2）在扇形统计图中， 类所对应的圆心角度数是_______°；
（3）若该校八年级共有 名学生，估计体重在 及以上的学生有多少人?
22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形
的边长相等．
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少
张正方形硬纸片?
23. 如图，港口 位于岛 的北偏西 方向，灯塔 在岛 的正东方向， ，一艘海轮 在岛
的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上， ．
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（1）求岛 与港口 之间的距离；
（2）求 ．
（参考数据： ， ， ）
24. 已知二次函数 ， 为常数．
（1）若该二次函数的图像与直线 有两个交点，求 的取值范围；
（2）若该二次函数的图像与 轴有交点，求 的值；
（3）求证：该二次函数的图像不经过原点．
25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 ，面积为 ．
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积
与 的长 之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
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26. 已知 是 的高， 是 的外接圆．
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若 的半径为 ，求证： ；
（3）如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，
，求 的长．
27. 综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板 的边 、 上分别取点 、 ，且 ， 交 于点
．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ， 交 于点 ， 交 于点
．
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【活动猜想】
（1） 与 的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若 ， ，求 的长；
【综合探究】（4）若 ，则当 _______时， 的面积最小．
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