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数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的
距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数．
【详解】解： ，
因此， 的绝对值为5，
故选：A．
2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球
在 年前仍存在岩浆活动．数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数
相同．
【详解】解：
故选：C．
3. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即 ，
解不等式即可确定x的取值范围．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
4. 下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三
边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
【详解】A． 1、2、3： ，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4： ，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8： ，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10： ，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
的
5. 如图，在 中， ， 垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分
别交 、 于点F、G，则 的周长为（ ）
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A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得 ， ，再由
三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ 的周长为 ，
故选：C．
6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问
何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如
果设经过 天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全
程（即1），再建立方程即可.
【详解】解：设相遇时间为 天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为 （全程/天）；
大雁从北海到南海需9天，故其速度为 （全程/天），
∴方程为 ，
故选：A
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7. 如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于A、B两点，点A
的横坐标为 ．当 时， 的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
.
C 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等
式与函数图像的关系，当 时， 的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的 的取值范
围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像相交于
两点，点 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
当 或 时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
的
即当 时， 取值范围是 或 ，
故选：C．
8. 如图，在 中， ， ， 平分 ， ，E为垂足，则
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的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设 ，根据含
30度的直角三角形的性质，得到 ，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比
等于底边比，得到 ，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，等角的正弦值相等，得到
，求出 的长，进而求出 的长即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∵ 平分 ， ，
∴点 到 的距离相等均为 的长， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 计算： _______．
【答案】2a
【解析】
【分析】根据合并同类项原理：系数相加减字母不变即可解题.
【详解】解： .
【点睛】本题考查了整式的加减,属于简单题,熟悉合并同类项的原理是解题关键.
10. 分解因式： _______．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 如图， ，直线 与射线 相交于点 ．若 ，则 _______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性
质得出 ，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶端的高度 h 为
_______m．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了勾股定理，根据长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，进行
列式计算，即可作答．
【详解】解：∵长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图， 是 的内接三角形， ．若 的半径为2，则劣弧 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得 ，再结合弧长公式代入数值
计算，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴劣弧 ，
故答案为： ．
14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
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的反比例函数．当 时， ．则当 时， ________Pa．
【答案】16000
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为
，再代入数值求出 ，然后把 代入 ，进行求解计算，即可作答．
【详解】解：∵气球内气体的压强 是气球体积 的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为 ，
把 时， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
故答案为： ．
15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 是铅球离初始位置的水平距
离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为 ，则铅球掷出的水平距离 为
________ ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次
函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得 ，代入 ，得出抛物线的解
析式为 ，令 ，求解即可，
【详解】解：由题意， ，
得 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴ ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ 为 ，
故答案为： ．
16. 如图，在菱形 中， ， ， 为线段 上的动点，四边形 为平行四边形，
则 的最小值为_______．
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【答案】
【解析】
【分析】利用四边形 为平行四边形，得出 ， ，由 为线段 上的动点，可
知 、 运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作 是定线段，菱形 在 方向上水平
运动，过点 作 的平行线 ， 过点 作关于线段 的对称点 ，由对称性得 ，则
，当且仅当 、 、 依次共线时， 取得最小值 ，此时，设
与 交于点 ， 交 于点 ，延长 交 延长线于点 ，分别证明四边形 和四
边形 是矩形，求出 ， ，再利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ 为线段 上的动点，
∴可以看作 是定线段，菱形 在 方向上水平运动，
则如图，过点 作 的平行线 ，
过点 作关于线段 的对称点 ，
由对称性得 ，
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∴ ，当且仅当 、 、 依次共线时， 取得最小值 ，
此时如图，设 与 交于点 ， 交 于点 ，延长 交 延长线于点 ，
∵菱形 中， ， ，
∴ ， ， ，
由题可得 ，
∴由对称性可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
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∴ ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点
之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17. 计算 ．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即
可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式 ．
18. 解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即
可，注意验根．
【详解】解：去分母，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
19. 解不等式组
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
20. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的
方法，求2次都摸到白球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意，共有 个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情
况只有1种，
∴摸到红球的概率是 ；
【小问2详解】
根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图：
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由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，
所以2次都摸到白球的概率为 ．
21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制
了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
频 数 （ 人
组别 体重
数）
类
类
类
类
根据以上信息，解答下列问题：
（1） _______， ________；
（2）在扇形统计图中， 类所对应的圆心角度数是_______°；
（3）若该校八年级共有 名学生，估计体重在 及以上的学生有多少人?
【答案】（1） ，
（2）
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（3） 人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出
相关数据是解题的关键．
（1）利用 类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用 类占总体百分比求出 类的频数，最
后即可求出 类的频数；
（2）利用 类占总体百分比乘以 即可；
（3）利用样本估计总体即可求出．
【小问1详解】
解：由题意得被抽取的总人数为 （人），
∴ 类的频数为 （人），
∴ 类的频数为 （人），
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： 类所对应的圆心角度数是 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：估计体重在 及以上的学生有 （人）．
22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形
的边长相等．
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少
张正方形硬纸片?
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【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个
（2）至少需要134张正方形硬纸片
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得 ，即可作答．
（2）先设制作乙种纸盒 m 个，需要 w 张正方形硬纸片．根据题意列出 ，结合
，得 ，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可．
【小问1详解】
解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要 1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长
方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得 ，
得 ，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
【小问2详解】
解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．
则 ．
由 ，知w随m的增大而增大，
∴当m最小时，w有最小值．
根据题意，得 ，
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解得 ，
其中最小整数解为34．
即当 时， ．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
23. 如图，港口 位于岛 的北偏西 方向，灯塔 在岛 的正东方向， ，一艘海轮 在岛
的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上， ．
（1）求岛 与港口 之间的距离；
（2）求 ．
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据 作
辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，证明 ，得出 ，结合 ，
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，求出 ，再在 中利用三角函数即可求解；
（2）在 中，利用三角函数求出 ，利用 ，得出 ，则可
求出 ，再在 中利用三角函数即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
得： ，
在 中，由 ，
得 ．
答：岛 与港口 之间的距离为 ；
【小问2详解】
解：在 中， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
在 中， ．
24. 已知二次函数 ， 为常数．
（1）若该二次函数的图像与直线 有两个交点，求 的取值范围；
（2）若该二次函数的图像与 轴有交点，求 的值；
（3）求证：该二次函数的图像不经过原点．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与 轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像
和性质是解题的关键．
（1）由二次函数的图像与直线 有两个交点，知函数的最小值小于 ，列式计算即可；
（2）根据图像与x轴有交点， ，列式计算即可；
（3）根据当 时， ，即可证明．
【小问1详解】
解：因为二次函数 中， ，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线 有两个交点，
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所以函数的最小值小于 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
【小问2详解】
解：因为二次函数的图像与 轴有交点，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ．
【小问3详解】
证明：当 时， ，
所以二次函数的图像不经过原点．
25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 ，面积为 ．
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积
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与 的长 之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
【答案】（1）图1的正方形面积较大
（2）在图 3 中， ，当 时，长方形的面积有最大值为 ；在图 4 中，
，当 时，长方形的面积有最大值为
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（ 1 ） 先 运 用 勾 股 定 理 算 出 ， 再 运 用 正 方 形 的 性 质 分 别 证 明
， ， ， 然 后 代 入 数 值 化 简 得
，进行计算得 ，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明 ，则长方形 的面积 ，结合二
次函数的图象性质得当 时，长方形的面积有最大值为 ．，然后证明 ，
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，再把数值代入长方形的面积 ，化简得 ，结
合二次函数的图象性质进行作答即可．
【小问1详解】
解：∵ ，面积为 ，
∴ ，
∴ ．
设正方形的边长为 ，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，
∵
∴
得 ，
即 ，
解得 ．
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴
∴ ，
得 ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即 ，
∴ ．
，
∵
∴ ，
得 ，
即 ，
解得 ．
∵ ，
∴图1的正方形面积较大．
【小问2详解】
解：∵四边形 是长方形
∴ ， ，
∵
∴ ；
得 ，
则 ， ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴长方形的面积 ，
∵
∴开口向下，
当 时，长方形的面积有最大值为 ．
在图4中，同理得 ，
得 ，
∴ ， ，
同理得 ，
得 ，
则 ，
∴长方形的面积 ，
∵
∴开口向下，
∴当 时，长方形的面积有最大值为 ．
26. 已知 是 的高， 是 的外接圆．
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若 的半径为 ，求证： ；
（3）如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，
，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌
握以上知识是解题的关键；
（1）分别作 的垂直平分线交于点 ，以 为半径作圆，即可求解．
（2）作 的直径 ，连接 ，证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）连接 ，根据 为 的切线，得出 ，进而证明 是等边三角形，得出
，在 ， 中分别求得 ，根据（2）的结论求得 ，即可
求解．
【小问1详解】
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：如图2，作 的直径 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
【小问3详解】
如图3，连接 ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
代入 ，得 ，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即 ．
27. 综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板 的边 、 上分别取点 、 ，且 ， 交 于点
．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ， 交 于点 ， 交 于点
．
【活动猜想】
（1） 与 的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若 ， ，求 的长；
【综合探究】（4）若 ，则当 _______时， 的面积最小．
【答案】（1）相等，垂直
（2）证明见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据图形进行猜想即可；
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（2）过点 作 于 ，过点 作 分别交 、 于 、 ， 证明四边形
为矩形，四边形 为正方形，结合正方形性质证明 ，
则可得 ，证明 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，即可证明；
（3）证明 ，得出 ， ，再证明 ，在
中，利用勾股定理求出 ，由等面积法得求出 ，在
中，利用勾股定理求出 ，再证明 为等腰直角三角形，得出
，利用线段和差即可求解；
（4）构造 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ，设 的半径
为 ，过点 作 于 ，证明 是等腰直角三角形，得出 ，求得
，则当 最小时， 的面积最小，则 最小时， 的面积
最小，由 ，可知当 最小时， 的面积最小，由点到直
线的最短距离可得，当 、 、 依次共线，且 时， 最小，此时，点 与 重合，
再进行计算即可．
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：（1）相等，垂直；
（2）过点 作 于 ，过点 作 分别交 、 于 、 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
31【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在正方形 中，由 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
得 ，
由等面积法得 ，
即 ，
∴ ，
在 中， ，
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由（2）可知 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（4）如图，构造 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ，设
的半径为 ，过点 作 于 ，
由（2）可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
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∵正方形 中， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 最小时， 的面积最小，
∴ 最小时， 的面积最小，
∵ ，
∴当 最小时， 的面积最小，
由点到直线 的最短距离可得，当 、 、 依次共线，且 时， 最小，
此时如图，点 与 重合，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性
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质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
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