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200 2 年天津高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线 与圆 相切，则 的值为
A． B． C．1 D．
2．（5分）已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 ， ，则
A．与 ， 都相交 B．与 ， 中至少一条相交
C．与 ， 都不相交 D．至多与 ， 中的一条相交
3．（5分）不等式 的解集是
A． B． 且 C． D． 且
4．（5分）函数 在 ， 上的最大值与最小值的和为3，则
A． B．2 C．4 D．
5．（5分）在 内，使 成立的 的取值范围是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
6．（5分）设集合 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
7．（5分）椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于
A． B．1 C． D．
8．（5分）正六棱柱 的底面边长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱
侧面对角线 与 所成的角是
A． B． C． D．9．（5分）函数 是单调函数的充要条件是
A． B． C． D．
10．（5分）已知 ，则有
A． B． C． D．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．（5分）平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 、 ，若点 满足
，其中 、 ，且 ，则点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）据新华社2002年3月12日电，1958年到2000年间，我国农村人均居住面积
如下图所示其中，从 到 年的五年间增长最快．
14．（4分）已知 ，则 ．
15．（4分）甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5年的平均单位面积产量如下（单位：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 ．
16．（4 分）设函数 在 内有定义，下列函数（1） ；（2）；（3） ；（4） 中必为奇函数的有 （要求
填写正确答案的序号）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）在等比数列 中，已知 ， ，求 前8项的和 ．
18．（12分）已知 ， ，求 、 的值．
19．（12分）选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点 、 、 、 的坐标；
（Ⅱ）求 与侧面 所成的角
乙、如图，正方形 、 的边长都是1，而且平面 、 互相垂直．点
在 上移动，点 在 上移动，若 ．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）当 为何值时， 的长最小；
（Ⅲ）当 长最小时，求面 与面 所成的二面角 的大小．
20．（12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互
独立），
（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
21．（12分）已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点
， 处的切线为 ，
（1）求 的方程；
（2）设 与 轴交点为 ， 证明：
① ；
②若 则 ．
22．（14分）已知两点 ， ，且点 使 ， ， 成公差
小于零的等差数列．
（1）点 的轨迹是什么曲线？
（2）若点 坐标为 ， ，记 为 与 的夹角，求 ．参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线 与圆 相切，则 的值为
A． B． C．1 D．
【解答】解：由圆心到直线的距离可知： ， ，
．
故选： ．
2．（5分）已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 ， ，则
A．与 ， 都相交 B．与 ， 中至少一条相交
C．与 ， 都不相交 D．至多与 ， 中的一条相交
【解答】解：由题意， 与 ， 都相交且交点不重合时， ， 为异面直线；
若 与 相交且与 平行时， ， 为异面直线；
若 与 ， 都不相交时，又因 ， ，所以 ，同理 ，则 ．
故选： ．
3．（5分）不等式 的解集是
A． B． 且 C． D． 且
【解答】解：求不等式 的解集
则分两种情况讨论：
情况 即：
则： ．
情况 即：
则：
两种情况取并集得 且 ．故选： ．
4．（5分）函数 在 ， 上的最大值与最小值的和为3，则
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：根据题意，由 的单调性，
可知其在 ， 上是单调函数，即当 和1时，取得最值，
即 ，
再根据其图象，可得 ，
则 ，
即 ，
故选： ．
5．（5分）在 内，使 成立的 的取值范围是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【解答】解： ，
，
，
在 内，
，
故选： ．
6．（5分）设集合 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：当 （为偶数）时，
当 （为奇数）时，故选： ．
7．（5分）椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于
A． B．1 C． D．
【解答】解：椭圆 即 ，
焦点坐标为 ， ，
， ，
故选： ．
8．（5分）正六棱柱 的底面边长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱
侧面对角线 与 所成的角是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 、 ．
正六棱柱 的底面边长为1，则 ， ，
则可知 ，
故选： ．
9．（5分）函数 是单调函数的充要条件是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 在 ， 上为单调函数
，即 ．
故选： ．
10．（5分）已知 ，则有
A． B． C． D．【解答】解： ，
故选： ．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共 种不同的取法，
而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，
则选法共有 种；
故选： ．
12．（5分）平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 、 ，若点 满足
，其中 、 ，且 ，则点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【解答】解： 点满足 且 ，
、 、 三点共线．
点的轨迹是直线
又 、 ，
直线 的方程为： 整理得
故 点的轨迹方程为
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）据新华社2002年3月12日电，1958年到2000年间，我国农村人均居住面积
如下图所示其中，从 199 5 到 年的五年间增长最快．【解答】解：1985年到1990年五年间人均增长的面积为
1990年到1995年五年间人均增长的面积为
1995年到2000年五年间人均增长的面积为
故答案为：1995；2000
14．（4分）已知 ，则 ．
【解答】解：由 化简得： ，即
因为 ，得到 ，由 ， ，得到 ，
所以
故答案为：
15．（4分）甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5年的平均单位面积产量如下（单位：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 ．
【解答】解：由题意知 ，
；，
．
．
产量比较稳定的小麦品种是甲，
故答案为：甲
16．（4 分）设函数 在 内有定义，下列函数（1） ；（2）
；（3） ；（4） 中必为奇函数的有 （ 2 ），
（ 4 ） （要求填写正确答案的序号）．
【解答】解： 中 与 不一定相等，所以（1）不是奇函数；
可以看成为两个函数的乘积，其中， 是奇函数， 是偶函数，故
（2）是奇函数．
奇偶性没办法确定．故（3）不是奇函数．
令 因为 ，故（4）是
奇函数
故答案为：（2）（4）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）在等比数列 中，已知 ， ，求 前8项的和 ．
【解答】解：设数列 的公比为 ，依题意，
，（1）
，
将 代入到（1）式，得 ， ，舍去．
将 代入到（1）式，得 ， ．，
．
18．（12分）已知 ， ，求 、 的值．
【解答】解：由 ，得
．
因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ．
19．（12分）选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点 、 、 、 的坐标；
（Ⅱ）求 与侧面 所成的角
乙、如图，正方形 、 的边长都是1，而且平面 、 互相垂直．点
在 上移动，点 在 上移动，若 ．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）当 为何值时， 的长最小；
（Ⅲ）当 长最小时，求面 与面 所成的二面角 的大小．【解答】甲、解：（1）如图，以点 为坐标原点 ，
以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，
以经过原点且与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系．
由已知，得 ，0， ， ， ， ，
（2）坐标系如上．取 的中点 ，
于是有 ，
连 ， 有 ，
且
由于
所以， 面
与 所成的角就是 与侧面 所成的角．
，而
，
所以， 与 所成的角，
即 与侧面 所成的角为
乙、解：（1）作 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，依题意可得 ，且 ，
即 是平行四边形．
由已知， ， ，
即
（2）由（1）
所以，当 时，
即 ， 分别移动到 ， 的中点时，的长最小，最小值为
（3）取 的中点 ，连接 、 ，
， ， ， ，
即为二面角 的平面角．
又 ，
所以由余弦定理有 ．
故所求二面角 ．
20．（12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互
独立），
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
【解答】解：（1）根据题意，可得，“至少3人同时上网”与“至多2人同时上网”互为
对立事件，故“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，
即“至少3人同时上网”的概率为 ．
（2）至少4人同时上网的概率为 ，
至少5人同时上网的概率为 ，
因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．
21．（12分）已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点
， 处的切线为 ，
（1）求 的方程；
（2）设 与 轴交点为 ， 证明：
① ；
②若 则 ．
【解答】解：（1） 的导数 ，
由此得切线 的方程 ；
（2）①依题意，在切线方程中令 ，
得 ，
，
，当且仅当 时取等成立．
②若 ，则 ， ，
且由① ，所以 ．
22．（14分）已知两点 ， ，且点 使 ， ， 成公差
小于零的等差数列．
（1）点 的轨迹是什么曲线？
（2）若点 坐标为 ， ，记 为 与 的夹角，求 ．
【解答】解：（1）记 ，由 ， 得 ，
， ，
，
，
，
， ， 是公差小于零的等差数列
即 ，
点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆．
（2）点 的坐标为 ， ，则 ，
，
，，
，
， ，
，
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日期：2019/5/27 22:57:52；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156
