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2003 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
王新奎新疆屯敞
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
其中 、 分别表示上、下底面
周长， 表示斜高或母线长.
球 体 的 体 积 公 式 ：
，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．设集合 等于 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 ，则
（ ）
A．y>y>y B．y>y>y C．y>y>y D．y>y>y
3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2
3．“ ”是“ ”的
（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是
（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m//n B．若m∥n，α∩β=n，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α， ，则α⊥β5．如图，直线 过椭圆的左焦点F 和
1
一个顶点B，该椭圆的离心率为 （ ）
y
A． B．
B
C． D．
F O F x
1 2
6．若 且 的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面 积 的 比 为
（ ）
A． B． C． D．
8．若数列 的通项公式是 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们
的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（
）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为
王新奎新疆屯敞
12．函数 中， 是偶函
数.13．以双曲线 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是
王新奎新疆屯敞
14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积
之和最小，正方形的周长应为
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 的最大值、最小值.
16．（本小题满分13分）
已知数列 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列 前n项和的公式.
17．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—ABC 中，D是BC的中点，AB=a.
1 1 1
（Ⅰ）求证：直线AD⊥BC；
1 1 1
（Ⅱ）求点D到平面ACC 的距离；
1
（Ⅲ）判断AB与平面ADC的位置关系，
1
并证明你的结论.B
C 1
1
A
1
C
B
D
A
18．（本小题满分15分）
如图，A，A为椭圆的两个顶点，F，F 为椭圆的两个焦点.
1 1 2
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P 两点，直线
1
AP与AP 交于点M.
1 1
求证：点M在双曲线 上.
y
B
2
A 1 (-5,0) F 1 (-4,0) O F 2 (4,0)A 2 (5,0) x
B
1
19．（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一
个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系
如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？y
A
P
B(-b,0) O C(b,0) x
20．（本小题满分14分）
设 是定义在区间 上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）判断函数 是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数 ，且使得对任意的
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11．3 12． 13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查
运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为
所以 的最小正周期
（Ⅱ）解：因为 所以 的最大值为 ,最小值为－16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题
的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列 公差为 ，则 又
所以
（Ⅱ）解：由 得
①
②
将 ① 式 减 去 ② 式 ， 得
所以
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考
查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.
（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又AA⊥底面ABC，∴AD⊥BC ，∵BC∥BC，∴AD⊥BC.
1 1 1 1 1 1 1
证法二：连结AC，则AC=AB. ∵点D是正△ACB的底边中BC的中点，
1 1 1 1 1
∴AD⊥BC ，∵BC∥BC，∴AD⊥BC.
1 1 1 1 1 1
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC⊥平面ABC，
1
∴DE⊥平面ACC 于E，即DE的长为点D到平面ACC 的
1 1
距离. 在Rt△ADC中，AC=2CD=
∴所求的距离
C 1 B 1
A
1
C B
D
E
A
解法二：设点D到平面ACC 的距离为 ，
1
∵体积即点D到平面ACC 的距离为 .
1
（Ⅲ）答：直线AB//平面ADC，证明如下：
1 1
证法一：如图 1，连结AC交AC 于F，则 F为AC的中点，∵D是BC的中点，
1 1 1
∴DF∥AB，
1
又DF 平面ADC，AB 平面ADC，∴AB∥平面ADC.
1 1 1 1 1
证法二：如图2,取CB 的中点D，则AD∥AD，CD∥DB，
1 1 1 1 1 1 1
∴AD∥平面ADB，且CD∥平面ADB，
1 1 1 1 1
∴平面ADC∥平面ADB，∵AB 平面ADB，∴AB∥平面ADC.
1 1 1 1 1 1 1 1
C 1 B 1 C 1 D 1 B 1
A A
1 1
F
C B
D C D B
A
A
图（1） 图（2）
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分
15分.
（Ⅰ）解：由图可知,
该椭圆的方程为
准线方程为
y
B (0,3)
2 M
P
A (-5,0) O K A (5,0) x
1 2
P
B (0,-3) 1
1
（Ⅱ）证明：设K点坐标 ,点P、P 的坐标分别记为 ，
1其中 则 ……① 直线AP，PA的方程分别为：
1 1
……② ……③
②式除以③式得 化简上式得 代入②式得
于是，直线AP与AP 的交点M的坐标为
1 1
因为
所以，直线AP与AP 的交点M在双曲线 .
1 1
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的
能力.满分14分.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0， ），则P至三镇距离的平方和为
所以，当 时，函数 取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由 解得 记 于是
因为 在[ 上是增函数，而
上是减函数. 所以 时,函数 取得最小值. 答:点P的
坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由 解得 记 于是
函数 的图象如图 ，因此，
当 时，函数 取得最小值.答:点P的坐标是解 法 三 ： 因 为 在 △ ABC 中 ， AB=AC=13, 且 ，
所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为 ,
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P；当P在射线
1
MA的反向延长线上，记P为P，
2
这时P到A、B、C三点的最远距离为
PC和PA，且PC≥MC，PA≥MA，所以点P与外心M
1 2 1 2
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的
能 力 . 满 分 14 分 . （ Ⅰ ） 证 明 ： 由 题 设 条 件 可 知 ， 当 时 ， 有
即
（Ⅱ）答：函数 满足题设条件.验证如下：
对任意的 ，
当
当
当 不妨设
有
所以，函数 满足题设条件.
（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：
假设存在函数 满足条件，则由 得 ①
由于对任意的 ，都有
所以， ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样
的函数不存在.
