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2003 年吉林高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x
2．（5分）已知x∈（ ，0），cosx ，则tan2x等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）
A． B． C．8 D．﹣8
4．（5分）等差数列{a}中，已知a ，a+a＝4，a＝33，则n为（ ）
n 1 2 5 n
A．48 B．49 C．50 D．51
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F、F，∠FMF＝120°，则双曲线的
1 2 1 2
离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）设函数 若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
0 0
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）
A．lg2 B．lg32 C． D．
8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B． C． D．π
9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为 ，该圆柱
的全面积为（ ）
A．2πR2 B． C． D．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一
质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P后，依次反射到CD、DA和
0 1
AB上的点P、P和P（入射角等于反射角）若P与P重合，则tgθ＝（ ）
2 3 4 4 0
A． B． C． D．1
12．（5分）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．3 D．6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）不等式 的解集是 ．
14．（4分）在 的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝
BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间
的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两
互相垂直，则 ．”16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用
同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作
答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣ABCD．AB＝1，AA＝2，点E为CC中点，点F为BD
1 1 1 1 1 1 1
中点．
（1）证明EF为BD与CC的公垂线；
1 1
（2）求点D到面BDE的距离．
1
18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
19．（12分）已知数列{a}满足a＝1，a＝3n﹣1+a （n≥2）．
n 1 n n﹣1
（Ⅰ）求a，a；
2 3
（Ⅱ）证明 ．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间 上的图象．
21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如
图）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方
向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、
F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是
否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定
值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x
【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），
∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：
y＝﹣2x．
故选：C．
2．（5分）已知x∈（ ，0），cosx ，则tan2x等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵cosx ，x∈（ ，0），
∴sinx ．∴tanx ．
∴tan2x ．
故选：D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）
A． B． C．8 D．﹣8
【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2 y，则其准线方程为y 2，
所以a ．
故选：B．
4．（5分）等差数列{a}中，已知a ，a+a＝4，a＝33，则n为（ ）
n 1 2 5 n
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：设{a}的公差为d，
n
∵ ，a+a＝4，
2 5
∴ d 4d＝4，即 5d＝4，
解得d ．
∴an （n﹣1） ，
令a＝33，
n
即 33，
解得n＝50．
故选：C．
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F、F，∠FMF＝120°，则双曲线的
1 2 1 2
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF＝60°，
2∴tan∠OMF ，即c b，
2
∴a b，
∴e ．
故选：B．
6．（5分）设函数 若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
0 0
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：当x≤0时， ，则x＜﹣1，
0 0
当x＞0时， 则x＞1，
0 0
故x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
0
故选：D．
7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）
A．lg2 B．lg32 C． D．
【解答】解：令x5＝2，
∴得x ，
∵f（x5）＝lgx，
∴f（2）＝lg lg2．
故选：D．
8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B． C． D．π
【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sinx为奇函数不满足题意，排除A；
当φ 时，y＝sin（x+φ）＝sin（x ）为非奇非偶函数，排除B；
当φ 时，y＝sin（x+φ）＝cosx，为偶函数，满足条件．
当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，为奇函数，
故选：C．
9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由点到直线的距离公式得： ，
∵a＞0，
∴a ．
故选：C．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为 ，该圆柱
的全面积为（ ）
A．2πR2 B． C． D．
【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则 ，解得 ，
所以圆柱的全面积为：s＝2 ．
故选：B．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P后，依次反射到CD、DA和
0 1
AB上的点P、P和P（入射角等于反射角）若P与P重合，则tgθ＝（ ）
2 3 4 4 0
A． B． C． D．1
【解答】解：由于若P与P重合，
4 0
故P、P也都是所在边的中点，
2 3
因为ABCD是长方形，
根据对称性可知PP的斜率是 ，
0 1
则tgθ ．
故选：C．
12．（5分）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．3 D．6π
【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．
则球的半径R ，
∴球的表面积为3π，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）不等式 的解集是 （ 2 ， 4 ] ．
【解答】解：∵x 0，
∴x＞0，
∵不等式 ，两边平方得，
4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，
解得，x＞2，x＜0（舍去），
∵4x﹣x2≥0，
∴0≤x≤4，
∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，
故答案为（2，4]．
14．（4分）在 的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）
【解答】解：根据题意，对于 ，
有T ＝C9﹣r•x9﹣r•（ ）r＝（ ）r•C9﹣r•x9﹣2r，
r+1 9 9
令9﹣2r＝3，可得r＝3，
当r＝3时，有T x3，
4
故答案 ．
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝
BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间
的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两
互相垂直，则 S 2 +S 2 +S 2 ＝ S 2 ．”
△ABC △ACD △ADB △BCD
【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S 2+S 2+S 2＝
△ABC △ACD △ADB
S 2．
△BCD
故答案为：S 2+S 2+S 2＝S 2．
△ABC △ACD △ADB △BCD
16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 7 2 种．（以数字作答）
【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C3•A3＝24种
4 3
4色全用时涂色方法：C1•A4＝48种
2 4
所以不同的着色方法共有72种．
故答案为：72
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣ABCD．AB＝1，AA＝2，点E为CC中点，点F为BD
1 1 1 1 1 1 1
中点．
（1）证明EF为BD与CC的公垂线；
1 1
（2）求点D到面BDE的距离．
1
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD中点，
1
∴FM∥DD且FM DD．
1 1
又EC CC且EC⊥MC，
1
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC．又FM⊥面DBD．
1 1
∴EF⊥面DBD．
1
∵BD 面DBD．∴EF⊥BD．
1 1 1
⊂故EF为BD与CC的公垂线．
1 1
（Ⅱ）解：连接ED，有V ＝V ．
1 E﹣DBD1 D1﹣DBE
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD，
1
设点D到面BDE的距离为d．
1
则 ．
∵AA＝2，AB＝1．
1
∴ ， ，
∴ ．
∴
故点D到平面DBE的距离为 ．
1
18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
【解答】解：设z＝（rcos60°+rsin60°i），
则复数z的实部为 ．
由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，
即：（z﹣1）（ 1）＝|z|∴r2﹣r+1＝r ，
整理得r2+2r﹣1＝0．
解得r 1，
r 1（舍去）．
即|z| 1．
19．（12分）已知数列{a}满足a＝1，a＝3n﹣1+a （n≥2）．
n 1 n n﹣1
（Ⅰ）求a，a；
2 3
（Ⅱ）证明 ．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＝1，
1
∴a＝3+1＝4，
2
∴a＝32+4＝13；
3
（Ⅱ）证明：由已知a﹣a ＝3n﹣1，n≥2
n n﹣1
故a＝（a﹣a ）+（a ﹣a ）+…+（a﹣a）+a
n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 2 1 1
．n≥2
当n＝1时，也满足上式．
所以 ．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间 上的图象．【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x
所以函数的最小正周期为π，最大值为 ；
（2）由（1）列表得：
x
y 1 1 1
1 1
故函数y＝f（x）在区间 上的图象是：
21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方
向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．
在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为
令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣
y）2≤[r（t）]2，
其中r（t）＝10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭，
则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，
即 ，
即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．
22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、
F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定
值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，
据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．
按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）
设 k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．
直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，①
直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0． ②
从①，②消去参数k，
得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0，
整理得 ．
当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；
当 时，点P到椭圆两个焦点 的距离之和为定
值 ；
当 时，点P到椭圆两个焦点 的距离之和为定值2a．
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日期：2019/8/13 16:20:20；用户：黄熠；邮箱：huangyi12388@163.com；学号：716378
