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2004 年广东高考数学真题及答案
满分150分
第I卷
参考公式：
三角函数的积化和差公式 函数求导公式
sin cos = [sin ( + ) + sin (－ )] (u±v)’ = u’±v’
cos sin = [sin ( + )－sin (－ )] (uv)’ = u’v + uv’
cos cos = [cos ( + ) + cos (－ )] ( )’ = （v ≠ 0）
sin sin = －[cos ( + )－cos (－ )] f ’( (x)) = f ’(u) ’(x)，其中 u = (x)
锥体体积公式 球的体积公式
V = Sh V = R 3
锥体 球体
其中 S 表示底面积，h 表示高 其中R表示球的半径
一. 选择题（共12小题，每题5分，计60分）
（1）已知平面向量 =（3，1）， =（x，–3），且 ⊥ ，则x=
（A） –3 （B） –1 （C） 1 （D）3
（2）已知A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x≤6}，则A∩B＝
（A） （B）
（C） （D）
（3）设函数 在x=2处连续，则a=
（A）－ （B）－ （C） （D）
（4） 的值为
（A）–1 （B）0 （C） （D）1
（5）函数f（x）＝ － 是
（A）周期为 的偶函数 （B）周期为 的奇函数
（C）周期为2 的偶函数 （D）周期为2 的奇函数
（6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000，有四台这种型号的自动机床各自
独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
（7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩
下的凸多面体的体积是（A） （B） （C） （D）
（8）若双曲线2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k=
（A） 6 （B） 8 （C） 1 （D） 4
（9）当0＜x＜ 时，函数f（x）＝ 的最小值是
（A） 4 （B） （C）2 （D）
（10）变量x、y满足下列条件： ，则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是
（A）（4.5，3） （B）（3，6） （C）（9，2） （D）（6，4）
（11）若 ，则
（A） ＞ ＞ （B） ＞ ＞
（C） ＞ ＞ （D） ＞ ＞
（12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b ，c）， 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在
（A）第四象限
y
（B）第三象限
（C）第二象限
（D）第一象限
O x
二.填空题（共4小题，每题4分，计16分）
（13）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的
概率是 （用分数作答）
（14）已知复数z与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则z = .
（15）由图（1）有面积关系： ，则由图（2）有体积关系： ＝ .
B
B
B’
B’
C
C’
P
P A
A’
A’ A
图1 图2（16）函数 （x＞0）的反函数 ＝ .
三.解答题（共6小题，74分）
（17）（12分）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成
等比数列. 求α，β，γ的值.
（18）（12分）如右下图，在长方体ABCD—ABCD 中，已知AB= 4， AD =3， AA= 2. E、F分别是线段
1 1 1 1 1
AB、BC上的点，且EB= FB=1.
D C
1 1
（Ⅰ）求二面角C—DE—C 的正切值;
1
（Ⅱ）求直线EC 与FD 所成的余弦值.
1 1 B
1
A
1
D C
F
A E B
（19）（12分）设函数 （x＞0）.
（Ⅰ）证明: 当0＜a＜b ，且 时，ab＞1;
（Ⅱ）点P（x，y）（0＜x＜1 ）在曲线 上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围
0 0 0
成的三角形面积表达式（用x 表达）.
0
（20）（12分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到
了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试
确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）
（21）（12分）设函数 ，其中常数m为整数.
（Ⅰ）当m为何值时， ≥0；
（Ⅱ）定理: 若函数g（x） 在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点 x∈（a，
0
b），使g（x）=0.
0
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）= 0，在[e－ｍ－m ，e2ｍ－m ]内有两个实根.
（22）（14分）设直线l与椭圆 相交于A、B两点，l又与双曲线x2－y2=1相交于C、D两点，
C、D三等分线段AB.求直线l的方程.参考答案
一、选择题
CACAB DDAAB DB
二、填空题：
（13） （14）－2i (15) (16)
三、解答题
17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
18．解：（I）以A为原点， 分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有
D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C(4,3,2)
1 1
于是，
设向量 与平面CDE垂直，则有
1
（II）设EC 与FD 所成角为β，则
1 1
19.证明：（I）
故 f(x)在（0，1 上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由 0|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心 处.
21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数 m>1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与
异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在 内有两个实根。
22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有 ，由
若 ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得
由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
综上所述，故l的方程为 、 和
