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2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．方程 的解是 ．
2．函数 的反函数 ．
3．直线 的倾斜角 ．
4．函数 的最小正周期 ．
5．以双曲线 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是 ．
6．若向量 的夹角为 ， ，则 ．
C B
1 1
A
7．如图，在直三棱柱 中， ， 1
， ，则异面直线 与 所成角 C B
A
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
8．某工程由 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 天．四道工序的先后顺序及相互关系是： 可以同时开工； 完成后， 可以开工；
完成后， 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序 需要的天数 最大是 ．
9．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
10．对于非零实数 ，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
11．如图， 是直线 上的两点，且 ．两个半径
相等的动圆分别与 相切于 点， 是这两个圆的公 C
共点，则圆弧 ， 与线段 围成图形面积 的
l
A B
取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知 ，且 （ 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么 的值分别是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．14．数列 中， 则数列 的极限值（ ）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 或 Ｄ．不存在
15．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，
总可推出 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若 成立，则 成立
Ｂ．若 成立，则 成立
Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
如图,在正四棱锥 中， ，直线 与平面 所成的角为 ，
求正四棱锥 的体积 ． P
D
C
A B17．（本题满分14分）
在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ，
，求 的面积 ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到
670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际
安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到
2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这
四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，…，
，
即 （ ），我们称其为“对称数列”．
例如，数列 与数列 都是“对称数列”．
（1）设 是7项的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ， ．
依次写出 的每一项；
（2）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，
公比为 的等比数列，求 各项的和 ；（3）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，
公差为 的等差数列．求 前 项的和 ．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，
第3小题满分9分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线
称作“果圆”，其中 ， ， ．
如图，设点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 是“果圆”
y
B
与 ， 轴的交点， 是线段 的中点．
2
.
F
（1） 若 是边长为1的等边三角形，
. .
2
求该“果圆”的方程； A O. M F A x
1 F 0 2
（2）设 是“果圆”的半椭圆
1
B
1
上任意一点．求证：当 取得最小值时， 在点 或 处；
（2） 若 是“果圆”上任意一点，求 取得最小值时点 的横坐标．绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．方程 的解是 ．
【答案】
【解析】
2．函数 的反函数 ．
【答案】
【解析】由
3．直线 的倾斜角 ．
【答案】
【解析】 .
4．函数 的最小正周期 ．
【答案】
【解析】 .
5．以双曲线 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是 ．【答案】
【解析】双曲线 的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），
则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是) 。
6．若向量 的夹角为 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 。
7．如图，在直三棱柱 中， ， C B
1 1
A
， ，则异面直线 与 所成角 1
C B
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
A
【答案】
【解析】 异面直线 与 所成角为 ，
易求 ，
。
8．某工程由 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 天．四道工
序的先后顺序及相互关系是： 可以同时开工； 完成后， 可以开工；
完成后， 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序 需要的天数 最大是 ．
【答案】3
【解析】因为 完成后， 才可以开工，C完成后， 才可以开工，完成A、C、D
需用时间依次为 天，且 可以同时开工，该工程总时数为9天，
。
9．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，
所以剩下两个数字都是奇数的概率是 。10．对于非零实数 ，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
【答案】②④
【解析】 对于①：解方程 得 a i，所以非零复数 a i使得 ，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ，
所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的
所有序号是②④
11．如图， 是直线 上的两点，且 ．两个半径
相等的动圆分别与 相切于 点， 是这两个圆的公 C
共点，则圆弧 ， 与线段 围成图形面积 的
l
A B
取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，当 外切于点C时， 最大，
O1 C O2
此时，两圆半径为1， 等于矩形ABO O 的面积
2 1
l
减去两扇形面积， A B
，
随着圆半径的变化，C可以向直线 靠近，
当C到直线 的距离 。
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知 ，且 （ 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么 的值分别是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】A【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，
所以2 ai与bi互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。
13．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】C
【解析】圆 ，圆心（1，0），半径 ，关于直线
对称的圆半径不变，排除 A、B，两圆圆心连线段的中点在直线
上，C中圆 的圆心为（－3，2），验证适合，故选
C。
14．数列 中， 则数列 的极限值（ ）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 或 Ｄ．不存在
【答案】B
【解析】 ，选B。
15．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，
总可推出 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若 成立，则 成立
Ｂ．若 成立，则 成立
Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立
【答案】D
【解析】 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若 成立，则不一定成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若
成立，则 成立，不能得出：．若 成立，则 成立；对
C，当 k=1 或 2 时，不一定有 成立；对 D， 对于任意的
，均有 成立。故选D。
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
如图,在正四棱锥 中， ，直线 与平面 所成的角为 ，
求正四棱锥 的体积 ． P
D
C
A B
【解析】作 平面 ，垂足为 ．连接 ，
是正方形 的中心， 是直线 与平面
P
所成的角．
＝ ， ． ．
， ，
D
C
．
O
A B
17．（本题满分14分）
在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ，
，求 的面积 ．
【解析】由题意，得 为锐角， ，
，
由正弦定理得 ， ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到
670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际
安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到
2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这
四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
， ， ， ． 则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ，则 ．
解得 ．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 ．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
【解析】（1） ， ，
． 原不等式的解为 ．（2）当 时， ，对任意 ，
， 为偶函数．
当 时， ，
取 ，得 ，
，
函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，…，
，
即 （ ），我们称其为“对称数列”．
例如，数列 与数列 都是“对称数列”．
（1）设 是7项的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ， ．
依次写出 的每一项；
（2）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，
公比为 的等比数列，求 各项的和 ；
（3）设 是 项的“对称数列”，其中 是首项为 ，
公差为 的等差数列．求 前 项的和 ．【解析】（1）设数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
数列 为 ．
（2）
67108861．
（3） ．
由题意得 是首项为 ，公差为 的等差数列．
当 时， ．
当 时，
综上所述，
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，
第3小题满分9分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线
称作“果圆”，其中 ， ， ．
如图，设点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 是“果圆”
y
B
与 ， 轴的交点， 是线段 的中点．
2
.
F
（3） 若 是边长为1的等边三角形，
. .
2
求该“果圆”的方程； A O. M F A x
1 F 0 2
1
B
1（2）设 是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当 取得
最小值时， 在点 或 处；
（4） 若 是“果圆”上任意一点，求 取得最小值时点 的横坐标．
【解析】（1） ，
，于是 ，
所求“果圆”方程为 ， ．
（2）设 ，则
，
， 的最小值只能在 或 处取到．
即当 取得最小值时， 在点 或 处．
（3） ，且 和 同时位于“果圆”的半椭圆 和
半椭圆 上，所以，由（2）知，只需研究 位于“果圆”的半椭圆
上的情形即可．
．
当 ，即 时， 的最小值在 时取到，
此时 的横坐标是 ．
当 ，即 时，由于 在 时是递减的， 的最小值在
时取到，此时 的横坐标是 ．综上所述，若 ，当 取得最小值时，点 的横坐标是 ；
若 ，当 取得最小值时，点 的横坐标是 或 ．
