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绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题
纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的定义域是 ．
2．若直线 与直线 平行，则 ．
3．函数 的反函数 ．
4．方程 的解是 ．
5．已知 ，且 ，则 的最大值是 ．
6．函数 的最小正周期 ．
7．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是 （结果用数值表示）．
8．以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程
是 ．9．对于非零实数 ，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线 在 上的射影是直线 ， 在 上的射影是
直线 ．用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总能确定 与 是异
面直线的充分条件： ．
11．已知 为圆 上任意
一点（原点 除外），直线
的倾斜角为 弧度，记 ．
在右侧的坐标系中，画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么 的值分别是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．14．直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三
角形 中，若 ，则 的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
15．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，
总可推出 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｂ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
如图，在体积为1的直三棱柱 中，
C
B
． 求直线 与
1
1
A
1
平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
C B
A17．（本题满分14分）
在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ，
，求 的面积 ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆
瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装
量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，
要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电
池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，常数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，…， ，
即 （ ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设 是项数为7的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ，
．依次写出 的每一项；
（2）设 是项数为 (正整数 )的“对称数列”，其中
是首项为 ，公差为 的等差数列．记 各项的和为 ．当 为
何值时， 取得最大值？并求出 的最大值；
（3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，使得 依次是该数列中连续的项；当 时，
求其中一个“对称数列”前 项的和 ．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
我们把由半椭圆 与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中 ， ， ．
如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分y别是“果圆”
B
2
与 ， 轴的交点．
.
F
（1） 若 是边长为1的等边三角形， 2 .
A F A
O. x
1 0 2
F
1
B
1求“果圆”的方程；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的 值；若不存在，说明理由．绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题
纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】
2．若直线 与直线 平行，则 ．
【答案】
【解析】
3．函数 的反函数 ．
【答案】
【解析】由
4．方程 的解是 ．
【答案】
【解析】 （舍去）， 。
5．已知 ，且 ，则 的最大值是 ．【答案】
【解析】 ，当且仅当x=4y= 时取等号.
6．函数 的最小正周期 ．
【答案】
【解析】
。
7．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是 （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】
8．以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程
是 ．
【答案】
【解析】双曲线 的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），则抛物线
的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)
9．对于非零实数 ，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 ．
那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 ．
【答案】②④【解析】 对于①：解方程 得 a i，所以非零复数 a i使得 ，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ，所以③不
成立；④显然成立。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的所有序号是②④
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线 在 上的射影是直线 ， 在 上的射影是
直线 ．用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总能确定 与 是异
面直线的充分条件： ．
【答案】 ，并且 与 相交（ ，并且 与 相交）
【解析】 作图易得“能成为 是异面直线的充分条件”的是“ ，并且 与 相
交”或“ ，并且 与 相交”。
11．已知 为圆 上任意
一点（原点 除外），直线
的倾斜角为 弧度，记 ．
在右侧的坐标系中，画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
【答案】
【解析】
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．12．已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么 的值分别是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】A
【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程 的两个
根是 所以 。
13．设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】C
【解析】若aba2b2，A不成立；若 B不成立；
若a=1，b=2，则 ,所以D不成立 ,故选C。
14．直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若 ，则 的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
【答案】B
【解析】解法一：
（1） 若A为直角，则 ；
（2） 若B为直角，则 ；
（3） 若C为直角，则
。
所以 k 的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，
所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值
个数是2，选B15．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，
总可推出 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｂ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立
Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立
【答案】D
【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有 成立；对B，应有 成立；
对C，只能得出：对于任意的 ，均有 成立，不能得出：任意的
，
均有 成立；对D， 对于任意的 ，
均有 成立。故选D。
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分） B
1
如图，在体积为1的直三棱柱 中，
A
1
． 求直线 与
C B
平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
A
【解析】法一： 由题意，可得体积 ，
．连接 ． ，
C
B
1
平面 ， 1
A
1
C B
A是直线 与平面 所成的角．
， ，
则 ＝ ．即直线 与平面 所成角的大小为 ．
法二： 由题意，可得 z
C
体积 ，
1
A
，
1
如图，建立空间直角坐标系． 得点 ，
B
C
y
， ． 则 ，
A
x
平面 的法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ， 与 的夹角为 ，
则 ， ，
即直线 与平面 所成角的大小为 ．
17．（本题满分14分）
在 中， 分别是三个内角 的对边．若 ，
，求 的面积 ．
【解析】 由题意，得 为锐角， ，
，由正弦定理得 ， ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆
瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装
量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，
要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电
池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
， ， ， ．
则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ，则 ．解得 ．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 ．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，常数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
对任意 ， ， 为偶函数．
当 时， ，取 ，得 ，
， 函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设 ，
，
要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立．
，即 恒成立．
又 ， ． 的取值范围是 ．
解法二：当 时， ，显然在 为增函数．
当 时，反比例函数 在 为增函数， 在 为增函数．
当 时，同解法一．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，…， ，
即 （ ），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设 是项数为7的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ，
．依次写出 的每一项；
（2）设 是项数为 (正整数 )的“对称数列”，其中
是首项为 ，公差为 的等差数列．记 各项的和为 ．当 为
何值时， 取得最大值？并求出 的最大值；
（3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，
使得 依次是该数列中连续的项；当 时，
求其中一个“对称数列”前 项的和 ．
【解析】（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，数列 为 ．
（2） ，
，
当 时， 取得最大值． 的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
对于①，当 时， ．
当 时，
．
对于②，当 时， ．
当 时， ．
对于③，当 时， ．
当 时， ．
对于④，当 时， ．
当 时， ．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．我们把由半椭圆 与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中 ， ， ．
如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分别是“果圆”
与 ， 轴的交点．
y
（2） 若 是边长为1的等边三角形，
B
求“果圆”的方程； 2
.
F
（2）当 时，求 的取值范围； 2 .
A F A
O. x
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．1 0 2
F
试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆” 1
B
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
1
求出所有可能的 值；若不存在，说明理由．
【解析】（1） ， y
B
2
， .
F
.
2
于是 ，所求“果圆”方程为 A O. M F A x
0
1 F 2
1
，
B
（2）由题意，得 ，即 ． 1
， ，得 ．
又 ． ．
（3）设“果圆” 的方程为 ， ．
记平行弦的斜率为 ．
当 时，直线 与半椭圆 的交点是
，与半椭圆 的交点是 ．的中点 满足 得 ．
， ．
综上所述，当 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当 时，以 为斜率过 的直线 与半椭圆
的交点是 ．
由此，在直线 右侧，以 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 上，
即不在某一椭圆上．
当 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
